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2025年湖北省百强县市区联考5月数学试卷
一、单选题
1．现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线表示一块玻璃的两条边，且．现有光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖 B．任选三角形的两边，其差小于第三边
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题，在西方的数学史里将其称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设木条长x尺，绳子长y尺，则根据题意所列方程组是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在面积为24的平行四边形中，对角线绕着它的中点按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E，F，若，则图中阴影部分的面积等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用。经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为______．
12．【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮两种性状，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双性状的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；一个人控制性状的等位基因总是成对出现（如），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮．即基因均为双眼皮．
【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是双眼皮的概率是___________．
13．计算：___________．
14．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为，则输出的的值为．若输入的的值为，则输出的的值为___________．
15．如图，在边长为12的正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，点G，H分别在，上，若，连接，则的长是________．
三、解答题
16．计算：
17．如图，在中，．以点B为圆心，以任意长为半径作弧交，于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D．
(1)判断：与的数量关系是 ；
(2)若，求的长．
18．红星中学积极落实教育部关于加强对中小学生“五项管理”的相关要求，坚持“健康第一”的教育理念，通过一系列措施增强学生身体素质，并不定期对学生进行专项测试，3月对八年级男生1000米跑进行了测试．
【收集数据】从中随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，x（百分制）表示成绩，分成四组：
不及格（），合格（），良好（），优秀（）．
【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下不完整的统计图．
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
77.7 79.7 75 17.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)若八年级有400个男生参加测试，估计测试成绩合格及以上的有多少人？
(3)请从平均数、中位数、众数和方差这四个统计量中任意选一个，解释其在本题中的意义．
19．某校数学实践小组开展测量古树高度的实践活动．小组利用无人机在距离地面168米高的点处，测得该树底端点的俯角为，无人机向树的方向水平飞行50秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为3米／秒．计算这棵树的高度约为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）
20．如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点．
(1)求m，n，k的值；
(2)点在轴的负半轴上，交反比例函数的图象于点，若，求的值．
21．如图，点是边上一点，，以点为圆心，长为半径画圆，与相切于点，交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
22．【综合与实践】为迎接全市青少年乒乓球赛，学校体育队利用乒乓球发球器进行训练，数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析．
【主题】乒乓球发球器的发球有效性的研究
【问题背景】球台长约2.8米，发球器位于球台一侧的边缘，从点处发球，球网位于球台中点距发球器约1.4米处，的高度约为0.15米．
【建立模型】设球距离球台一侧的边缘的水平距离为（单位：米），球距离台面的竖直高度为（单位：米），发球轨迹可视为一条抛物线．
任务一：当发球点距台面高度为0.525米，兴趣小组利用频闪仪测量得到，当球距离球台一侧的边缘的水平距离为1米时，乒乓球飞行到最大高度为0.625米．
（1）求此时与的关系式；
（2）判断此次发球是否有效（球是否越过球网且落在对方台面内）；
任务二：不改变发球器的发球速度和方向（即抛物线开口大小和对称轴不变），发球器的高度调整到一定范围时，发球有效．设，求的取值范围．（结果精确到0.01米）
23．如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值；
(3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长．
24．已知抛物线．
(1)如图1，当抛物线的图象经过点，且对称轴在轴右侧时，
①求抛物线的解析式；
②抛物线与轴交于点，，与轴交于点，若点是直线下方抛物线上一点，作，垂足为点，设，求的最大值及此时点的坐标；
