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四川省广安市2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试题样卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025九下·广安期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025九下·广安期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·广安期中）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·广安期中）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．是不等式的解，这是一个必然事件
5．（2025九下·广安期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·广安期中）如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·广安期中）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．加入絮凝剂的体积是时，净水效果最好
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．未加入絮凝剂时，净水率为0
8．（2025九下·广安期中）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
9．（2025九下·广安期中）如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·广安期中）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2025九下·广安期中）分解因式： 　 　.
12．（2025九下·广安期中）如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则　 　．
13．（2025九下·广安期中）一个三角形的两边长分别为15和17，第三边的长是一组数据6，8，7，8，9，8，3的中位数，则这个三角形的面积为　 　．
14．（2025九下·广安期中）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若与的面积比为，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共44分）
15．（2025九下·广安期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
16．（2025九下·广安期中）为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（；；；），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求参与本次随机调查的市民共有______人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为_________；
（2）补全条形统计图；
（3）小月打算在、两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
17．（2025九下·广安期中）2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即．
（1）求下管的长．
（2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据）
18．（2025九下·广安期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标．
19．（2025九下·广安期中）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．（2025九下·广安期中）等腰三角形的两边长是4和5，则它的周长是　 　．
21．（2025九下·广安期中）已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为　 　．
22．（2025九下·广安期中）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么　 　．
23．（2025九下·广安期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为　 　．
24．（2025九下·广安期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．（2025九下·广安期中）某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每株种菜苗的价格比每株种菜苗的价格便宜2元，用20元购买种菜苗和30元购买种菜苗的株数相同．
（1）求市场上每株种菜苗和种菜苗的价格各是多少？
（2）经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共120株，种菜苗的株数不超过种菜苗的株数的．且购买的总费用不超过600元．求本次学校购买菜苗的最少费用是多少？
26．（2025九下·广安期中）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度．
27．（2025九下·广安期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点，抛物线过点，且与轴交于另一个点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的动点．
①连接与线段交于点，则当为线段中点时，求出点坐标．
②过点作，垂足为，且以点、、为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，且点B表示的数为，
∴。
又∵ 点A位于原点O的右侧，
∴ 点A表示的数为：。
故选：A．
【分析】本题考查数轴的相关知识，解题时需要从题目中提取关键数量关系进行求解。根据条件，先求出线段的长度，进而确定点A在数轴上对应的数值。
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：计算幂的乘方，结果与选项A不符，A错误。B：和不是同类项，不能直接相加，B错误。
C：进行单项式乘法运算，计算结果正确，C正确。
D：展开完全平方公式，结果与选项D不符，D错误。
故选：C．
【分析】本题考查了整式的运算相关知识，包括幂的乘方、同类项判断、单项式乘法以及乘法公式的应用。
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：左视图是两个上下摆放的正方形，
如图所示．
故选：A．
【分析】本题考查由小立方体堆叠而成的几何体的三视图判断，左视图是指从左向右观察几何体时所得到的平面投影图形，需根据题目要求绘制出相应视图。
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；可能性的大小；方差；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A：因为，所以甲的成绩更稳定，A不正确；
B：某奖券的中奖率是，是买1000张奖券，可能会中奖1次，B不正确；
C：要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用普查，C不正确；
D：当时，不等式成立，是不等式的一个解，所以这是一个必然事件，D正确．
故选：D．
【分析】本题主要考查方差、普查与抽样调查、事件的分类等知识点。根据方差的性质，方差越小表示数据越稳定，可分析选项A；结合事件发生的可能性可判断选项B；根据普查的定义和适用范围分析选项C；依据必然事件的概念对选项D进行判断。
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：A．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用。设该景点接待游客人次的年平均增长率为，根据题意可得：2023年接待游客数为万人次，2024年接待游客数为万人次。根据题目描述，2024年接待游客数为36万人次，因此可列出方程：。
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点，∴，
由旋转的性质得，∴点．
故选：D.
