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图形的旋转与平移——初中数学中考一轮分层训练 （含答案解析）
一、基础题
1．如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图标，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运动属于平移的是
A．小朋友荡秋千 B．月球绕着地球转
C．李华乘手扶电梯从一楼到二楼 D．自行车在行进中车轮的运动
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（　　）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
6．如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）将绕原点O旋转得到，画出；
（2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
（3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标．
8．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，．
（1）如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数．
（2）求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，）
二、能力题
9．下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
10． 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （　　）
A．3 B．2 C．1 D．
12．如图．在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）
13．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．如图，将周长为20的△沿方向平移2个单位长度得△，连接，则四边形的周长为　 　 ．
15．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是　 　
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点为A＇，则线段AA＇ 的长为　 　．
17． 如图，在等边△ABC中，点D，E均在边 BC上，点D 在点E的左侧，∠DAE=30°，若BD=2，CE=4，则DE 的长为　 　.
18．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为　 　．
19．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是　 　.
20．如图是由小正方形组成的3个4闷格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条.
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转(，画对应点 F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG-平分矩形ABCD的面积.
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______；
（3）请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______．
三、拓展题
23．根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）．
操作步骤 ①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P； ②以点P为圆心，PC长为半径作圆； ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取； ④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六边形ABCDEF．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标： ．
24．解答：
探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形
素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．
素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．
素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．
问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形；
任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是
故答案为：B
【分析】根据圆锥的性质即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】
解： A：圆是轴对称又是中心对称图形，但圆内部的图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B：圆是轴对称又是中心对称图形，圆内部的图形既是轴对称又是中心对称图形，故B符合题意
C：圆是轴对称又是中心对称图形，但圆内部的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
D：圆是轴对称又是中心对称图形，但圆内部的图形不是中心对称图形，故D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】轴对称图形指沿某直线折叠后两部分完全重合；中心对称图形指绕某点旋转180°后与原图重合，根据概念即可解答。
3．【答案】B
【解析】【解答】解： 根据中心对称图形和轴对称图形的定义 ，
A，为中心对称图形，不符合题意；
B，即是中心对称图形又是轴对称图形 ，符合题意；
C，D 即不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义：
中心对称图形：存在一点，图形绕该点旋转180°后与原图重合；
轴对称图形：存在一条直线，沿该直线折叠后两部分完全重合.
依次判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、小朋友荡秋千，属于旋转，故不符合题意；
B、月球绕着地球转，属于旋转，故不符合题意；
C、李华乘手扶电梯从一楼到二楼，属于平移，故符合题意；
D、自行车在行进中车轮的运动， 属于旋转，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平移是指在同一平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平移移动，叫做平移变换，据此判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先由旋转的性质得到，再由等边对等角得到，，则由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得，再由三角形内角和定理建立方程求解即可．
7．【答案】（1）解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为
画图如下：
（2）解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下：
．
则即为所求．
（3）（2，－4）
【解析】【解答】（3）解：根据旋转作图，得，，
根据中点坐标公式，得，
同理可得，，它们的中点的坐标也为．
∴．
故答案为：（2，－4）.
【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用中点坐标公式求出点坐标，再直接求出即可．
（1）解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为
画图如下：
（2）解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下：
．
则即为所求．
（3）解：根据旋转作图，得，，
根据中点坐标公式，得，
同理可得，，它们的中点的坐标也为．
．
8．【答案】（1）解：，，
，
∵，
，
，
故
（2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线判定定理可得AM平分，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，根据角之间的关系可得∠CBN，根据正弦定义可得CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，，
，
∵，
，
，
故；
（2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为；
9．【答案】C
【解析】【解答】解：A不是无盖正方体盒子的表面展开图，A错误；
B不是轴对称图形也不是中心对称图形，B错误；
C是无盖正方体盒子的表面展开图，且是轴对称图形和中心对称图形，C正确；
D是中心对称图形但不是轴对称图形，D错误.
故选：C。
【分析】借助正方体展开图想象无盖正方体展开图，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义就可以筛选出正确答案。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴
由旋转可知∠BAD=120°，
∴∠CAD=90° ，
由旋转得： AD=AB=2，∠ADE=120° ，
∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴CD=2AD=2X2=4，
故答案为：B.
【分析】
由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°，AD=AB=2，∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°，∠ACD=30°， 故可得CD=2AD，计算即可解答.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO，
∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，
∴，
∵∠A=90°，，A(-4，3)，
∴OH=3，AH=4，
∴
∴BK=8，AK=6，
∵平移，
∴OF=BK=8，OE=AK=6，
∴E(6，0)，
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点O(0.0)先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴G(10，-3)，
故答案为：B.
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8，AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
14．【答案】24
【解析】【解答】解：由平移的性质得：
四边形的周长
故答案为：24.
