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(共37张PPT)
第八章综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[2025·鄞州区期中]世界上最小的花是无根萍，它长约0.3
毫米，已知1毫米＝0.001米，则0.3毫米用科学记数法表示
为( )
A．3×10－3米 B．3×10－4米
C．3×103米 D．0.3×10－4米
2．[2025·涡阳县期中]已知3a＝2，3b＝4，3c＝12，则下列结论错误的是( )
A．c－b＝1
B．c－2a＝1
C．2a＋c－2b＝0
D．2a－b＝0
3．若计算(x2＋ax＋5)·(－2x)－6x2的结果中不含有x2项，
则a的值为( )
A．－3 B．－
C．0 D．3
4．[2025·扬州期中]如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为(a＋4b)、宽为(a＋3b)的大长方形，则需要C类卡片的张数为( )
A．12 B．10
C．7 D．6
5．[2024·召陵区期末]两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a－b＝4，阴影部分的面积是60，那么ab＝( )
A．44 B．46
C．50 D．53
6．[2025·枣庄期中]已知(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，则x2＋y2的值为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
7．[2024·宁明县期中]若m2－n2＝6，则(m＋n)2(m－n)2的值
是( )
A．8 B．12
C．24 D．36
8．[2025·法库县期中]一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会( )
A．变小了 B．变大了
C．没有变化 D．无法确定
9．如果用“※”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有a※b＝a(b2－b＋1)，例如：7※4＝7×(42－4＋1)＝91，那么当m2＋m－1＝0，mn＝－1时，3m2※n＝( )
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：3m2※n＝3m2(n2－n＋1)
＝3m2n2－3m2n＋3m2
＝3(mn)2－3mn·m＋3m2，
因为mn＝－1，
所以原式＝3＋3m＋3m2＝3＋3(m2＋m)，
因为m2＋m－1＝0，
所以m2＋m＝1，
所以原式＝3＋3＝6.
10．观察下列等式：
(x－1)(x＋1)＝x2－1
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1……
根据以上规律，则 210＋29＋28＋…＋23＋22＋2＋1 的结果可以表示为( )
A．211 B．211－1
C．210 D．210－1
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．[2025·昌黎县期中]每立方厘米的空气质量约为1.4×10－3 g，
用小数把它表示为________g.
12．[2025·市南区期中]计算：(－0.25)2 025×(－4)2 026＝____．
13．[2024·铁西区期末]已知：am＝8，an＝16，则a2m－n的值是__．
0.001 4
－4
4
14．[2025·蒲城县期中]公园里有一块长为2x m，宽为x m的长
方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花
坛的长为(2x＋2y) m，宽为(x＋2y) m，则扩展后的长方形花坛
的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了__________m2.
(6xy＋4y2)
15．[2025·温州期中]已知关于x的多项式ax＋b与3x2－x－2的
乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为－7，则ab的
值为__．
16．若代数式m2－km＋1是一个完全平方式，则实数k＝____．
3
±2
17．[2024·白云区期末]如图，以长方形ABCD的四条边为边向
外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长
之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为__．
6
18．[2025·五华县期中]为落实劳动素质教育，推动学生劳动
实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地，如图是从
实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形
且m＞n，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示七年
级和八年级的实践活动基地面积．若m＋n＝10，mn＝16，则S1
－S2＝___．
60
三、解答题(共46分)
19．(8分)[2025·桓台县期末]计算：
(1)(－2a3)2＋a8÷a2－2a2·a4；
(2)(2a＋3b)2－(3a＋2b)(2b－3a)；
(3)(2x＋y－z)(2x＋y＋z)．
(4)简便计算：2 0232－2 024×2 022.
解：(1)原式＝4a6＋a6－2a6＝3a6；
(2)原式＝(2a＋3b)2＋(3a＋2b)(3a－2b)
＝4a2＋12ab＋9b2＋9a2－4b2
＝13a2＋12ab＋5b2；
(3)原式＝(2x＋y)2－z2＝4x2＋4xy＋y2－z2；
(4)原式＝2 0232－(2 023＋1)×(2 023－1)
＝2 0232－(2 0232－1)
＝2 0232－2 0232＋1＝1.
20．(6分)(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m＋3n的值；
②求：24m－6n的值．
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
(2)因为2×8x×16＝223，
所以2×(23)x×24＝223，
所以2×23x×24＝223，
所以1＋3x＋4＝23，
解得x＝6.
