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11.1二次根式的概念
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．若，化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．12
6．一次函数的图象如图所示，则化简的结果是( )
A．1 B．－1 C．2m－3 D．－2m＋3
7．若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．若x、y均为实数，且，求的平方根（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．要使式子有意义，则m的取值范围是___．
10．若，则______．
11．如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根，那么k＝_____．
12．已知，那么_______．
13．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…那么第10个数据应是___．
14．已知为实数，且，则的化简结果为______．
15．已知，则的值为______．
16．已知a，b，c是三角形的三边长，化简________．
三、解答题
17．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（1）已知函数，求自变量的取值范围．
（2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量．
19．在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1．
(1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上．
(2)在图中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上．
20．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号）
21．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请根据【阅读材料】来完成【解决问题】的证明．
【阅读材料】已知实数x，y满足，求证：．
证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴．
【解决问题】已知实数x，y满足，求证．
22．综合与实践：
无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称PWW），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也是一个很重要的定理．
任务一：我会表达
赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理，该定理的内容是____________；
任务二：我会探索
课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图2，点B是正方形中边上一点，连接，得到，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学结合图2、图3图形的面积不变验证了此定理．请你写出该方法验证的过程．
任务三：我会应用
如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面的墙上，任何东西只要移到离该监控及内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高，则她刚好走到离墙几米的地方监控就会开始自动记录．
试卷第2页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D A B A B A
1．B
【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不合题意；
D、是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
2．A
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
3．D
【详解】解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
【详解】∵
，
∵，
∴，
故选A．
5．B
【详解】解：n为正整数，也是正整数，
所以是一个完全平方数，
所以n的最小值是3．
故答案为：3．
6．A
【详解】解：由图象得一次函数的图象经过一、二、四象限，且与y轴的交点在（0，2）下方，原点上方，
所以，，
解得，，
∴
=
=
=
=
=1，
故选：A.
7．B
【详解】∵当时，无意义，
∴，解得，
∵当时，是二次根式，
∴，解得，
∴，
∴a的值可能是8，
故选：B．
8．A
【详解】解：由题意知，要使和存在有意义，需满足：
，
∴，
将代入原方程：，
解得：，
∴，
∴的平方根为．
故选：A．
9．
【详解】解：由题意可知：．
∴．
故答案是：．
10．
【详解】∵，
∴
∴．
故答案为：．
11．0
【详解】解：把x＝1代入方程，得＝1，
两边平方，得1+k＝1，
解得k＝0．
经检验，k＝0符合题意．
故答案为：0．
12．
【详解】当x=时，f（）=．
故答案为：
13．
【详解】解：∵0，，，3，，，，……
∴，，，，，，，……，
∴第10个数据应是．
故答案为：．
14．
【详解】解：∵，
，
∴
，
故答案为：．
15．8
【详解】解：设，则，且，
，
即，
解得：，
，
，
，
即，
故答案为：
16．2c﹣2a
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a﹣b＜c，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0，又=∣a∣，
∴
=﹣（a﹣b﹣c）﹣∣a+b﹣c∣
=﹣a+b+c﹣（a+b﹣c）
=﹣a+b+c﹣a﹣b+c
=2c﹣2a，
故答案为：2c﹣2a．
17．(1)当时，；当时，
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，，
当时，；
（2）；
（3）．
18．（1）；（2），，是变量，400是常量
【详解】解：（1）根据题意，得解得．
（2），其中，是变量，400是常量．
19．
【详解】（1）解：线段，即为所求，如图所示：
（2）解：即为三条边长分别为，，的三角形．如图所示：
20．M岛与P岛之间的距离是海里．
【详解】解：由题意得：，
∴为直角三角形，
（海里），（海里），
在中，由勾股定理得：
（海里），
答：M岛与P岛之间的距离是海里．
21．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．
【详解】任务一：解：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
任务二：证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
任务三：解：如图：
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
当时，摄像头刚好监控到，
在中，，
∴，
∴她走到离墙米的地方监控就会自动记录．

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