【分析】平移前后对应线段平行且相等或在同一条直线上，对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，则四边形ABFD的周长实际上等于的周长加上平移的距离AD与CF的和，再根据已知代入周长和平移的距离即可求解；
15．【答案】或
【解析】【解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等可得旋转中心一定在线段AC与BD的垂直平分线上，故结合方格纸的特点，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点E的坐标即可；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，同理分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，点N即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点N的坐标即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，
∴，
根据旋转的性质得：，，
在中，，
∴.
故答案为：.
【分析】在中，根据勾股定理求得的长度为5，再根据旋转的性质得，，从而可求得.
17．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，将△ABD绕点A逆时针旋转 60°得到△ACF，连接 EF，过点 F作 FG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G.
由旋转的性质可知，∠ACF=∠ABD=60°，∠CAF=∠BAD，AF=AD，CF=BD=2.
∵ ∠DAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠CAE=30°，
∴ ∠EAF=∠CAF+∠CAE=30°，
∴ ∠EAF=∠EAD.
在△DAE和△FAE中，
∴△DAE≌△FAE(SAS)，
∴ED=EF.
∵∠ACB=∠ACF=60°，
∴ ∠FCG = 180° - ∠ACB - ∠ACF=60°.
∵FG⊥CG，
∴CG=FC·cos∠FCG=1，FG=
∴EG=EC+CG=5，
在 Rt△EFG中， =2
∴DE=EF=2 ，
故答案为：2.
【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转 60°得到△ACF，连接 EF，过点 F作 FG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G，根据旋转和等边三角形的性质得到△DAE≌△FAE，即可得到ED=EF，然后根据余弦的定义求出CG长，再根据勾股定理解答即可.
18．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点绕原点O顺时针旋转得到点，
∴点A运动到的轨迹的长度为，
故答案为：．
【分析】先根据点A的坐标得到，再根据旋转结合弧长公式即可求解。
19．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠AED=90°，
∵点A（0，-2），点B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵ 将线段平移得到线段，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BC=AD=2AB
∴∠OAB+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE，
∵∠AOB=∠AED
∴△ABO∽△DAE，
∴，
∴，
解之：AE=2，DE=4，
∴OE=OA+AE=2+2=4，
∴点D（4，-4）.
故答案为：（4，-4）.
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A、B的坐标，可求出OA、OB的长，利用平移的性质去证明四边形ABCD是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可推出∠BAD=90°，BC=AD=2AB；再利用余角的性质证明∠OAB=∠ADE，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△DAE，利用相似三角形的性质可求出AE，DE的长，即可得到OE的长，由此可得到点D的坐标.
20．【答案】（1）解：如图1中，点F，直线FG即为所求；
（2）解：如图，点M，直线MN即为所求，
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得点F，再连接AC，找到矩形中点O，连接FO即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点M，再根据直线平行性质作图即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
得到．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形EAD中，
AD，
∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，
∴DO，
在Rt△EOD中，ED，
∴EO，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平移得方向和单位长度，作出点A和点B的对应点C和点D，然后分别连接CD，AD，BC即可；
（2）结合网格，根据勾股定理求得AD，ED，进而DO，再根据勾股定理得出EO，进而即可得出．
22．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
（3），．
【解析】【解答】解：（2）画出图形，观察点的坐标，
故答案为：；
（3）如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】
（）根据旋转的性质作图即可解答；
（）根据中心对称图形的性质：连接AO.BO.CO并延长取相等得到的点，再连接起来即可作图；
（）根据平行四边形的性质找到点，即可根据中点坐标公式得出平行四边形对角线中心点的坐标，由直线平分的面积可知该直线经过中心点，将代入直线即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
故答案为：；
（3）解：如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
23．【答案】解：任务一：图形如图所示：
任务二：（4，0）．
【解析】【解答】解：任务二：正六边形的一个外角度数为：.
故DE与x轴正半轴的夹角为60°.故正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°后，点E落在CD的延长线上，即落在x轴上，记作E'，则DE'=DE=4.
∴点E'的横坐标为2+2=4.即点E此时所在位置是坐标为（4，0）.
故答案为：（4，0）.
【分析】（1）按照题目给的操作步骤作图即可；
（2）根据正多边形的外角和计算出一个外角的度数为60°，可得沿点D顺时针旋转60°后点E所在的位置，计算此时的坐标即可.
24．【答案】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
选方法二，如图2，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
同理，
∴，
同理可证，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得．
【解析】【分析】任务一：选方法一，根据三角形中位线定理得到，，即可得到为平行四边形，进而得到，，由拼接可得，，证明结论即可；选方法二，根据三角形中位线得到，，根据两组对边分别相等得到平行四边形；
任务二：根据剪拼特征得到，根据平移得到，进而求出FM的值，再在中利用勾股定理解题．
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