解：(1)(2a＋3b－1)(2a＋3b＋1)－(2a＋1)(2a－1)
＝(2a＋3b)2－1－4a2＋1
＝4a2＋12ab＋9b2－1－4a2＋1
＝12ab＋9b2，
当a＝－2，b＝1时，
原式＝12×(－2)×1＋9×12＝－24＋9＝－15；
22．(8分)[2025·郓城县期中]如图，某城市广场是一个长方形，长为(4a＋3b) m，宽为(3a＋4b) m．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池(图中阴影部分)，音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a m，b m(如图所示)．
(1)求音乐喷泉池的占地面积(用含a，b的式子表示)；
(2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用．
解：(1)由题可得音乐喷泉池的占地面积为
(4a＋3b－2a)(3a＋4b－2b)＝6a2＋13ab＋6b2.
答：音乐喷泉池的占地面积为(6a2＋13ab＋6b2) m2；
(2)由题可得市民活动区域的面积为：
(4a＋3b)(3a＋4b)－(6a2＋13ab＋6b2)＝6a2＋12ab＋6b2.
所以80×(6a2＋12ab＋6b2)＝480a2＋960ab＋480b2.
答：市民活动区域铺设地砖的费用为(480a2＋960ab＋480b2)元．
24．(10分)[2025·包河区期末]如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)．
(1)观察图2，请你写出(a＋b)2，(b－a)2，ab之间的等量关系：
_____________________；
(2)根据(1)中的结论，若x＋y＝5，xy＝ ，求x－y的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，点D，G，
C在同一直线上，连接BD，DF，若x－y＝2，xy＝3，根据(1)中
的结论，求图3中阴影部分的面积．
(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab
(3)因为(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy，x－y＝2，xy＝3，
所以(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝4＋12＝16，
因为x＞y＞0，所以x＋y＝4，
所以(x＋y)(x－y)＝4×2＝8，
即x2－y2＝8，(共22张PPT)
第2课时　单项式乘多项式
2．[2025·上城区期中]若关于x，y的多项式x·(x2－mx＋3)＋x2·(4mx2＋3x＋5)的结果中不含x2项，则m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．5
3．[2025·东明县期中]定义三角 表示3abc，方框 表
示xz＋wy，则 × 的结果为( )
A．72m2n－45mn2 B．72m2n＋45mn2
C．24m2n－15mn2 D．24m2n＋15mn2
4．[2025·沙坪坝区期中]若A(a3－2b)＝a5－2a2b，则代数式A为( )
A．a B．a2
C．ab2 D．a2b
5．[2025·曹妃甸区期中]数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：－3x2(2x－[　]＋1)＝－6x3＋3x2y－3x2，那么空格中的一项是( )
A．－y B．y
C．－xy D．xy
6．[2025·安次区二模]2x(m－x2)＝4x3y2－2x3，则m＝_____．
7．[2025·龙泉驿区期中]已知ab2＝－1，则(－ab)(a2b5－ab3
－b)的值为__．
8．[2025·阜宁县期中]如果一个长方形的长是2x2y－y2，宽是
3xy，则这个长方形的面积为___________．
9．[2025·金凤区期中]要使(－2x2＋mx＋1)·(－3x2)的展开式
中不含x3项，则m＝__．
2x2y2
1
6x3y2－3xy3
0
11．(1)张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝－0.37时，a2＋a(a＋b)－2a2－ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
(2)已知x(x－m)＋n(x＋m)＝x2＋5x－6对任意实数x都成立，求m(n－1)＋n(m＋1)的值．
12．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地
面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的代数式表示厨房的面积是____m2；卧室的面积
是__________m2；
(2)用含x，y的代数式表示这套房的总面积
(单位：平方米)；
(3)当x＝6，y＝4时，求小王这套房的总面积
是多少平方米？
2xy
(4xy＋2y)
解：(1)由题意，得厨房的面积为x(4y－2y)＝2xy m2，
卧室的面积为2y(x＋x＋1)＝(4xy＋2y) m2.