【分析】本题考查旋转的性质以及平面直角坐标系中点的坐标确定。已知点A的坐标为，由此可得：OB = 3（y坐标绝对值），AB = 2（x坐标绝对值）
根据旋转性质：旋转后OD = OB = 3，旋转后CD = AB = 2，由于点C位于第一象限，其坐标为(3，2)。
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；数据分析
【解析】【解答】解：观察图像可知：
随着加入絮凝剂的体积增加净水率增加，当体积是时，净水率最高，再加入絮凝剂，净水率下降，则A不正确，B正确；
从净水率增加量为，净水率增加量为，可知增加量不相等，则C不正确；
当絮凝剂为0时，净水率大于0，则D不正确。
故选：B.
【分析】本题考查函数图象的识别能力。首先分析图像特征：当絮凝剂用量为0时，净水率初始值大于0；随着絮凝剂体积增加（0-0.5mL区间），净水率呈现上升趋势；在0.5mL处达到峰值后，继续增加絮凝剂用量会导致净水率下降。关键计算步骤：比较不同区间的净水率变化量：0.2-0.3mL区间的增长率，0.3-0.4mL区间的增长率，通过对比这两个区间的增长幅度差异即可得出正确答案。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程中，，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选：C.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用。首先计算判别式：由于恒成立，因此判别式。根据判别式的性质可知，该方程总有两个不相等的实数根。
9．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点，
由题可知：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式。解题步骤如下：作辅助线BG⊥AC于点G；由题可知：AB=BC=AF=EF=4，∠ABC=∠BAF=∠F=120°；由此可求出∠ACB=∠CAB=30°；利用等腰三角形性质结合直角三角形性质可得：BG=AB=2，AC=2AG；计算得AC=2AG=4；同理可得：∠EAF=30°，AF=4；求出∠CAE=60°；最后应用扇形面积公式即可求解。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，，
，，，故①错误；
由题意可知时，，，，故②错误；
∵图象关于直线对称，，∴，③正确；
，，，
，，④正确；
故选：C．
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质及相关结论的判断。具体分析如下：
关于结论①：通过分析抛物线的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴位置，可以确定系数的符号关系，从而判断该结论的正确性。
关于结论②：当时，由可得不等式，由此可判断该结论成立。
关于结论③：利用抛物线的对称性可得出该结论成立。关于结论④：由对称轴为可得，代入后即可验证该结论的正确性。
综合以上分析即可得出最终答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行线的性质和对顶角的相关知识。首先利用对顶角相等的性质得出，然后根据平行线的性质（两直线平行时同位角相等）进行求解。
13．【答案】60
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；中位数
【解析】【解答】解：将第三边的长数据从小到大排列为3，6，7，8，8，8，9，故中位数为8，
∴该三角形第三边的长是8，
∵，
∴该三角形为直角三角形，并且两条直角边为8和15，
∴该三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查中位数的概念和勾股定理的逆定理应用。根据中位数的定义可以确定三角形第三边的长度为8。通过勾股定理逆定理验证可知，这个三角形是一个直角三角形，其中两条直角边分别为8和15。最后利用三角形面积公式计算即可得到正确结果。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图的应用以及相似三角形的性质。由题可知，通过作图可以得到角相等关系：。由此可证明三角形相似关系。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：；由此解得：；再转换一下就可得到最终的解答结果。
15．【答案】解：（1）
；
（2）
为的整数，且
原式
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数运算和分式化简求值，需要掌握相关知识点并灵活运用。
（1）本小题涉及三角函数的计算、负整数指数幂运算、绝对值处理以及零指数幂的性质应用，综合这些知识完成实数运算；
