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2025年浙江省县域教研联盟九年级中考二模数学试卷
一、单选题
1．下列各数中比小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．某几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．中国在芯片制造领域取得了显著成就，目前已经实现了7纳米工艺的突破．纳米为长度单位，1纳米等于0.000000001米，则7纳米用科学记数法表示为（ ）
A．7米 B．1米 C．1米 D．7米
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某班7位学生参加社区服务的次数分别为：9，9，8，7，8，10，8．则这7位学生社区服务次数的众数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．8和9
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，对角线相交于点是线段上的一点，连结．若的长为，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
9．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，为的中点，连结，为上一点，，过点作于点于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：__________．
12．若，则___________．
13．不透明的箱子中有3个红球和2个白球，小球除了颜色其余均相同．现随机从箱子中摸出一个球，这个球是白球的概率为___________．
14．已知反比例函数，当时，的取值范围是___________．
15．如图，在中，弦厘米，作正方形，点，均落在圆内，圆心在正方形内．若将正方形沿射线方向平移1厘米，能使边与相切，则将正方形沿射线方向平移___________厘米时，正方形其中一条边与相切．

16．如图，在矩形中，点是上一点，与关于直线对称，点的对称点刚好落在上，连结分别与交于两点．若，则___________，___________．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程组：
19．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的度数．
20．8月8日是我国“全民健身日”，某社区为全力唱响“全民健身与健康同行”，了解全社区5000名居民的健身情况，随机抽取部分居民进行问卷调查，形成了如下调查报告：
调查主题 某社区居民每天健身情况
调查方式 抽样调查 调查对象 部分某社区居民
调查情况 第一项 您每天平均健身时间为（___________） A．小时； B．小时； C．小时； D．小时．
第二项 您主要健身项目是（___________） E．健步走； F．广场舞； G．球类运动； H．其它．
调查结论 ．．．
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的居民中，每天平均健身时间在小时的人数．
(2)估算该社区5000名居民中，主要健身项目是“健步走”的居民人数．
(3)请结合以上信息，写出一条关于该社区健身情况的调查结论．
21．图1是一种纸质的桌面日历，底面纸板可适度向内挤压形变，图2、图3是其置于水平桌面的侧面示意图，、两点始终在水平桌面上，．在图2中，当时，．
(1)求的长．
(2)如图3，若将底面纸板铺平放置，即共线，此时，求此时的长．（参考数据：）
22．图1为某公交车运行线路图（单位：米），甲从家出发匀速步行10分钟到达车站，3分钟后坐上公交车，5分钟后到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，甲离家的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题．
(1)甲的步行速度为___________米/分；公交车的行驶速度为___________米/分；
(2)求图2中线段的函数表达式；
(3)甲下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若甲想搭上同一辆公交车回家，则甲最多在图书馆学习多长时间？（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计）
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
24．如图1，四边形是的内接四边形，．过作，为垂足，延长交的延长线于点．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)若的度数为．
①若，求的正弦值．
②如图2，延长交于点，交的延长线于点．若，求的面积．
参考答案
1．A
解：，，
则各数中比小的数是，
故选：A.
2．C
解：从正面看到的平面图形是
故选：C．
3．D
解：1纳米等于米，
所以7纳米米；
故选：D．
4．D
解：A、，故本选项运算错误；
B、，故本选项运算错误；
C、，故本选项运算错误；
D、，故本选项运算正确；
故选：D.
5．B
解：由题意可知，学生参加社区服务的次数出现最多的数是，
∴学生社区服务次数的众数为，
故选：B．
6．B
解：，
解①得：，
，
解②得：，
，
不等式组解集为：，
在数轴上的表示为：
故选：B．
7．C
解：∵为的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．A
解：菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
故选：A．
9．C
解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大；
又当时，函数的最大值与最小值的和为2，
当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小，
故时，函数取得最大值，且为，
当时，函数取得最小值，且为，
根据题意，得，
解得，与矛盾，
故时无解；
当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大，
当时，函数取得最大值，且为，
当时，函数取得最小值，且为，
此时函数的最大值与最小值的和为2，
∴当时，符合题意；
当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大，
当时，函数取得最大值，且为，
当时，函数取得最小值，且为，
根据函数的最大值与最小值的和为2，得，
解得或，这与矛盾，
故时无解；
综上分析可知：n的取值范围是．
故选：C．
10．D
解：如图所示，过点D作交于点F，交于点G，
∵在中，，，为的中点，
∴
∵
∴
∵，，，
∴四边形，都是矩形
∴，
∴
∴
∴设，则，设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，的值不确定
∴，的值不确定，故A，B错误；
∵的大小不确定，
∴的值不确定，故C错误；
∵
∴
∴
∴，值不变，故D正确．
故选：D．
11．
解：=；
故答案为
12．
解：去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以；
故答案为：．
13．/
解：由题意可知：
随机从箱子中摸出一个球，这个球是白球的概率为，
故答案为：．
14．
解：当时，，
因为反比例函数的图象当时在第一象限，且y随x的增大而减小，
所以当时，的取值范围是；
故答案为：．
15．或
解：设向右平移1厘米后至，连接，过点作于点，设与相切的切点为点，连接交于点，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
由平移得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴
当将正方形沿射线方向平移，平移后对应与相切时，切点记为点，连接，交于，则，
同理可得：，
∵，，
∴点共线，
同理可得：
∴平移距离为：，
当将正方形沿射线方向平移，平移后对应与相切时

∴平移距离为：，
故答案为：或．
16． 2
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴负值舍去，
∴，
∴，
故答案为：，．
17．6
解：
．
18．
解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得：，
把代入③，得，
所以原方程组的解是.
19．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点，分别在，的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
20．(1)人
(2)人
(3)见解析
（1）解：人，
∴此次一共调查了300人，
∴每天平均健身时间在小时的人数为人；
（2）解：人，
∴估算该社区5000名居民中，主要健身项目是“健步走”的居民人数为人；
（3）解：该社区大部分的健身时间在以上，且接近一半的人的主要健身项目都是健步走．
21．(1)
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，
∴中，，，
∴，
∴．
22．(1)60；600
(2)；
(3)甲最多在图书馆学习90分钟．
（1）解：甲的步行速度为米/分；
公交车的行驶速度为米/分；
故答案为：60；600；
（2）解：设直线的函数表达式为，
把和代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：公交车从图书馆站到终点站用时分，
则同一辆公交车到达图书馆站需要时间分，
答：甲最多在图书馆学习90分钟．
23．(1)①；②，
(2)
（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)是等腰三角形，理由见详解
(2)①；②
（1）解：是等腰三角形．
理由如下：
∵，
，
又 ∵，
，
又 ∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
故是等腰三角形．
（2）解：①连接，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
在 中，，
，
∴．
②连接，
在和中
，
，
，，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
，
∵，，
，
，
即，
，
∴的面积为．
而，
，
，
∵，，
∴，
，
的面积为．

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