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图形的对称——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　）
A．极氪 B．小鹏
C．理想 D．蔚来
2．到2035年，我国的现代化建设将基本实现.2035四个数字中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（　　）
A．与互余 B．
C．平分 D．与互补
5．如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于　 　．
7．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为　 　．
8．如图，直线AD为ABC的对称轴，BC=6，AD=4，则图中阴影部分的面积为　 　．
9．如图，已知的三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，5)，C(-1，1)
（1） 画出与关于x轴对称的，并写出点和点的坐标；
（2） 求的面积.
10．我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
二、能力题
11． 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，边长为2的正方形的对角线与相父于点O.E是边上一点，F是上一点，连接，.若与关于直线对称，则的周长是(　　)
A． B． C． D．
13．如图，在⊙O中，点C 在优弧AB上，将沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点 D，若⊙O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是(　　).
A． B． C． D．
14．如图， 将 沿对角线 折叠， 使点 落在 处． 若 ， 则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
15． 如图， 在等边三角形ABC中， 点D， E分别在AB， AC边上，沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上点A'处、若AD=2，AE=3，则△ABC的边长是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
17．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则　 　．
18．如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
20． 图甲、图乙中均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON 的端点均在格点上.在图甲、图乙给定的网格中，以OM，ON 为邻边各画一个四边形，使其第四个顶点在格点上.要求：①所画的两个四边形均是轴对称图形；②所画的两个四边形不全等.
三、拓展题
21．在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
22． 2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节.在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究.
（1）【初步感知】如图①，沿过点 B 的直线折叠正方形纸片，使得点C 的对应点点 E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点 F，则DE=　 　；（结果保留根号)
（2）【迁移运用】如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF 折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合)，EI交AB于点H；
①当点 E为AD中点时，求△DEF的面积；
②当点E为AD上任意一点时（如图③)，探究△AEH 的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意；
B.既是中心对称又是轴对称图形，故符合题意；
C.不是中心对称，是轴对称图形，故不符合题意；
D.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】平面内， 把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴与互余，故A正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴不平分，故C错误，符合题意；
∵，
∴与互补，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质求出，即可判断A正确；根据平角的定义求出，即可判断B正确；根据即可判断C错误；根据即可判断D正确．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，由折叠的性质可知，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
故选：C．
【分析】本题主要考查了图形翻折变换的性质及平行线的性质，由折叠的性质，得到，由，根据两直线平行，内错角相等，得到，求得的度数，即可得到答案．
6．【答案】3
【解析】【解答】解∶∵，，，
∴，
∵将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【分析】先利用勾股定理求得，根据折叠的性质得到，，，从而得，，进而利用勾股定理构建方程并解之可求得的长．
7．【答案】140°
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知∠3=∠1=20°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠5=180°-∠4-∠3=140°，
∴∠2=140°.
故答案为：140°.
【分析】由折叠知∠3=∠1=20°，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，根据三角形的内角和定理算出∠5，最后根据对顶角相等，可求出∠2的度数.
8．【答案】6
【解析】【解答】解：∵AD所在的直线是△ABC的对称轴，
∴阴影部分的面积的和等于三角形的面积的一半，AD⊥BC，
∴阴影部分的面积和=×（×6×4）=6．
故答案为：6．
【分析】1. 性质应用：利用轴对称的全等性，将分散的阴影部分转化为三角形面积的一半，简化计算.
2. 面积公式：直接应用三角形面积公式 底高 计算 面积.
3. 比例关系：根据轴对称特性，确定阴影面积与三角形面积的比例（ 1：2 ），快速求解.
9．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
与 关于 x 轴对称，A(-4，2)，B(-3，5)，C(-3，-5).
，.
（2）解：由题意得，=.
【解析】【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别找到A，B，C关于x轴对称的点，顺次连接即可；
(2)利用割补法求解。
10．【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
11．【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折叠的性质可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的长；再利用余角的性质去证明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定义可求出cos∠CEF的值.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，
∴，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC=DF=2，EC=EF，
∴，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE=BF+BC=.