（2）解题步骤为：首先对括号内的分式进行通分，然后按照分式运算法则逐步化简，最后选取合适的值代入计算得出最终结果。
16．【答案】（1）20，
（2）解：组人数为（人），
组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
D组/C组 男1 男2 女1 女2
男3 （男1，男3） （男，男3） （女1，男3） （女，男3）
女3 （男1，女3） （男，女3） （女1，女3） （女，女3）
女4 （男1，女） （男，女4） （女1，女4） （女，女4）
（说明：画树状图或列表法自选其一即可）
共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的结果有6种．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由题可知：参与本次随机调查的市民共有人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的关联信息处理、条形统计图的补全、扇形统计图圆心角的计算、利用列表法或树状图法求概率等知识点。掌握这些知识点并能灵活运用是解决本题的关键。
（1）根据A组的人数及其所占比例，计算参与本次随机调查的市民总人数；再利用乘以B组人数所占比例，求出对应的圆心角度数。
（2）先计算出C组和D组的人数，再根据计算结果补充完整条形统计图。
（3）通过画树状图的方法求解概率问题。
（1）解：参与本次随机调查的市民共有人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为；
（2）解：组人数为（人），
组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
D组/C组 男1 男2 女1 女2
男3 （男1，男3） （男，男3） （女1，男3） （女，男3）
女3 （男1，女3） （男，女3） （女1，女3） （女，女3）
女4 （男1，女） （男，女4） （女1，女4） （女，女4）
（说明：画树状图或列表法自选其一即可）
共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的结果有6种．
．
17．【答案】（1）解：如图所示：
设下管的长为，则，
，
在中，由勾股定理可得，则，
，
答：下管的长为
（2）解：由题意得：，，
在中，，
，
，
答：此时应将座管调为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，综合运用了勾股定理和三角函数知识，解题时需要结合图形分析问题。
（1）设下管CG的长度为x cm，根据题意可得AG = (x - 10) cm。在直角三角形ACG中，应用勾股定理建立方程求解x的值。
（2）根据题目条件计算得：ED = 75 - 20 = 55 cm，且∠ACB = 74°。在直角三角形CDE中，利用正弦函数关系式sin74° =，代入已知数值即可求得EC的长度。
解题过程中需要注意：正确建立几何模型；准确运用三角函数公式；注意单位统一.
（1）解：如图所示：
设下管的长为，则，
，
在中，由勾股定理可得，则，
，
答：下管的长为；
（2）解：由题意得：，，
在中，，
，
，
答：此时应将座管调为．
18．【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入，得，解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或．
19．【答案】（1）证明：连接
是的直径
，
是等腰直角三角形
，
，
．
而和是弧所对的圆心角和圆周角，
，
，
，
是的切线
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
在中，
，
，，
四边形是平行四边形，
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的相关知识。
（1）连接，根据圆周角定理可知。通过证明为等腰直角三角形，得到。结合平行线的性质和圆周角定理，最终得出，从而完成证明。
（2）通过解直角三角形得到，再利用勾股定理计算出，进而得出。运用平行线分线段成比例定理求出，并计算得到。最后通过证明四边形是平行四边形来得出结论。
（1）证明：连接
是的直径
，
是等腰直角三角形
，
，
．
而和是弧所对的圆心角和圆周角，
，
，
，
是的切线．
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
在中，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
20．【答案】13或14
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①腰长为4，底边长为5，满足三角形的三边关系，周长 ；
②腰长为5，底边长为4，满足三角形的三边关系，周长 ；
故答案为：12或14.
