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圆的基本性质——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（　　）
A．七 B．八 C．九 D．十
2．如图，A、B、C是上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使，连接CD．则为　　
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）
A．54° B．64° C．27° D．37°
5．如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为　 　.
7．如图，在中，于点的长为，则弦的长为　 　．
8．如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，，则　 　．
9．已知的半径为，点A在外，则的长可以为　 　．
10． 如图， OB 是⊙O的半径， 弦CD⊥OB， 垂足为E， AB∥CD， OC 延长线交AB 于点A.
（1）求证： AB 是⊙O 的切线；
（2）若BE=2， CD=6， 求OB的长.
二、能力题
11．如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
12．如图，内接于圆，过点B的直线与的延长线交于点D．若，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E、B、C、O，且、、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
16．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
17．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则　 　
18．已知线段是的直径，不与A、B重合的点C在上，则　 　 ．
19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为　 　．
20． 在中，半径，弦，则弦所对的圆周角大小为　 　度．
21．如图，在△ABC中，CA=CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A，E，F的⊙O与BC相切于点D，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE=10，BE=8，求AC的长.
22．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
23．如图，是的直径，点C，D在上，平分.
（1）求证：；
（2）延长交于点E，连接交于点F，过点B作的切线交的延长线于点P.若，，求半径的长.
三、拓展题
24．如图，点A、B、C在 O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻变的直尺分别按下列要求作图．
（1）在图（1）中，作一个度数为55°的圆周角；
（2）在图（2）中，作一个度数为35°的圆周角．
25．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：正多边形的外接圆为，
点为正边形的中心．，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据圆周角定理可得中心角，再根据中心角解题即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】∵BC是圆的直径
∴
∵
∴△ACD是等腰直角三角形
∴
故选：C。
【分析】利用直径所对的圆周角是直角得出，又不难证明△ACD是等腰直角三角形，故。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据圆内接四边形对角互补、领补角及同角的补角相等得到，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到，由此即可求解．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：过点O作于点C，
则
，过圆心O，
，
在中，，
，
，
在中，，
故选：D．
【分析】过点O作于点C，则，根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系可得PC，再根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵于点的长为，
∴．
故答案为：．
【分析】根据垂径定理求解．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，据此求解即可。
8．【答案】
【解析】【解答】解：，
，
是的直径，是的弦，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
【分析】根据垂径定理求出，在用勾股定理求出，最后根据线段数量关系求得．
9．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在外，
∴，
线段的长可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】设点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，判断即可．
10．【答案】（1）证明：，
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：
．
设，
在中，

【解析】【分析】（1）证明，再根据是的半径即可证明是的切线；
（2）根据垂径定理得到，再根据勾股定理进行解答即可．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵，∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵C为的中点，
∴∠BOA=2∠BOC=120°，
∵OA=3，
∴的长为：.
故答案为：B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BOC=60°，根据C为的中点，得∠BOA=2∠BOC=120°，根据弧长公式即可求解.
12．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴的度数为，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，由三角形外角的性质得，最后根据圆周角定理即可得到答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的直径，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
．
故答案为：B
【分析】
连接，由，根据圆周角定理的推论可得：是的直径，由，，，可得，，根据勾股定理可求，然后由圆周角定理可得，然后求出的值，即可得的值，解答即可．
14．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：∵是弦的中点，
∴，，
∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理的推论得，，然后利用勾股定理求出，即可得到的长.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
17．【答案】55
【解析】【解答】解：∵直径平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由垂径定理可知，再由圆周角定理可得，再由直角三角形两锐角互余即可．
18．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下：
∵线段是的直径，
由圆周角定理可得，，
故答案为：．
【分析】由直径所对圆周角是直角即可得出答案．
19．【答案】
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
20．【答案】或
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，
，
，
，
中，，
，
，
，
故答案为：60或120．
【分析】按要求画出图形，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，根据垂径定理，求出AD的长，再根据正弦函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，再通过圆周角定理及圆的内接四边形，即可解答．
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接DE，
∵EF∥BC，
∴∠BDE=∠DEF，
又∵∠BAD=∠CAD=∠DEF，
∴∠BDE=∠BAD，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
(8+10)=144，
∴BD=12，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C，
又∵∠AFE=∠ADE，
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∵AC=CB，
∴CD=24，
【解析】【分析】(1)连接OD，⊙O与BC相切于点D，推出OD⊥BC，已知EF∥BC，得到OD⊥EF，推出进而得到∠BAD=∠CAD，得证AD平分∠BAC；
(2)连接DE，已知EF∥BC，根据两角对应相等得到△BDE∽△BAD，可求得BD=12，得到进一步证明△ADE∽△ACD，根据对应边成比例得到解答即可.
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接，根据余弦的定义可得，进而求出DE长，再根据勾股定理计算即可．
23．【答案】（1）证明：平分，
，
又∵，
，
。
（2）解：，，
不妨设，，则，
，
，
，，
，
，
解得，
取的中点M，连接，
∴，且，
，
，
是的切线，
，
，
解得x=
故半径的长为.
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠AOC=2∠AOD，由圆周角定理得∠AOC=2∠B，则∠B=∠AOD，由同位角相等，两直线平行，得OD∥BC；
（2）由题意设OF=5x，BF=6x，则OB=OF+BF=11x=OC=OE，OP=11x+1，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OFE∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，取BC的中点M，连接OM，由垂径定理得OM⊥BC；由二直线平行，内错角相等，得∠OBM=∠POB，由切线的性质得OB⊥PB，从而根据等角的同名三角函数值相等并结合余弦函数的定义可建立方程求出x的值，得出答案.
24．【答案】解：（1）如图(1)，在优弧上任意取一点D，
连接DA，DB，
则∠BDA即为所求；
（2）如图(2)，作圆的直径BE，
连接CE，
则∠ECA即为所求．
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，在优弧上任意取一点D，连接DA，DB即可；（2）首先作圆的直径BE，连接BE，根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠BCE=90°，即可得出∠ACE=35°。
25．【答案】解：
如图即为月洞门的设计图．
【解析】【分析】根据尺规作图先以A，B为端点大于的长度为半径画弧，作出线段AB的垂直平分线MN ； 在射线DM上截取 ，同理作线段AC的垂直平分线， 再以点O为圆心，OC的长为半径作 ；依次作图即可解答
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