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（人教版）七年级
下
8.3 实数及其简单运算
（第一课时）
实数
第8章
“七”
学习目标
1.理解无理数和实数的概念．
2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，初步体会“数形结合”思想．
复习回顾
1. 什么是有理数？
2. 有理数怎样分类？
可以写成分数形式的数称为有理数.
有理数
正有理数
0
负有理数
情景导入
我们知道，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此他们也可以看成分数.
1.41421356…
1.44224957…
3.14159265…
它们是有理数吗？
利用计算器求值：

探究新知
【探究】
把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
4，，- ，，，
4 =4.0， =2.5，- =-0.6， =6.75， =1.， =0.
发现：它们都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
探究新知
4 =4.0， =2.5，- =-0.6， =6.75， =1.， =0.
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
思考：所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
有理数
正有理数
0
负有理数
有限小数或无限循环小数
探究新知
思考：所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是有理数.
无限不循环小数又叫作无理数.
探究新知
无限不循环小数叫作无理数.
无理数的概念：
像有理数一样，无理数也有正负之分.
例如，
是正无理数，
是负无理数.
探究新知
溯源
我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”。
探究新知
有理数与无理数的区别：
有理数 无理数
是有限小数或无限循环小数
是无限不循环小数
都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）
不能写成分数的形式
探究新知
(1)开方开不尽的数，如 ， 等；
(2) π及化简后含有π的式子，如 ，2-π等；
(3)有规律但不循环的小数，如1.212212 221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等；
(4)有理数和无理数的和、差，如 ， 等；
常见的无理数有哪些：
探究新知
1.实数的概念：
2.实数的分类：
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
有理数和无理数统称为实数.
(1)按概念分：
(2)按正负分：
实数
正实数
负实数
0
巩固练习
将下列各数填入相应的括号内
无理数集合：
整数集合：
分数集合：
正实数集合：
负实数集合：
有理数集合：
π，，，，1.010010001…，0，2.
，，0，2.
π，，1.010010001…
，0，
π，，1.010010001…，
，2.
，
探究新知
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢
你能在数轴上画出 吗？
0
2
1
3
-1
-2
正无理数
个单位长度
负无理数
个单位长度
探究新知
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点 对应的数是多少
【思考】
从图中我们可以看出的长就是这个圆的周长，所以对应点对应的数就是，这样，数轴上的点就表示无理数。
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
探究新知
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 。(为什么？)
-1
-2
0
2
1
3
探究新知
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的_______ 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的.
一一对应
实数
实数
数轴上的点
一一对应
-1
-2
0
2
1
3
4
π
一个点
探究新知
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（1）正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；
（2）两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
-2
-3
-1
1
0
2
-4
(1) 在数轴上标出-π， ，所对应点的大致位置。
(2) 根据数轴比较-π， ，的大小。
-π< <
探究新知
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（1）正实数大于，负实数小于 ，正实数大于一切负实数；
（2）两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
-2
-3
-1
1
0
2
-4
(1) 在数轴上标出-π， ，所对应点的大致位置。
(2) 根据数轴比较-π， ，的大小。
-π< <
巩固练习
1.判断题。
(1) 无限小数都是无理数；
【教材P54 练习第1题】
(2) 无理数都是无限小数；
(3) 用根号表示的数都是无理数；
(4) 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。
×
无限循环小数是有理数
√
×
是有理数
×
数轴上的点表示有理数或无理数。
√
巩固练习
2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？
【教材P54 练习第2题】
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平方根
立方根
0
±1
0
1
有理数
无理数
0
±1
±2
±3
巩固练习
3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)：
【教材P54 练习第3题】
-2
-3
-1
1
0
2
-4
拓展题
1.如图，数轴上表示 的点是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
拓展题
2. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为 和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 个.
3　
拓展题
3.如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上
点到达点，点 对应的数是2，则滚动前点 对应的数是( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
实数的概念
无理数
正有理数
0
负有理数
无限不循环小数
无理数
实数
实数与数轴上的点的关系
有理数
一一对应
正无理数
负无理数
Thanks!
2
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