【分析】分腰长为4；腰长为5，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
21．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程两个实数根，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：，．先将m代入方程得到，由韦达定理得，然后代入代数式，简化运算即可．
22．【答案】13
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了新定义的运算以及二元一次方程组的解法。根据题目条件，
可以列出方程组：。
通过解这个方程组，得到解为：
。
最终计算结果即可得出答案。
23．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：对称轴为直线，
∵，，，
解得：，
∴，
在轴上取点，连接，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且点是抛物线与轴交点，
∴，
∴，
∴当点共线时，取得最小值，即为，
此时点为与抛物线对称轴的交点，
设直线表达式为，
代入点，得，
解得：，
∴直线表达式为，
当时，，
∴点E坐标为．
【分析】本题综合考查二次函数性质、平行四边形判定、一次函数解析式求解及最短路径原理。解题核心在于通过构造平行四边形实现线段转化，并运用"两点之间线段最短"原理确定最小值位置。首先确定抛物线与坐标轴的交点坐标及对称轴位置。在y轴上取定点，连接、、后，可证四边形为平行四边形，因此有。由此可得，当、、三点共线时，取得最小值，此时点即为直线与抛物线对称轴的交点，通过求直线的解析式即可确定点坐标。
24．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；图形位似变换的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而，
∴在第三象限，且，
∴横坐标为，，纵坐标为，，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转变换、点的坐标规律、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于理解旋转过程中的循环规律，并通过画图辅助分析。根据题意，每旋转6次构成一个完整的循环周期。通过观察可以发现，点A的对应点在第三象限出现。同时，旋转后的线段长度满足关系式：，由此可得出最终答案。
25．【答案】（1）解：设市场上每株A种菜苗价格为元，则每株种菜苗价格为元
由题意得：．
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：市场上每株A种菜苗和B种菜苗的价格各为4元，6元
（2）解：设采购A种树苗株，则种树苗株，总费用为元．
由题意得：.
解得：，且为整数.
在中
，
随的增大而减小，
当时的值最小，
（元）.
答：本次学校购买菜苗的最少费用是576元
【知识点】一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。（1）设市场上A种菜苗每株价格为元，则B种菜苗每株价格为元。根据题意，用20元购买A种菜苗的株数与30元购买B种菜苗的株数相等，由此可列出分式方程求解。
（2）首先建立总费用关于购买数量的函数关系式（一次函数），再根据题目条件列出不等式组确定变量的取值范围。最后利用一次函数的性质分析最值情况，从而得出最终答案。
（1）解：设市场上每株A种菜苗价格为元，则每株种菜苗价格为元
由题意得：．
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：市场上每株A种菜苗和B种菜苗的价格各为4元，6元；
（2）解：设采购A种树苗株，则种树苗株，总费用为元．
由题意得：.
解得：，且为整数.
在中
，
随的增大而减小，
当时的值最小，
（元）.
答：本次学校购买菜苗的最少费用是576元.
26．【答案】（1）解：，，，
点是的中点，
，且，
，
，
又；
∴
（2）解：连接，
∵的中点为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴四边形为正方形，
∵四边形的面积为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题时需要灵活运用这些知识。
（1）根据等腰直角三角形性质可得：，，，由此可证，从而得出；
（2）连接后，先证明四边形是正方形，得到，再计算，最后运用勾股定理求出结果。
（1）解：，，
，
点是的中点，
，且，
，
，
又；
∴；
（2）解：连接，
∵的中点为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴四边形为正方形，
∵四边形的面积为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或3．
27．【答案】（1）解：对于直线，当时，，即点的坐标为，当时，，即点的坐标为，
将，代入抛物线中，
可得，解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：①设点的坐标为，其中，∵点为线段中点，
∴点的坐标为，
将其代入，可得：，
整理得：，即，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为；
②对于抛物线，令，即，解得：，，
∴点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
过点作轴，，
∴，则，
∴，
∴，则，
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题；数形结合
