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广东深圳中学2026届高三下学期二轮阶段考试（一）数学试题
一、单选题
1．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．设为单位向量，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ）
A．0 B．2 C． D．1
4．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B．6
C．8 D．
8．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．e
二、多选题
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
10．抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
11．已知锐角满足，则（ ）
A．角A的取值范围是
B．当时，的面积存在最小值
C．存在使得其边长为三个连续的正整数
D．存在使得其三边长成等比数列
三、填空题
12．已知函数，则在处的切线方程为__________．
13．设Sn是等比数列的前n项和，若，则________.
14．甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________．
四、解答题
15．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2
(1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率；
(2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）．
参考数据：，，，；
设，，
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
16．如图，平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度．
17．已知数列和满足：，，，其中，为实数，，n为正整数．
(1)试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(2)若，求数列的前n项和．
18．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
19．定义．
(1)证明：；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由；
(3)当时，求最大的整数m，使得存在，对任意，都有不等式成立．（参考数据：，）
参考答案
1．B
【详解】设，则，
所以，所以，所以．
故选：B．
2．B
【详解】因为为单位向量，所以，
因为，平方得，即，
所以，即.
故选：B．
3．A
【详解】因为定义域均为且，
所以可得，
又因为是奇函数，是偶函数，所以
即上式可化简为，
再与相加可得，
代入可得，
所以即.
故选：A.
4．C
【详解】的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为函数的对称中心为，
若平移后的图象关于原点对称，
则，得，
因为，故当时，取得最小值.
故选：C.
5．D
【详解】根据意题意，若，则渐近线方程为，即可得，
此时离心率为，即充分性不成立；
若，当离心率为时可得，即可得，
此时渐近线方程为，显然必要性也不成立；
即可得“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的既不充分也不必要条件；
故选：D
6．B
【详解】由，得，解得，即，
由，得或，解得或，则或，
所以.
7．A
【详解】由题意知，设点在直线上，则，
过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则，
所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：，
又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为，
即，因为，所以，所以，
当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点，
所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径，
又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为.
故选：A
8．B
【详解】函数的定义域为R，求导得，
则，解得，于是，
又，则，，
不等式，
令，依题意，恒成立，
当时，，函数在R上单调递增，
而时，，不恒成立；
当时，恒成立，则，；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此的最大值是，此时，
而，故的最大值是.
9．BD
【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
10．ABD
【详解】延长，交准线于.
设，，，
则，
故，故，A正确；
设，联立直线与抛物线，
得，，
，故B正确；
若，则，，故C错误；
，，
，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于A，在锐角中，由，得，解得，A正确；
对于B，由，得，由正弦定理得，
当时，，的面积
，
令，则，求导得
，显然，函数对递增，
函数对递减，因此函数在上递减，又，
则存在，使得，当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，因此函数在无最小值，B错误；
对于C，由，得，由及余弦定理，
得，整理得，则，
当时，令，方程无解；
当时，令，由，
解得，此时，C正确；
对于D，当时，与矛盾；
当时，，即，而，则，
即，令，函数，
求导得，函数在上单调递增，
，则存在，使得，
因此存在使得其三边长成等比数列，D正确.
12．
【详解】，且，则，
则切线方程为，即为．.
故答案为：.
13．
【详解】设等比数列的公比为q，由已知，因为，，
，，，
．
∴．
故答案为：．
14．
【详解】随机变量的所有可能值为2，3，
，，
当时，令，
则，
，
因此.
15．(1)
(2)
【详解】（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年，
保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年，
设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件，
事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有，
两年都不大于3万辆的选法为，所以，
两年都大于3万辆的选法为，所以，
则.
（2）已知模型，两边取对数得，
令，则，即转化为线性回归方程，
其中，由题意得，
则，
，
因为，所以，
则.
16．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于，
由平面平面，平面平面，得平面，
而平面，则，同理，而平面，
所以平面.
（2）由平面平面，平面平面，平面平面，
得直线两两垂直，由，得，
，令点到平面的距离为，由，
得，则，
由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面，
又点E在侧面（含边界）上运动，因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部，
此小圆半径，而正的内切圆半径为，
所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为.
17．(1)当时，是等比数列；当时，不是等比数列.理由见解析
(2)
【详解】（1），
因此，
当时，，此时，
是首项为、公比为的等比数列；
当时，，则对所有成立，此时不是等比数列．
（2）当时，可得，又公比，故，
则，所以，
若，则；
若，则，
所以
，
所以；
综上所述，．
18．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，得，，
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）设点，
当时，设以点为切点的椭圆的切线方程为，
由消去得，，
，
，则，切线方程为，
又，整理得，当时，切线方程为，满足上式，
因此以点为切点的椭圆的切线方程为，
同理以点为切点的椭圆的切线方程为，
而点在上述两条切线上，即，，
于是点的坐标是方程的两个解，
所以直线的方程为.
（ⅱ）由消去得，
，当时，，
，当时，满足上式，
显然关于原点对称，则，即，
则，解得，点到直线的距离，
当时，
，当时，满足上式，
因此，的面积
，令函数，
求导得，当时，；
当时，，函数在上递增，在上递减，
，则当时，，，
所以的面积存在最大值，此时动点P的轨迹为.
19．(1)证明见解析
(2)2个，理由见解析
(3)1
【详解】（1）设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
则.
（2）当时，，
则，
令，得，即，
由于，则时，，此时方程无实数根，即函数无零点；
当时，，可得方程可化为，即，
设，则，
设，则
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，
所以，使得，
当时，；时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则时，在上单调递增，
则，即函数在上单调递减，
又，所以为在上的唯一零点；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，则时，，
所以函数在上单调递增，此时，不存在零点，
又，因此，使得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以在上恒成立，此时函数不存在零点；
当时，单调递减，单调递减，
则函数在上单调递减，
又，，即，
所以函数在上存在唯一零点；
当时，，，
则，即在上不存在零点.
综上所述，函数有且仅有2个零点.
（3）当时，，
则，即，
由题意，存在，对任意，都有不等式成立，
题目求最大的整数m，先设，
即，
设，，，
则，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则，即，，
则，设，
则，
所以在上单调递减，而，则，
则，而，
因此存在，使得，即，
则时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
所以，
又时，，则，
则，则整数m的最大值为1.

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