故答案为：2xy；(4xy＋2y)；
(2)2xy＋(4xy＋2y)＋y(x＋1)＋4y(2x＋1)
＝2xy＋4xy＋2y＋xy＋y＋8xy＋4y
＝(15xy＋7y) m2，
所以这套房的总面积是(15xy＋7y) m2；
(3)当x＝6，y＝4时，
15xy＋7y＝15×6×4＋7×4＝388，
所以小王这套房的总面积是388平方米．
13．[2024·环翠区期中]如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，回答下列问题：
(1)多项式A为______，多项式B为______，例题的化简结果
为_______；
(2)在计算(a＋b)(a－b)时，可将其化为a(a＋b)－b(a＋b)再
进行计算，请借助此思路求多项式A与B的积．
2x＋y
2x－y
y2＋4x2
解：(1)2x＋y；2x－y；y2＋4x2；
(2)A·B＝(2x＋y)·(2x－y)＝2x(2x＋y)－y(2x＋y)＝4x2＋2xy－2xy－y2＝4x2－y2.
14．[2025·黄石期中]已知kx＋2y－3x＋6的值与x的取值无关，求k的值．
解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到(k－3)x＋2y＋6，因为代数式的值与x的取值无关，所以k－3＝0，得到k＝3.
根据上述方法，求解：
(1)若代数式m(3x＋1)－6x的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知A＝2x2＋(1－3n)x，B＝2m(x2－x＋1)，且A－B的值与x无关，求m，n的值；
(3)现有7张如图1所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图2所示放置在大长方形ABCD中(纸片间无重叠，无间隙)，大长方形中未被纸片覆盖的区域设为S1，S2.若当AD的长度变化时，S1与S2的差始终为定值，求a与b的数量关系．
解：(1)m(3x＋1)－6x＝3mx＋m－6x＝(3m－6)x＋m，
因为代数式m(3x＋1)－6x的值与x的取值无关，
所以3m－6＝0，
解得m＝2；
(2)A－B
＝2x2＋(1－3n)x－[(2m（x2－x＋1）)]
＝2x2＋(1－3n)x－(2mx2－2mx＋2m)
＝2x2＋x－3nx－2mx2＋2mx－2m
＝(2－2m)x2＋(1－3n＋2m)x－2m
因为A－B的值与x无关，
所以2－2m＝0，1－3n＋2m＝0，
解得m＝1，n＝1；
(3)设AD的长为x，
S1－S2＝3b(x－a)－a(x－4b)
＝3bx－3ab－ax＋4ab
＝(3b－a)x＋ab，
因为当AD的长度变化时，S1与S2的差始终为定值，
所以3b－a＝0，
所以a＝3b.(共29张PPT)
3　乘法公式
第1课时　平方差公式
1．[2025·达川区期中]下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A．(x3－y3)(x3＋y3)
B．(－a－b)(a－b)
C．(c2－d2)(d2＋c2)
D．(m－n)(－m＋n)
2．[2025·江门期中]已知a＋b＝3，a－b＝5，则代数式a2－b2的值是( )
A．16 B．15
C．14 D．2
3．[2024·鹤壁期末]若a2－b2＝9，a＋b＝9，则a－b的值
为( )
A．0 B．1
C．3 D．5
4．[2025·武威期末]计算(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4－b4)的结果是( )
A．a8＋2a4b4＋b8
B．a8－2a4b4＋b8
C．a8＋b8
D．a8－b8
5．若(x＋y＋1)(x＋y－1)＝8，则x＋y的值为( )
A．3 B．±3
C．－3 D．±5
6．若k为任意整数，则(3k＋5)2－9k2的值能被__整除．(填符
合条件的最大整数)
7．[2025·北京期中]计算(2x＋y)(y－2x)＝_______．
8．[2025·仪征期中]若(x＋3)(x2＋9)(x－3)＝xn－81，
则n＝__．
5
y2－4x2
4
解：(1)原式＝a2－4b2－9a2＋4b2
＝－8a2；
(2)原式＝x2－9y2＋4x2－25y2
＝5x2－34y2；
(3)原式＝4a2－1－6a2－2a＋9a＋3
＝－2a2＋7a＋2；
11．[2025·宿城区期末]发现：比任意一个奇数大5的数与此奇
数的平方差能被5整除．
验证：
(1)82－32＝_______________＝___×5；
(2)设奇数为2n＋1，试说明：比2n＋1大5的数与2n＋1的平方差
能被5整除；
(8＋3)×(8－3)
11
延伸：
(3)请利用整数k说明“比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5”．
解：(1)(8＋3)×(8－3)；11；
(2)因为(2n＋6)2－(2n＋1)2
＝(2n＋6＋2n＋1)(2n＋6－2n－1)
＝5(4n＋7)，
因为n为整数，所以5(4n＋7)是5的倍数，
即比2n＋1大5的数与2n＋1的平方差能被5整除；
(3)设任意的整数为k，则比k大5的数为k＋5，
因为(k＋5)2－k2
＝(k＋5＋k)(k＋5－k)＝10k＋25
＝10k＋20＋5＝10(k＋2)＋5.