【解析】【分析】本题综合考查了二次函数的相关知识，包括利用待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等核心知识点。解题时需要合理添加辅助线，并注意运用分类讨论思想进行分析。
（1）通过直线方程可确定点C的坐标和点A的坐标。将这些坐标代入抛物线方程，运用待定系数法即可求解抛物线方程。
（2）①设点的坐标为，其中，由中点坐标公式得点的坐标为，将点D其代入，得，解方程即可求解；
②根据题意求得点的坐标为，得，，过点作轴，，先证明，则，再分两种情况：当时，，当时，，分别讨论即可求解．
（1）解：对于直线，当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
将，代入抛物线中，
可得，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）①设点的坐标为，其中，
∵点为线段中点，
∴点的坐标为，
将其代入，可得：，
整理得：，即，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为；
②对于抛物线，令，即，解得：，，
∴点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
过点作轴，，
∴，则，
∴，
∴，则，
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
1 / 1四川省广安市2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试题样卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025九下·广安期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，且点B表示的数为，
∴。
又∵ 点A位于原点O的右侧，
∴ 点A表示的数为：。
故选：A．
【分析】本题考查数轴的相关知识，解题时需要从题目中提取关键数量关系进行求解。根据条件，先求出线段的长度，进而确定点A在数轴上对应的数值。
2．（2025九下·广安期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：计算幂的乘方，结果与选项A不符，A错误。B：和不是同类项，不能直接相加，B错误。
C：进行单项式乘法运算，计算结果正确，C正确。
D：展开完全平方公式，结果与选项D不符，D错误。
故选：C．
【分析】本题考查了整式的运算相关知识，包括幂的乘方、同类项判断、单项式乘法以及乘法公式的应用。
3．（2025九下·广安期中）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：左视图是两个上下摆放的正方形，
如图所示．
故选：A．
【分析】本题考查由小立方体堆叠而成的几何体的三视图判断，左视图是指从左向右观察几何体时所得到的平面投影图形，需根据题目要求绘制出相应视图。
4．（2025九下·广安期中）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．是不等式的解，这是一个必然事件
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；可能性的大小；方差；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A：因为，所以甲的成绩更稳定，A不正确；
B：某奖券的中奖率是，是买1000张奖券，可能会中奖1次，B不正确；
C：要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用普查，C不正确；
D：当时，不等式成立，是不等式的一个解，所以这是一个必然事件，D正确．
故选：D．
【分析】本题主要考查方差、普查与抽样调查、事件的分类等知识点。根据方差的性质，方差越小表示数据越稳定，可分析选项A；结合事件发生的可能性可判断选项B；根据普查的定义和适用范围分析选项C；依据必然事件的概念对选项D进行判断。
5．（2025九下·广安期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故选：A．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用。设该景点接待游客人次的年平均增长率为，根据题意可得：2023年接待游客数为万人次，2024年接待游客数为万人次。根据题目描述，2024年接待游客数为36万人次，因此可列出方程：。
6．（2025九下·广安期中）如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点，∴，
由旋转的性质得，∴点．
故选：D.
【分析】本题考查旋转的性质以及平面直角坐标系中点的坐标确定。已知点A的坐标为，由此可得：OB = 3（y坐标绝对值），AB = 2（x坐标绝对值）
根据旋转性质：旋转后OD = OB = 3，旋转后CD = AB = 2，由于点C位于第一象限，其坐标为(3，2)。
7．（2025九下·广安期中）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．加入絮凝剂的体积是时，净水效果最好
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．未加入絮凝剂时，净水率为0
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；数据分析
【解析】【解答】解：观察图像可知：
随着加入絮凝剂的体积增加净水率增加，当体积是时，净水率最高，再加入絮凝剂，净水率下降，则A不正确，B正确；
从净水率增加量为，净水率增加量为，可知增加量不相等，则C不正确；
当絮凝剂为0时，净水率大于0，则D不正确。
故选：B.