(2)若抛物线交轴于点，设．
①求与的函数解析式；
②将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为，当随的增大而增大时，抛物线将分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．
参考答案
1．A
解：∵，且，
∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球，
故选：A．
2．B
【详解】主视图分别为
故选B．
3．D
解：A.，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项符合题意；
故选：D．
4．A
解：如图所示，
，，
，
，
，
，
故选：A．
5．A
解：
解得，，
在数轴上表示如下：
故选：A
6．B
解：A．小明买彩票中奖是随机事件，故不符合题意；
B．任选三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，故符合题意；
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，故不符合题意；
D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，故不符合题意；
故选：B．
7．A
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
依题意有：．
故选：A．
8．B
解：连接，
直径垂直弦，，
，
，
，
故选：B．
9．C
解：如图：连接，
∵点O是的中点，
∴点O在上，且点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴图中阴影部分的面积．
故选：C．
10．D
解：由图象可知，，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
当时，，
∵，
∴，
∴，即，故选项B不符合题意；
∵，
∴，故选项C不符合题意；
根据函数图象可知，当时，，即，故选项D符合题意；
故选：D．
11．
【详解】；
故答案为：．
12．
解：由题意，列表如下：
B b
B
b
共4种等可能的结果，其中双眼皮的结果有3种，
∴；
故答案为：．
13．3
解：
，
故答案为：3．
14．
解：∵输入的的值为，输出的的值为，，
∴，
解得：，
∴当时，；当时，，
∵，
∴当输入的的值为时，，
∴输出的的值为．
故答案为：．
15．
解：如图，连接，并延长交于点P，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．
解：
．
17．(1)
(2)
（1）解：由作图可知：平分，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
．
，
又，
，
．
在中，
由勾股定理得．
设，则．
在中，
，
，
解得，
的长为．
18．(1)见解析
(2)估计测试成绩合格及以上的有350人；
(3)从平均数看，估计该校八年级男生1000米跑测试平均成绩为77.7分．
或从中位数看，估计该校八年级男生1000米跑测试成绩至少有一半不低于79.7分．
或从众数看，估计该校八年级1000米跑测试成绩为75分的最多．
（1）解：（人），
良好人数为（人）．
如图所示：
（2）解：（人）．
答：估计测试成绩合格及以上的有350人；
（3）解：从平均数看，估计该校八年级男生1000米跑测试平均成绩为77.7分．
从中位数看，估计该校八年级男生1000米跑测试成绩至少有一半不低于79.7分．
从众数看，估计该校八年级1000米跑测试成绩为75分的最多．
19．81.5米
解：如图，作地面于点交的延长线于点，
则四边形为矩形，
米，．
在点处测得该树底端点的俯角为，
．
在Rt中，，
则（米），
（米）．
在中，，
则（米），
（米）．
答：这棵树的高度约为81.5米．
20．(1)，，
(2)
（1）解：将点的坐标代入得，
，
解得：，
当时，
，
，
点．
将点代入得，
．
故，，；
（2）解：，
，
点，，
，
，
点，
∵点P在反比例函数图象上，
，
．
21．(1)见解析
(2)12
（1）解：证明：如图，连接．
与相切于点，
．
又，
平分．
（2）解：，
，
，
．
，
，
，
，
．
22．任务一：（1）（2）球过网但出界，发球无效．任务二：
解：任务一：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，过点，
∴设与的关系式为．
当时，，
，
．
（2）过网判断：当时，
，过网有效；
落点判断：解方程，解得（舍），，
3.5米米，出界．
综上所述，球过网但出界，发球无效．
任务二：设调整后解析式为，
当时，，
∴，
∴
擦网：当时，，
，
落点末端：当时，
，
．
23．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，，，
由（1）知，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴；
（3）解：过点B作交于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴．
24．(1)①，②有最大值为，此时点
(2)①，②
（1）解：①抛物线的图象经过点，
，
．
对称轴在轴右侧，
，
，
．
②过点作轴交BC于点，则，如图，
当时，；
当时，，
点，
．
设，
解得
．
设点，则点，
．
，
，
，
当时，有最大值为，此时点．
（2）①当时，，
点．
当点在轴上方或与点重合时，或，
；
当点在轴下方时，，
．
综上所述，
②，当时，，当，，
，当时，，当，，
画出两个一次函数图像如下，将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为M，那么中横、纵坐标均为整数的点有：，，，，，，,，共8个，
，
时，，时，，如图所示：
观察图像，可知当随的增大而增大时，或
，
对称轴为，
当时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，此时对称轴在轴的右侧，即，如图所示：
解方程，得（舍去负值）；
解方程，得（舍去负值）；
．

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