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正方形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．下列命题中，假命题是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（　　）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
3．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是　 　．（只填一个条件即可）
4．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是　 　，这个长度介于两个相邻整数　 　之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
5．在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：　 　使得矩形是正方形．（只写一个）
6． 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对角线交点为坐标原点 O，点 A，C 在 x 轴上，点 B，D 在 y 轴上，若正方形的边长为 2，则顶点 A 的坐标为　 　.
7． 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．
8．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、求证：．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：．
10．如图，正方形，点E，F是对角线上的两点，，连接，，和关于直线对称.点G在上，连接.
（1）求的度数；
（2）如备用图，延长交于点H.连接
①求证：四边形是菱形；
②求的值.
二、能力题
11．如图，在⊙O中，点C 在优弧AB上，将沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点 D，若⊙O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是(　　).
A． B． C． D．
12．如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是　 　．
15．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
16．如图，将边长为 的正方形纸片 折叠，使点 落在 边中点 处，点 落在点 处，折痕为 ，则线段 的长度为　 　 ．
17．如图， 正方形 的边长为 是边 的中点， 点 是边 上一动点， 连结 ， 将 沿 翻折得到 ， 连结 ， 当 最小时， 的长是　 　
18．如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
19．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
20．如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
三、拓展题
21．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
22． 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（ ① ）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据　 　.
（2）【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（3）【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是　 　．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（5）【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线　 　时，中点四边形是　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加，理由：
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可以添加AC=BD；根据正方形的判定方法“有一个内角是直角的菱形是正方形”可以添加∠BAD=90°.
4．【答案】；3和4
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=。
∵9<10<16，
∴<<，
即3<<4 。
∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。
故答案为：；3和4
【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。
5．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
6．【答案】（）
【解析】【解答】解：因为正方形ABCD的边长为2，
所以AC=，
所以OA=，
所以A点的坐标为（），
故答案为：（） .
【分析】先利用勾股定理求出对角线的长，再求出OA的长即可求得A点的坐标.
7．【答案】证明：∵ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°
∵在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
【解析】【分析】由正方形的性质知AD=CD，∠ADE=∠CDE，由此得△ADE≌△CDE(SAS)，即可得AE=CE.
8．【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴
【解析】【分析】根据正方形的性质证明，，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可．
9．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90 ，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF（SAS），则AE=BF，即可求出答案.
10．【答案】（1）解：设对角线的交点为O
和关于直线对称
（2）解：①和关于直线对称
四边形ABCD为正方形
，
四边形GHCF为平行四边形
四边形GHCF为菱形；
②由①知
△DGH为等腰直角三角形
四边形GHCF为菱形
.
【解析】【分析】（1）设对角线的交点为O，根据正方形的性质结合已知条件可得∠ABO=∠EBF=45°，根据角的和差关系可得∠ABE=∠DBF，根据轴对称的性质可得∠ABE=∠EBO，则∠EBO=∠OBF=22.5°，然后根据∠FBC=45°-∠OBF进行计算；
（2）①根据轴对称的性质可得AB=BG=BC，证明△GBF≌△CBF，得到GF=FC，∠BGF=∠BCF=45°，证明△HGB≌△HCB，得到∠BGH=∠BCH=90°，根据正方形的性质可得∠BOC=90°，进而推出CF∥GH，易得∠OFG=45°，推出四边形GHCF为平行四边形，然后结合GF=FC结合菱形的判定定理进行证明；
②由①知∠BGH=90°，易得△DGH为等腰直角三角形，则DH=GH，根据菱形的性质可得GH=CH，则CD=(1+)GH，据此求解.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CE⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，
又，
∴
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA=∠CBD，
∴CA=CD，△CAD为等腰三角形
∵CF⊥AB，
∴
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=1，
∴四边形ODFE为正方形：
∴OE=1，
∴
∴CF=CE+EF=3=BF，
∴△CFB为等腰直角三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CE⊥AB干点E，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD=1，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得到AF=DF=1，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】
解：设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB= 17，EF= 13，
∴AD=CD=CB=AB=17，A=BCD= 90，
设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，
∴
∴GH= EF= 13，
解得m= 5或m= 12，
当m= 5时，则CH =5， CG= 12，
当m= 12时，则CH =12， CG= 5，
∴m= 5或m= 12时，△GCH的形状和大小相同
连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，
设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12
∵
∴
解得r= 2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故答案为：B
【分析】
设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， 由正方形的性质得AD= CD= CB= AB= 17，A=BCD= 90，设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，利用勾股定理建立关于m的方程，计算求得m= 5或m= 12，从而证明△GCH的形状和大小相同， 连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12，利用面积法求得半径r，计算即可解答.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
14．【答案】30°
【解析】【解答】解：图中五边形为正六边形，
，
，
根据正方形的性质得∠OCD=90°，
∴∠OCB=180°-90°=90°，
，
故答案为：30°．
【分析】先根据多边形的内角和公式、正多边形的性质求出∠ABO的度数，然后由正方形的性质得∠OCD的度数，从而得∠OCB的度数，进而根据三角形的内角和定理求出∠BOC的度数即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
16．【答案】1
【解析】【解答】解：在 中，设 ，
，
，
解得： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
【分析】根据折叠的性质及勾股定理求出CN及EN，证明可得，据此求出GE，从而求出FG，再证明，可得，据此即可求解.
17．【答案】
【解析】【解答】解：连接BG，如图：
∵ 四边形 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，∠C=∠D=∠A=90°，
∵点G 是边 的中点，
∴DG=CG=5.
∴.
由翻折的性质得：AB=BF=10，AE=EF，∠A=∠EFB=90°=∠EFG.
∵BF+FG≥BG，
∴FG≥BG－BF，当G，F，B三点共线时，FG取得最小值.
此时连接EG，如图：
∴.
∵DE2+DG2=EG2=EF2+GF2，设AE=EF=x，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】连接BG，根据正方形的性质得AB=BC=CD=AD=10，∠C=∠D=∠A=90°，于是得DG=GC=5.利用勾股定理可求出BG的长，由翻折的性质得AB=BF=10，AE=EF，∠A=∠EFB=90°=∠EFG.结合三角形的三角关系可得FG≥BG－BF，当G，F，B三点共线时，FG取得最小值.求出此时GF的长，连接EG，利用勾股定理可得DE2+DG2=EG2=EF2+GF2，设AE=EF=x，代入数据并计算，即可得AE的长.
18．【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，然后作的角平分线交于点，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
19．【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
20．【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
21．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
22．【答案】（1）三角形中位线定理
（2）证明：方法一：
中点四边形EFGH是菱形
方法二：∵AC=BD
中点四边形EFGH是菱形；
（3）矩形
（4）证明：分别是和的中位线
四边形EMON是平行四边形
又
中点四边形EFGH是矩形.
（5）AC⊥BD且；正方形
【解析】【解答】解：（1）∵、分别是和的中位线，
∴，（三角形中位线定理 ）
故答案为：三角形中位线定理；
（3）如图，
原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（5）AC⊥BD且时，中点四边形是正方形；
理由如下：如图，
∵AC⊥BD，由探究三可知四边形EFGH是矩形，
∵，由探究二可知四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：AC⊥BD且；正方形.
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得出答案；
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，或有一组邻边相等得平行四边形是菱形，即可得出结论；
（3）根据矩形的判定定理可得结论；
（4）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再根据一个内角是直角，即可得出四边形EFGH是矩形；
（5）根据（2），（3）即可得出AC⊥BD且AC=BD时，中点四边形是正方形.
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