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专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（本题3分）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）已知，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）2024年4月12日下午，湖南师大附中举行了庆祝建校119周年春季马路赛跑活动，赛程全长4.12千米，小军和小娟参加了这次活动，已知小军每小时能比小娟多跑1千米，他们同时起跑，小军先到2分钟，求小军的速度.在这个问题中，若设小娟每小时能跑千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
．．．．．．
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（ ）
A．2601 B．2501 C．2400 D．2419
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（本题3分）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ．
13．（本题3分）因式分解 ．
14．（本题3分）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ．
15．（本题3分）已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ．
16．（本题3分）若关于的方程有解，则的取值范围是 ．
17．（本题3分）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗．
18．（本题3分）已知，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：．
20．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
21．（本题8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
22．（本题8分）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
23．（本题9分）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定
(1)计算的值．
(2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简．
(3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
24．（本题9分）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
25．（本题10分）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
26．（本题10分）我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是．
(1)写出一元二次方程的“倒序方程”；
(2)分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论；
(3)若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根．
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专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
【详解】解：，是负数，共2个，
故选：B．
2．（本题3分）在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查无理数的概念，求一个数的算术平方根，根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断．
【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个，
故选：A．
3．（本题3分）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、熟记各运算法则是解题关键．
根据整式的乘法、完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
B． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
C． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
D． ，原式运算不正确，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（本题3分）一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】解：∵，
故选：B．
5．（本题3分）若，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
故选：C．
6．（本题3分）已知，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
7．（本题3分）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为，右边一幅图阴影部分面积为，
∵两幅图阴影部分面积相等，
∴，
故选：D．
8．（本题3分）2024年4月12日下午，湖南师大附中举行了庆祝建校119周年春季马路赛跑活动，赛程全长4.12千米，小军和小娟参加了这次活动，已知小军每小时能比小娟多跑1千米，他们同时起跑，小军先到2分钟，求小军的速度.在这个问题中，若设小娟每小时能跑千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据小军及小娟速度间的关系，可得出小军每小时能跑千米，利用时间路程速度，结合小军比小娟先到2分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：小军每小时能比小娟多跑1千米，且小娟每小时能跑千米，
小军每小时能跑千米．
根据题意得：．
故选：C．
9．（本题3分）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式有且只有两个偶数解，
，
，
解分式方程得：，
原分式方程有解，
，
是原分式方程的增根，
，
综上，，且，，为整数，
或，
所有满足条件的整数的和是．．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法．
10．（本题3分）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
．．．．．．
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（ ）
A．2601 B．2501 C．2400 D．2419
【答案】A
【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可．
【详解】解：观察以下算式：
发现规律：，
∵
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．（本题3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
12．（本题3分）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，根据二次项系数非零及是原方程的一个解，求出的值是解题的关键．将代入原方程，可求出，根据一元二次方程的定义，可求出，进而可确定的值．
【详解】关于的一元二次方程的一个根为0，
，
．
．
故答案为：
13．（本题3分）因式分解 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．（本题3分）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值．
【详解】解：是的算术平方根，
，
又的算术平方根是，
，
，
故答案为：．
15．（本题3分）已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系和概率计算是解题的关键．
根据一元二次方程有解的判定方法“”可得的值，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：关于的方程有解，
∴，
解得，，
∴的值可以是或，两个值，
∴方程有解的概率为，
故答案为： ．
16．（本题3分）若关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是注意分母不为0这个条件．
把分式方程化简后得，根据关于的方程有解，则方程的根使得分式方程有意义，即，则，答案可解．
【详解】解：
方程两边同时乘()得：，
解得：，
∵关于的方程有解，
∴，即，
∴ ，即，
故答案为：．
17．（本题3分）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗．
【答案】
【分析】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察图案总结小五角星数与图案数间的关系，据此规律求和即可．
【详解】解：第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
，
∴第个图案中，小五角星有个，
∴第个图案中小五角星有个．
故答案为：
18．（本题3分）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：．
【答案】0
【分析】本题考查二次根式的混合运算．首先代入特殊角的三角函数值，计算乘方、开方，零指数幂，然后算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
20．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分母有理化等知识点，熟练掌握分式化简求值的基本步骤是解题的关键：先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算．
先化简，再把代入化简结果求值即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21．（本题8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
22．（本题8分）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
(2)，
【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）C可进一步约分；
（2）利用分式的混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：∵
故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
（2）解：
23．（本题9分）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定
(1)计算的值．
(2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简．
(3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
【答案】(1)20
(2)
(3)不一定，理由见解析
【分析】本题考查新定义运算及数轴，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算．
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；
（3）当时，不一定有或者，举例即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：
，
，
则；
（2）解：根据题意可得，，
∴
∴；
（3）解：由得，
不一定有或者，
例如：取，则，
此时等式成立，但且；
24．（本题9分）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)的值为．
【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
25．（本题10分）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元
(2)①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组．
（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出；
②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元．
依题意，得解得
答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个．
，
即．
②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
，解得．
随的增大而增大，为整数，
当时，（元）．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
26．（本题10分）我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是．
(1)写出一元二次方程的“倒序方程”；
(2)分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论；
(3)若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根．
【答案】(1)
(2)；；倒数关系，证明见解析
(3)或
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握“倒序方程”的定义，是解题的关键：
（1）直接根据新定义作答即可；
（2）因式分解法求出两个方程的解，根据解的情况进行猜想即可；
（3）先求出关于x的方程的两根是，，进而得到的两个根为：或，再进行求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的“倒序方程”为：；
（2）解：
，
解得：；
，
解得：；
∵，
∴猜想：的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系，
证明：的两个根为，
的两根为：，
∴，
，
∴的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系；
（3）解：关于x的方程的两根是，，
则：关于x的方程的两根是，，
∴，即：的两个根为：
或，
解得：或．
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