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，利用解直角三角形求出BD的长；再利用轴对称的性质可知DC=DF=2，EC=EF，由此可求出BF的长；然后证明△BEF的周长为BF+BC，代入计算可求解.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CE⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，
又，
∴
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA=∠CBD，
∴CA=CD，△CAD为等腰三角形
∵CF⊥AB，
∴
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=1，
∴四边形ODFE为正方形：
∴OE=1，
∴
∴CF=CE+EF=3=BF，
∴△CFB为等腰直角三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CE⊥AB干点E，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD=1，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得到AF=DF=1，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解.
14．【答案】C
【解析】【解答】解： 设CD和BE交于点F，如图所示，
在平行四边形 ABCD中，，
∴，
由翻折可知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和外角定义求出∠1的度数，根据折叠的性质，结合等边对等角可得，由翻折可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
15．【答案】C
【解析】【解答】解：∵等边三角形，
∴，，
∵沿着折叠，使点恰好落在边上点处，，，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴
∴，
解得，
故选：C．
【分析】设，则，，证明，列比例式解答即可．
16．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形的性质得到，，进而根据平行线的判定结合图形即可求解。
17．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，
则∠FNA=∠FNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴四边形ABFN是矩形，
∴NF=AB=AD，
由折叠可知AG⊥EF，
∴∠GAE+∠AEF=∠NFE+∠AEF=90°
.∠GAE=∠NFE，
又∵∠FNE= ∠D = 90°，
∴ADG≌FNE(ASA).
∴AG=EF，
∴EF=
∴AG=EF=，
设正方形边长为x，则AB=AD= CD=x，
∵CG =4，
∴DG=CD-CG=x-4，
在RtADG中，AG2=DG2+AD2，
即（x-4)2+x2 =()2，
解得：x=2+或x=2-(不合题意舍去），
∴AB=2+.
故答案为：2+.
【分析】如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，首先根据ASA可证得ADG≌FNE，可得出AG=EF=，设正方形边长为x，在RtADG中，AG2=DG2+AD2，根据勾股定理可得：（x-4)2+x2 =()2，解方程即可得出x=2+或x=2-(不合题意舍去），即可得出AB=2+.
18．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
19．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据折叠可知：AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，依据等量代换可得：AH＝CG，再由两直线平行，内错角相等，可得：∠EAH＝∠FCG，因此可证明：△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）由（1）可得：∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，故可得：EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得证.
20．【答案】解：如图所示
【解析】【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可.
21．【答案】解：（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①15
②，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
；
（3）由折叠的性质可得，，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【解析】【解答】（1）对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）①由（1）可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
，
故答案为：15；
【分析】（1）利用折叠的性质可得，，再结合，利用特殊角的三角函数值可得，最后求出，从而得解；
（2）①先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
②先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段上时，再分别利用勾股定理列出方程求解即可.
22．【答案】（1）
（2）解：①设DF =x ， 则CF=8-x
由折叠性质得EF=CF=8-x
在Rt△DEF 中，由勾股定理得
解得 x=3
②点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，△AEH 的周长为16.
理由如下：
连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF
∴ ∠FEI=∠CMI=90°， ∠FEC=∠DCE
∴EF∥MC
∴∠FEC=∠MCE
∴∠DCE=∠MCE
∵ 在△DCE和△MCE中
∴△DCE≌△MCE (AAS)
∴ CM =CD， DE=ME
∵ CB=CD
∴ CM =CB
∵ 在 Rt△CMH和Rt△CBH 中， 由勾股定理得
∴ MH=BH
=AH+AE+HM+EM
=(AH+HM)+(AE+EM)
=(AH+HB)+(AE+ED)
=AB+AD
=16
∴ 点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，值为16
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为8
∴
由折叠性质可得BC=BE=8
∴
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理可BD，再根据折叠性质可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①设DF =x ， 则CF=8-x，由折叠性质得EF=CF=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=3，再根据三角形面积即可求出答案.
②连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF，根据直线平行判定定理可得EF∥MC，则∠FEC=∠MCE，再根据全等三角形判定定理可得△DCE≌△MCE (AAS)，则CM =CD， DE=ME，根据勾股定理可得MH，BH，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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