因为k为整数，
所以10(k＋2)＋5被10除余5，
即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5.
14.[培素养][鱼台县期末]阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2＋1)(22＋1)(24＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)
＝(24－1)(24＋1)＝28－1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)；
(2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)；
(3)化简：(m＋n)(m2＋n2)(m4＋n4)(m8＋n8)(m16＋n16)．
解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(28－1)(28＋1)(216＋1)
＝(216－1)(216＋1)
＝232－1；
(2)原式＝ (3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝ (32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝ (34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝ (38－1)(38＋1)(316＋1)
＝ (316－1)(316＋1)
＝ (332－1)；
15．[2025·茂南区期中]你会求(a－1)(a2 025＋a2 024＋a2 023＋…＋a2＋a＋1)的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
(a－1)(a＋1)＝a2－1；
(a－1)(a2＋a＋1)＝a3－1；
(a－1)(a3＋a2＋a＋1)＝a4－1；
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到(a－1)(a2 025＋a2 024
＋a2 023＋…＋a2＋a＋1)＝________；
(2)利用上面的结论，求22 025＋22 024＋22 023＋…＋22＋2＋1的值；
(3)计算：(－2)50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)2＋(－2)＋1.
a2 026－1
解：(1)a2 026－1；
(2)原式＝(2－1)×(22 025＋22 024＋22 023＋…＋22＋2＋1)
＝22 026－1；(共11张PPT)
第6课时　零指数幂与负整数指数幂(2)
－3
－6a4b－5
10．[2025·黔西期末]在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域有着广泛应用，如计算机系统，数字通信，条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化，如二进制中的1 011可以按如下方式转换为十进制：1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝8＋0＋2＋1＝11，那么二进制数1 101对应的十进制数是( )
A．9 B．11 C．13 D．15(共27张PPT)
第3课时　多项式乘多项式
1．[2025·锡山区期末]若(x＋a)(bx－2)展开后不含x的一次项，且常数项为－2，则a＋b的值为( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
2．[2025·渭城区期末]若(x＋2)(x－3)＝x2＋mx－n，则mn的值为( )
A．1 B．－1
C．6 D．－6
3．[2024·天门期末]若(2x＋m)(x－3)的展开式中不含x项，则实数m的值为( )
A．－6 B．0
C．3 D．6
4．[2025·柴桑区期中]若(x－15)(x＋20)＝x2＋mx＋n，则m，n的值分别为( )
A．－5，－300 B．35，－300
C．35，300 D．5，－300
5．[2025·金华期末]已知代数式(3x－6)(x2＋nx)中含x2项的
系数为3，则n的值为__．
6．[2025·仪征期末]已知(x－a)(－4x＋1)的展开式中不含x
项，则常数a的值为_____．
7．[2025·灌云县期中]若(x＋a)(2x－1)＝2x2＋3x－2，则
a＝__．
3
2
8．[2025·姜堰区期中]若等式(x－s)(3x＋t)＝3x2＋mx－n恒
成立．无论t为何值，2m＋3n的值始终为一个定值，则这个定
值为__．
4
2 024.5或2 020.5
10．[2024·奉贤区期中]计算：
(1)(a＋2b)(2a－b)－2b(a－b)；
(2)2(a－4)(a＋3)－(2a＋1)(a－1)；
(3)2x(－x2＋3x－4)－(x＋1)(3x－1)；
(4)3x(x2＋2x＋7)－(x2＋7)(3x－5)．
解：(1)原式＝2a2－ab＋4ab－2b2－2ab＋2b2＝2a2＋ab；
(2)原式＝2(a2＋3a－4a－12)－(2a2－2a＋a－1)
＝2a2＋6a－8a－24－2a2＋2a－a＋1
＝－a－23；
(3)原式＝－2x3＋6x2－8x－(3x2＋2x－1)
＝－2x3＋6x2－8x－3x2－2x＋1
＝－2x3＋3x2－10x＋1；
(4)原式＝3x3＋6x2＋21x－3x3＋5x2－21x＋35＝11x2＋35.