【分析】本题考查函数图象的识别能力。首先分析图像特征：当絮凝剂用量为0时，净水率初始值大于0；随着絮凝剂体积增加（0-0.5mL区间），净水率呈现上升趋势；在0.5mL处达到峰值后，继续增加絮凝剂用量会导致净水率下降。关键计算步骤：比较不同区间的净水率变化量：0.2-0.3mL区间的增长率，0.3-0.4mL区间的增长率，通过对比这两个区间的增长幅度差异即可得出正确答案。
8．（2025九下·广安期中）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程中，，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选：C.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用。首先计算判别式：由于恒成立，因此判别式。根据判别式的性质可知，该方程总有两个不相等的实数根。
9．（2025九下·广安期中）如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点，
由题可知：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式。解题步骤如下：作辅助线BG⊥AC于点G；由题可知：AB=BC=AF=EF=4，∠ABC=∠BAF=∠F=120°；由此可求出∠ACB=∠CAB=30°；利用等腰三角形性质结合直角三角形性质可得：BG=AB=2，AC=2AG；计算得AC=2AG=4；同理可得：∠EAF=30°，AF=4；求出∠CAE=60°；最后应用扇形面积公式即可求解。
10．（2025九下·广安期中）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，，
，，，故①错误；
由题意可知时，，，，故②错误；
∵图象关于直线对称，，∴，③正确；
，，，
，，④正确；
故选：C．
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质及相关结论的判断。具体分析如下：
关于结论①：通过分析抛物线的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴位置，可以确定系数的符号关系，从而判断该结论的正确性。
关于结论②：当时，由可得不等式，由此可判断该结论成立。
关于结论③：利用抛物线的对称性可得出该结论成立。关于结论④：由对称轴为可得，代入后即可验证该结论的正确性。
综合以上分析即可得出最终答案。
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2025九下·广安期中）分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．（2025九下·广安期中）如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行线的性质和对顶角的相关知识。首先利用对顶角相等的性质得出，然后根据平行线的性质（两直线平行时同位角相等）进行求解。
13．（2025九下·广安期中）一个三角形的两边长分别为15和17，第三边的长是一组数据6，8，7，8，9，8，3的中位数，则这个三角形的面积为　 　．
【答案】60
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；中位数
【解析】【解答】解：将第三边的长数据从小到大排列为3，6，7，8，8，8，9，故中位数为8，
∴该三角形第三边的长是8，
∵，
∴该三角形为直角三角形，并且两条直角边为8和15，
∴该三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查中位数的概念和勾股定理的逆定理应用。根据中位数的定义可以确定三角形第三边的长度为8。通过勾股定理逆定理验证可知，这个三角形是一个直角三角形，其中两条直角边分别为8和15。最后利用三角形面积公式计算即可得到正确结果。
14．（2025九下·广安期中）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若与的面积比为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图的应用以及相似三角形的性质。由题可知，通过作图可以得到角相等关系：。由此可证明三角形相似关系。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：；由此解得：；再转换一下就可得到最终的解答结果。
三、解答题（本大题共6个小题，共44分）
15．（2025九下·广安期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
【答案】解：（1）
；
（2）
为的整数，且
原式
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数运算和分式化简求值，需要掌握相关知识点并灵活运用。
（1）本小题涉及三角函数的计算、负整数指数幂运算、绝对值处理以及零指数幂的性质应用，综合这些知识完成实数运算；
（2）解题步骤为：首先对括号内的分式进行通分，然后按照分式运算法则逐步化简，最后选取合适的值代入计算得出最终结果。
16．（2025九下·广安期中）为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（；；；），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求参与本次随机调查的市民共有______人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为_________；
（2）补全条形统计图；
（3）小月打算在、两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）20，
（2）解：组人数为（人），
组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
D组/C组 男1 男2 女1 女2
男3 （男1，男3） （男，男3） （女1，男3） （女，男3）
女3 （男1，女3） （男，女3） （女1，女3） （女，女3）
女4 （男1，女） （男，女4） （女1，女4） （女，女4）
（说明：画树状图或列表法自选其一即可）
共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的结果有6种．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由题可知：参与本次随机调查的市民共有人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的关联信息处理、条形统计图的补全、扇形统计图圆心角的计算、利用列表法或树状图法求概率等知识点。掌握这些知识点并能灵活运用是解决本题的关键。
（1）根据A组的人数及其所占比例，计算参与本次随机调查的市民总人数；再利用乘以B组人数所占比例，求出对应的圆心角度数。
（2）先计算出C组和D组的人数，再根据计算结果补充完整条形统计图。
（3）通过画树状图的方法求解概率问题。
（1）解：参与本次随机调查的市民共有人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为；
（2）解：组人数为（人），
组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
或列表如下：
D组/C组 男1 男2 女1 女2
男3 （男1，男3） （男，男3） （女1，男3） （女，男3）
女3 （男1，女3） （男，女3） （女1，女3） （女，女3）
女4 （男1，女） （男，女4） （女1，女4） （女，女4）
（说明：画树状图或列表法自选其一即可）
共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的结果有6种．
．
17．（2025九下·广安期中）2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即．
（1）求下管的长．
（2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据）
【答案】（1）解：如图所示：
设下管的长为，则，
，
在中，由勾股定理可得，则，
，
答：下管的长为
（2）解：由题意得：，，
在中，，
，
，
答：此时应将座管调为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，综合运用了勾股定理和三角函数知识，解题时需要结合图形分析问题。
（1）设下管CG的长度为x cm，根据题意可得AG = (x - 10) cm。在直角三角形ACG中，应用勾股定理建立方程求解x的值。
（2）根据题目条件计算得：ED = 75 - 20 = 55 cm，且∠ACB = 74°。在直角三角形CDE中，利用正弦函数关系式sin74° =，代入已知数值即可求得EC的长度。
解题过程中需要注意：正确建立几何模型；准确运用三角函数公式；注意单位统一.
