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直线与圆的关系——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角
B．三角形三个内角的和等于
C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
D．如果，那么
4．如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为　 　．
6．如图，为的切线，若，、为圆周上两点，且，则的度数是　 　．
7． 如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E。已知CE=4，∠A=40°，则的长为　 　。（结果保留π）
8．如图，是的直径，是延长线上一点；与相切于点，若，则　 　．
9．如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
10．如图，在中，，过AB的中点C.
（1） 求证：AB为的切线；
（2） 若的直径为8cm，，求OA的长.
二、能力题
11．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若，，则的长度为（　　）
A．1 B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，．⊙C的半径长为2，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ．
16．如图，点I是的内心．若，，则的度数是　 　°．
17．如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为　 　．
18．如图，是的外接圆，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径.
19． 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
21．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
22． 如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，试求与半径的数量关系．
三、拓展题
23．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
24．材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的切线，
．
，
由四边形是的内接四边形，，
得
由，
得．
故选：C．
【分析】先连接，根据切线的性质可得，然后根据内接四边形的对角互补求出，然后根据三角形的内角和和等边对等角得到的度数．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°.
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=28°，结合三角形的内角和定理可得∠AOB=124°，根据切线的性质可得OA⊥PA，OP⊥AB，则∠OAP+∠OBP=180°，结合四边形内角和为360°可得∠APB+∠AOB=180°，据此计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、三角形三个内角的和等于，原命题是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、如果，那么不一定相等，原命题是假命题；
故答案为：B．
【分析】根据共有一个顶点，角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，全等三角形的判定，三角形内角和，进行判断．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵分别与相切于A、B两点，
∴；
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】由切线的性质可得，再由四边形内角和定理即可求解．
5．【答案】56°
【解析】【解答】解：∵是的切线，为的直径，
∴，即．
∵，
∴．
又∵切于点A、C，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据切线性质可得，即，根据角之间的关系可得∠PAC，再根据切线长定理可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】
【解析】【解答】解：连接、，
为的切线，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接、，根据切线性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠POC，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是☉O的切线，切点为D，
∴∠ADO=90°，.
∵∠A=40°
∴∠AOD=90°-∠A=50°
∴∠COD=180°-∠AOD=130°
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD，求出∠ADO=90°，即可求出∠COD=130°，根据弧长公式的计算，即可解答.
8．【答案】
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵与相切于点，
∴，
∴∠PCO=90°，
∵，
∴，
∴（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
故答案为：．
【分析】连接，由切线的性质可得∠PCO=90°，由直角三角形两锐角互余可求得的度数，最后由圆周角定理即可得解.
9．【答案】证明：连接
是的切线
【解析】【分析】连接，格努等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.
10．【答案】（1）证明：
经过点C
是的切线.
（2）解：的直径为8cm
在 中，由勾股定理可得
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。
11．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE
与相切
故答案为：D.
【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵、是的两条切线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】连接，根据切线性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据圆周角定理可得∠ABC，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6），
∴，
∵BP⊥AC，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC，
∵sin∠OAC=，
∴∠OAC=30°，
∴∠C'AC=60°，
∴弧PP'的弧度=120°，
∴弧PP'的长为，
∴当点C在圆O上运动一周，点P运动的路径长等于.
故答案为：D.
【分析】连接AB，先根据两点间的距离公式算出AB的长，由直径所对的圆周角是90°可得点P在以AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆相切时，此时点P是运动路径的两端点，由∠OAC得正弦函数及特殊锐角三角函数值得∠OAC=30°，则∠C'AC=60°，弧PP'的弧度=120°，进而根据弧长计算公式算出弧PP'的长，即可解决此题.
14．【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，
在Rt△ACB中，
，
∴∠A=30°，
∴；
∵EF是圆O的切线，
∴∠CFE=90°，
∴；
过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，
∴CD⊥BD，
∴；
∵ P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，
∴m的取值范围为.
故答案为：B
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，利用解直角三角形求出∠A=30°，即可求出CE的长；利用切线的性质可证得∠CFE=90°，利用勾股定理求出EF的长；过点B作圆C的切线BD，切点为D，连接CD，利用勾股定理求出BD的长；然后根据 P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）， 且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，可得到m的取值范围.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵点I是的内心，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据三角形内心“三角形内心就是三角形三内角角平分线的交点”求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论．
17．【答案】
【解析】【解答】∵，是圆的切线，切点分别为，
∴PA=PB，PB⊥OB
∴∠PAB=∠PBA，∠OBP=90°
∵∠PAB+∠PBA+∠P=180°，且∠P=30°
∴2∠PBA+30°=180°
∴∠PBA=75°
∴∠OBP=∠OBP-∠PBA=15°
故答案为：15°
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，根据切线性质可得PB⊥OB，根据等边对等角可得∠PAB=∠PBA，再根据三角形内角和定理可得∠PBA，再根据角之间的关系即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：方法1连接OD.
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵ DE //BC、
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB.
∵OA =OD，
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠EAD=∠ADO.
∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.
∴ DE 是⊙O 的切线
（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.
∴DF=CE=.
∵，，
∴.
在Rt△BOF中，OB=2OF.
设OB=x，则OF=x-.
∴，解得.
即⊙O的半径为
【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.
（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.
19．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3
【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出，于是可知BE=BD，故，而，所以有，从而可知，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为 ⊙O 切线；
（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故，在Rt△BFE中，按比设参，结合勾股定理可求BF=3，EF=4，在Rt△OEF中，再次利用勾股定理求得OE，故OF。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
【解析】【分析】（1）如图，连接，根据SAS可证明≌，从而得出，进而根据切线的判定定理得出结论；
（2）根据≌，可得出垂直平分，根据勾股定理可求得BP的长度，进而根据面积法可得出BD的长，进而得出BC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，进而根据勾股定理即可得出AC的长。
22．【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，
理由如下：
如图，连接OA， OB，∴OA=OB，
又∵PA=PB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°=∠OBP，
且OB为圆O的半径，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：∵∠P=60°， PA=PB， ∴△ABP是等边三角形，
∵∠DCE=60°， ∴∠BCE+∠ACD=120°.
∵∠ADC+∠ACD=120°，
∴∠ADC=∠BCE，
∴△ADC∽△BCE，
如图， 连接OA， OB， 过点O作OF⊥AB于点F，则
∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°，
∴∠OAF=90°-60°=30°.
∴cos∠OAF==，
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，求证△OAP≌△OBP，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO=90°，进而得出∠PBO=90°，即可得证；
（2）根据一线三等角证明△ADC∽△BCE，得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE=2BC+2AC=2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=0.5AB，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AF，进而得出2AB=2，即可得证．
23．【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
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