11．(1)说明对于任意正整数n，式子n(n＋5)－(n－3)(n＋2)的值都能被6整除；
(2)试说明：代数式(2x＋2)(3x＋5)－2x(3x＋6)－4(x－2)的值与x的取值无关．
解：(1)n(n＋5)－(n－3)(n＋2)＝n2＋5n－n2＋n＋6＝6n＋6＝6(n＋1)，
因为n为任意正整数，所以6(n＋1)÷6＝n＋1，
所以n(n＋5)－(n－3)(n＋2)总能被6整除；
(2)因为(2x＋2)(3x＋5)－2x(3x＋6)－4(x－2)＝6x2＋10x＋6x＋10－6x2－12x－4x＋8＝18，
所以代数式的值与x的取值无关．
12．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(3x2－y2)＋2x2(3x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
解：存在，
理由：(x2－y2)(3x2－y2)＋2x2(3x2－y2)
＝(3x2－y2)(x2－y2＋2x2)＝(3x2－y2)(3x2－y2)
＝(3x2－y2)2，
因为y＝kx，所以原式＝(3x2－k2x2)2＝x4(3－k2)2，
当3－k2＝±1时，解得k＝±2或± ，
即当k＝±2或± 时，
使得代数式(x2－y2)(3x2－y2)＋2x2(3x2－y2)能化简为x4.
13．请将小亮解答的问题1补充完整，再仿照他的方法解答问题2.
问题1：简便计算：3.14×7.14－0.142.小亮的解答如下：解：设0.14＝a，则3.14＝a＋3，7.14＝a＋7，原式＝(a＋3)(a＋7)－a2.
问题2：简便计算：202 104×202 105－202 103×202 106.
解：(1)原式＝(a＋3)(a＋7)－a2＝a2＋10a＋21－a2＝10a＋21＝1.4＋21＝22.4；
(2)设202 104＝a，则202 105＝a＋1，
202 103＝a－1，202 106＝a＋2，
原式＝a(a＋1)－(a－1)(a＋2)＝a2＋a－(a2＋2a－a－2)＝a2＋a－a2－a＋2＝2.
14．如图，长方形的长为a，宽为b(a＞b＞1)，将原长方形的长和宽各增加3，得到的新长方形的面积记为S1；将原长方形的长和宽各减少1，得到的新长方形的面积记为S2.
(1)若S1＝S2＋26，求原长方形的周长；
(2)当2S1－S2＝35时，求将原长方形的长和宽各增加7后得到的
新长方形的面积；
(3)如果用一个面积为S1的长方形和三个面积为S2的长方形恰好
能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，则a＝__，b＝__．
3
2
(2)因为2S1－S2＝35，
所以2(a＋3)(b＋3)－(a－1)(b－1)＝35，
化简得ab＋7a＋7b＝18，
所以原长方形的长和宽各增加7后得到的新长方形的面积
(a＋7)(b＋7)＝ab＋7a＋7b＋49＝18＋49＝67；
15．观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1，
(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27，
(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216……
(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝______；
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；
(3)利用(1)中的公式化简：
(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)．
a3＋b3
解：(1)a3＋b3；
(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋ba2－ab2＋b3＝a3＋b3；
(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)＝x3＋y3－(x3＋8y3)＝－7y3.
16．先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题：
(x＋5)(x＋6)＝___________；
(x－5)(x－6)＝___________；
(x－5)(x＋6)＝_________；
(x＋5)(x－6)＝_________；
x2＋11x＋30
x2－11x＋30
x2＋x－30
x2－x－30
(1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则
(x＋m)(x＋n)＝_______________；
(2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果：
①(a＋10)(a－11)＝__________；
②(y－5)(y－8)＝___________；
(3)在计算(x＋a)(x＋b)时，甲把b错看成了6，得到结果是：
x2＋8x＋12；乙错把a看成了－a，得到结果：x2＋x－6.依据
上述发现的规律，直接写出a＝__，b＝__.