（1）解：如图所示：
设下管的长为，则，
，
在中，由勾股定理可得，则，
，
答：下管的长为；
（2）解：由题意得：，，
在中，，
，
，
答：此时应将座管调为．
18．（2025九下·广安期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入，得，解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
（2）解：把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或．
19．（2025九下·广安期中）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接
是的直径
，
是等腰直角三角形
，
，
．
而和是弧所对的圆心角和圆周角，
，
，
，
是的切线
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
在中，
，
，，
四边形是平行四边形，
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的相关知识。
（1）连接，根据圆周角定理可知。通过证明为等腰直角三角形，得到。结合平行线的性质和圆周角定理，最终得出，从而完成证明。
（2）通过解直角三角形得到，再利用勾股定理计算出，进而得出。运用平行线分线段成比例定理求出，并计算得到。最后通过证明四边形是平行四边形来得出结论。
（1）证明：连接
是的直径
，
是等腰直角三角形
，
，
．
而和是弧所对的圆心角和圆周角，
，
，
，
是的切线．
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
在中，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．（2025九下·广安期中）等腰三角形的两边长是4和5，则它的周长是　 　．
【答案】13或14
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①腰长为4，底边长为5，满足三角形的三边关系，周长 ；
②腰长为5，底边长为4，满足三角形的三边关系，周长 ；
故答案为：12或14.
【分析】分腰长为4；腰长为5，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
21．（2025九下·广安期中）已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程两个实数根，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：，．先将m代入方程得到，由韦达定理得，然后代入代数式，简化运算即可．
22．（2025九下·广安期中）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么　 　．
【答案】13
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了新定义的运算以及二元一次方程组的解法。根据题目条件，
可以列出方程组：。
通过解这个方程组，得到解为：
。
最终计算结果即可得出答案。
23．（2025九下·广安期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：对称轴为直线，
∵，，，
解得：，
∴，
在轴上取点，连接，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且点是抛物线与轴交点，
∴，
∴，
∴当点共线时，取得最小值，即为，
此时点为与抛物线对称轴的交点，
设直线表达式为，
代入点，得，
解得：，
∴直线表达式为，
当时，，
∴点E坐标为．
【分析】本题综合考查二次函数性质、平行四边形判定、一次函数解析式求解及最短路径原理。解题核心在于通过构造平行四边形实现线段转化，并运用"两点之间线段最短"原理确定最小值位置。首先确定抛物线与坐标轴的交点坐标及对称轴位置。在y轴上取定点，连接、、后，可证四边形为平行四边形，因此有。由此可得，当、、三点共线时，取得最小值，此时点即为直线与抛物线对称轴的交点，通过求直线的解析式即可确定点坐标。
24．（2025九下·广安期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；图形位似变换的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而，
∴在第三象限，且，
∴横坐标为，，纵坐标为，，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转变换、点的坐标规律、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于理解旋转过程中的循环规律，并通过画图辅助分析。根据题意，每旋转6次构成一个完整的循环周期。通过观察可以发现，点A的对应点在第三象限出现。同时，旋转后的线段长度满足关系式：，由此可得出最终答案。
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．（2025九下·广安期中）某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每株种菜苗的价格比每株种菜苗的价格便宜2元，用20元购买种菜苗和30元购买种菜苗的株数相同．
（1）求市场上每株种菜苗和种菜苗的价格各是多少？
（2）经过协商，市场对两种菜苗均提供九折优惠，学校决定在市场上购买两种菜苗共120株，种菜苗的株数不超过种菜苗的株数的．且购买的总费用不超过600元．求本次学校购买菜苗的最少费用是多少？
【答案】（1）解：设市场上每株A种菜苗价格为元，则每株种菜苗价格为元
由题意得：．
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：市场上每株A种菜苗和B种菜苗的价格各为4元，6元
（2）解：设采购A种树苗株，则种树苗株，总费用为元．
由题意得：.