x2＋(m＋n)x＋mn
a2－a－110
y2－13y＋40
2
3(共14张PPT)
4　整式的除法
第1课时　单项式除以单项式
1．[2025·礼泉县期中]若2a5b2÷a＝2ambn，则m，n的取值分别为( )
A．m＝4，n＝0 B．m＝4，n＝2
C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0
2．[2025·宝鸡二模]计算(－2xy)3÷(2x2y)结果正确的是( )
A．4xy2 B．－4xy2
C．2x3y2 D．－2x3y2
3．[2024·金沙县期中]一个长方形的面积是12a4b7，长是(2ab2)2，则这个长方形的宽是( )
A．6a2b3 B．3a2b3
C．6a3b3 D．3a3b3
4．[2022·安徽模拟]计算(2a2)3÷2(－a2)3的结果是( )
A．－3 B．－4
C．4 D．－1
5．[2025·永康期末]有一个长方体，它的底面积为2a2，体积
为8a3，则它的高为___．
6．[2025·绍兴期中]若8a3b2÷M＝2ab2，则M＝___．
4a
4a2
7．[2024·芝罘区期中]如图，将一张长方形纸板四角各切去一
个同样的正方形，制成如图的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，
则图中纸盒底部长方形的周长为_______．
8a＋2b
8．[2025·庐阳区期中]如果4x4ya÷(－2xby3)2＝y，那么ab＝___．
9．[2024·庄浪县期末]计算：(－2a－2b)3÷2a－8b－3＝_______．
49
－4a2b6
11．2006年9月，我国新发射的实验卫星，进入预定轨道后2×102秒走过的路程是1.58×107米，那么该卫星绕地球运行的速度是多少？
解：根据题意，该卫星绕地球运行的速度为：
(1.58×107)÷(2×102)＝0.79×105＝7.9×104(m/s)．
答：该卫星绕地球运行的速度是7.9×104 m/s.
12．若3am－n÷4a＝ ，且2m＋n＝2，求3m－4n.
13．若定义 表示(2xyz)3， 表示－4adcb，则运算
÷ 的结果为( )
A．－16n　 B．16n 　
C．mn 　 D．－mn(共17张PPT)
第2课时　幂的乘方
1．[2025·礼泉县期中]计算(－y4)3的结果是( )
A．y7 B．－y12
C．y12 D．－y2
2．[2025·潢川县一模]下列运算结果等于a3n的是( )
A．a3·an
B．an＋a3
3．若[(x3)m]2＝x12，则m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．7
4．[2025·滨湖区期末]如果x＝3m＋1，y＝2＋9m，那么用x的代数式表示y为( )
A．y＝2x B．y＝x2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝x2＋1
5．[2025·宜兴期末]已知2x－4y＋5＝0，则4x＋1·161－y的值
是__．
6．[2025·姜堰区期中]已知ax＝2，ay＝3，则a2x＋3y＝____．
解析：因为ax＝2，ay＝3，所以a2x＝(ax)2＝4，a3y＝(ay)3＝27，
所以a2x＋3y＝a2x×a3y＝4×27＝108.
2
108
7．比较8131，2741，961的大小(用＞连接)：______________．
8131＞2741＞961
解析：8131＝(34)31＝3124，2741＝(33)41＝3123，961＝(32)61＝3122，
因为3124＞3123＞3122，所以8131＞2741＞961.
8．[2025·渌口区期中]计算：
(1)(a－b)3(b－a)3＋[(b－a)3]2；
(2)a＋2a＋3a＋a·a2·a3＋(－a2)3；
(3)(－a)n·(－a)n＋1－a·(－a)2n(n为正整数)；
(4)(a－b)2·(a－b)3－(b－a)·(a－b)4.
解：(1)原式＝－(a－b)3(a－b)3＋(b－a)6
＝－(a－b)6＋(a－b)6＝0；
(2)原式＝6a＋a6－a6＝6a；
(3)原式＝(－a)2n＋1－a·a2n＝－a2n＋1－a2n＋1＝－2a2n＋1；
(4)原式＝(a－b)5－[－(a－b)]·(a－b)4＝(a－b)5＋(a－b)5
＝2(a－b)5.
9．[2025·霍邱县期中]阅读下面例题的解题过程：
请你用另一种思路解答．
例：已知x2＝m，x3＝n，请你用含m，n的代数式表示x11.