解得：，且为整数.
在中
，
随的增大而减小，
当时的值最小，
（元）.
答：本次学校购买菜苗的最少费用是576元
【知识点】一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。（1）设市场上A种菜苗每株价格为元，则B种菜苗每株价格为元。根据题意，用20元购买A种菜苗的株数与30元购买B种菜苗的株数相等，由此可列出分式方程求解。
（2）首先建立总费用关于购买数量的函数关系式（一次函数），再根据题目条件列出不等式组确定变量的取值范围。最后利用一次函数的性质分析最值情况，从而得出最终答案。
（1）解：设市场上每株A种菜苗价格为元，则每株种菜苗价格为元
由题意得：．
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：市场上每株A种菜苗和B种菜苗的价格各为4元，6元；
（2）解：设采购A种树苗株，则种树苗株，总费用为元．
由题意得：.
解得：，且为整数.
在中
，
随的增大而减小，
当时的值最小，
（元）.
答：本次学校购买菜苗的最少费用是576元.
26．（2025九下·广安期中）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度．
【答案】（1）解：，，，
点是的中点，
，且，
，
，
又；
∴
（2）解：连接，
∵的中点为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴四边形为正方形，
∵四边形的面积为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题时需要灵活运用这些知识。
（1）根据等腰直角三角形性质可得：，，，由此可证，从而得出；
（2）连接后，先证明四边形是正方形，得到，再计算，最后运用勾股定理求出结果。
（1）解：，，
，
点是的中点，
，且，
，
，
又；
∴；
（2）解：连接，
∵的中点为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴四边形为正方形，
∵四边形的面积为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或3．
27．（2025九下·广安期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点，抛物线过点，且与轴交于另一个点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的动点．
①连接与线段交于点，则当为线段中点时，求出点坐标．
②过点作，垂足为，且以点、、为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：对于直线，当时，，即点的坐标为，当时，，即点的坐标为，
将，代入抛物线中，
可得，解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：①设点的坐标为，其中，∵点为线段中点，
∴点的坐标为，
将其代入，可得：，
整理得：，即，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为；
②对于抛物线，令，即，解得：，，
∴点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
过点作轴，，
∴，则，
∴，
∴，则，
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题；数形结合
【解析】【分析】本题综合考查了二次函数的相关知识，包括利用待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等核心知识点。解题时需要合理添加辅助线，并注意运用分类讨论思想进行分析。
（1）通过直线方程可确定点C的坐标和点A的坐标。将这些坐标代入抛物线方程，运用待定系数法即可求解抛物线方程。
（2）①设点的坐标为，其中，由中点坐标公式得点的坐标为，将点D其代入，得，解方程即可求解；
②根据题意求得点的坐标为，得，，过点作轴，，先证明，则，再分两种情况：当时，，当时，，分别讨论即可求解．
（1）解：对于直线，当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
将，代入抛物线中，
可得，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）①设点的坐标为，其中，
∵点为线段中点，
∴点的坐标为，
将其代入，可得：，
整理得：，即，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为；
②对于抛物线，令，即，解得：，，
∴点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
过点作轴，，
∴，则，
∴，
∴，则，
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
当时，，即：，
∴，即：
而，则，，
将点代入得，
解得：（舍去），则，
即此时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
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