解：因为x2＝m，x3＝n，所以x11＝x2·(x3)3＝mn3.
解：x11＝(x2)4·x3＝m4n.
10．[2025·城关区期中]定义一种幂的新运算：xa xb＝xab＋
xa＋b，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求22 23的值；
(2)若运算3 3t的结果为108，求t的值；
(3)2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p 2q的值．
解：(1)22 23＝22×3＋22＋3＝26＋25＝64＋32＝96；
(2)3 3t＝108，3t＋31＋t＝108，3t＋3×3t＝108，
4×3t＝108，3t＝27，3t＝33，则t＝3；
(3)当2p＝3，2q＝5，3q＝6时，
2p 2q＝2pq＋2p＋q＝(2p)q＋2p×2q＝3q＋3×5＝6＋15＝21.
11．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方法则是重要的性质之一，幂的乘方法则反过来也是成立的，至于选择哪一个公式，要具体问题具体分析.
例：判断3299的末尾数字．
解：3299的末尾数字等于299的末尾数字，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，又16n(n为正整数)的末尾数字均为6，
∴299＝24×24×23＝(24)24×8＝1624×8的末尾数字是6×8的末尾数字，即为8.
∴3299的末尾数字为8.
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出338的末尾数字；
(2)试判断201 999＋992 000的末尾数字．
解：(1)因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，
又因为81n(n为正整数)的末尾数字均为1，
所以338＝34×9×32＝(34)9×9＝819×9的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9；
(2)因为91＝9，92＝81，93＝729，…，
则992 000的末尾数字等于92 000的末尾数字．
因为91＝9，92＝81，81n(n为正整数)的末尾数字均为1，
所以92 000＝92×1 000＝(92)1 000＝811 000的末尾数字为1.
因为201 999的末尾数字为0，
所以201 999＋992 000的末尾数字为0＋1＝1.(共22张PPT)
第4课时　整式乘法的应用
1．[2025·颍上县期中]已知等式(x＋m)(x－n)＝x2＋kx－12
(m，n为整数)，则k的值不可能是( )
A．－1 B．4
C．11 D．7
2．[2025·新华区期中]若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中不含x2和x3的项，则m－n＝( )
A．9 B．6
C．3 D．－3
3．[2025·南海区期中]在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为(3a＋2b)，宽为(a＋b)的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是( )
A．3，5，2 B．2，3，5
C．2，5，3 D．3，2，5
4．[2024·呼兰区期末]图1是长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分(即两个长方形)的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1－S2的值是( )
A．8 B．16
C．12 D．32
5．[2025·长丰县期中]如果三角形的一边长为(2m－4n)，这边
上的高为(5m＋3n)，那么这个三角形的面积是_____________．
6．[2025·盱眙县期中]小明在计算(x－2)(x＋■)时，不小心
将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系
数为－1，则被染黑的常数为__．
5m2－7mn－6n2
1
7．[2025·双流区期中]已知代数式(mx2＋2x)与(x2＋3nx＋2)
积是一个关于x的三次多项式，且化简后含x2项的系数为1，
则(m＋n)2的值为____．
8.[规律探究][2025·兴化期中]小明同学在计算(a1x＋b1)(a2x＋b2)
时发现一次项(a1b2＋a2b1)x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例
如计算(2x＋1)(x＋2)时一次项为2x·2＋x·1＝5x.仿照小明的方法，
计算(x＋1)(x＋2)(x＋3)…(x＋n－1)(x＋n)展开式中xn－1项的系数
为(用含n的代数式表示)_______．
9．计算图中阴影部分的面积．
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当a＝2，b＝4时，计算阴影部分的面积．
解：(1)(2a＋3b)(2a＋b)－2a×3b＝4a2＋2ab＋6ab＋3b2－6ab＝4a2＋2ab＋3b2，
即阴影部分面积为4a2＋2ab＋3b2；
(2)当a＝2，b＝4时，
阴影部分面积为4a2＋2ab＋3b2＝4×22＋2×2×4＋3×42＝16＋16＋48＝80.
10.[培素养][2025·扬州期中]阅读：在计算(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】(x－1)(x＋1)＝_____；
(x－1)(x2＋x＋1)＝_____：
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝_____……
(2)【猜想】由此可得(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)＝
_______；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
计算：52 024＋52 023＋52 022＋52 021＋…＋5＋1的值．
x2－1
x3－1
x4－1
xn＋1－1
解：(1)x2－1；x3－1；x4－1；
(2)xn＋1－1；
(3)设x＝5，n＝2024，
根据(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)＝xn＋1－1，
则(5－1)(52 024＋52 023＋52 022＋…＋5＋1)＝52 025－1，
所以52 024＋52 023＋52 022＋52 021＋…＋5＋1＝ .
11．[2025·兴化期中]借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论．
【活动一】有若干张如图1所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图2是由三种卡片拼成的一个长方形．
(1)用不同方法表示图2中长方形的面积，得到的等式为
___________________________；(用含a，b的式子表示)
(2)用这三种卡片紧密拼接成一个长为2a＋3b，宽为3a＋4b的
长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？
(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
【活动二】用图1所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为3a2＋7ab＋2b2的长方形．
(3)在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型；
(4)若a，b皆为正整数，能否使得(3)中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由．
解：(1)(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2；
(2)因为长为2a＋3b，宽为3a＋4b的长方形的面积为(2a＋3b)(3a＋4b)＝6a2＋17ab＋12b2，而正方形A的面积为a2，正方形B的面积为b2，长方形C的面积为ab，
所以需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张；
(3)如图：
(4)由题意得3a2＋7ab＋2b2＝(a＋2b)(3a＋b)＝63，而63＝1×63＝3×21＝7×9，
①当(a＋2b)(3a＋b)＝1×63时，有a＋2b＝1，3a＋b＝63，解得a＝25，b＝－12，不合题意舍去；
或a＋2b＝63，3a＋b＝1，解得a＝－12.2，b＝37.6，不合题意舍去；
②当(a＋2b)(3a＋b)＝3×21时，有a＋2b＝3，3a＋b＝21，解得a＝7.8，b＝－2.4，不合题意舍去；
或a＋2b＝21，3a＋b＝3，解得a＝－3，b＝12，不合题意舍去；
③当(a＋2b)(3a＋b)＝7×9时，有a＋2b＝7，3a＋b＝9，解得a＝2.2，b＝2.4，
或a＋2b＝9，3a＋b＝7，解得a＝1，b＝4，
又因为a，b皆为正整数，所以a＝1，b＝4.(共25张PPT)
第4课时　完全平方公式的应用
1．下列关于962的计算方法正确的是( )
A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9 984
B．962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9 216
C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8 136
D．962＝(95－1)(95＋1)＝952－1＝9 024
2．运用完全平方公式计算(x－3y＋2z)2，下列变形不正确的
是( )
A．[(x－3y)＋2z]2 B．[(x＋2z)－3y]2
C．[x－(3y＋2z)]2 D．[x＋(2z－3y)]2
3．算式99 9032＋2×99 903×77 707＋77 7072值的十位数字是( )
A．0 B．3
C．5 D．7
4．为了运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是( )
A．[x－(2y＋1)]2
B．[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]
C．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]
D．[x＋(2y＋1)]2
5．如果(a＋b－x)2的结果中不含x的一次项，则a，b满足( )
A．a＝b B．a＝0或b＝0
C．a＝－b D．以上均不对
6．[2025·沭阳县期中]简便计算：422－42×24＋122＝____．
7．[2025·灌云县期中]小红在计算 时，找不
到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而
且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线
上___．
900
8．[2024·虹口区期中](a＋2b－1)2＝____________________
____．(用完全平方公式计算)
9．[2024·闵行区期中]如果9a2－(2k－1)ab＋ b2是完全平方
公式，则k＝_______．
10．利用完全平方公式进行简便运算：
(1)1012＝(____＋__)2＝_______；
(2)9.82＝(___－____)2＝______．
a2＋4ab＋4b2－2a－4b
＋1
－1或2
100
10 201
10
0.2
96.04
1
12．运用完全平方公式计算．
(1)(a＋b－c)2；
(2)(a－b＋2c)(a＋b－2c)；
(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；
(4)(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)；
(5)(m－2n)(m＋2n)＋(m－n)2；
(6)(a＋4)2－a(a－1)．
解：(1)(a＋b－c)2＝[a＋(b－c)]2＝a2＋2a(b－c)＋(b－c)2＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2；
(2)(a－b＋2c)(a＋b－2c)＝a2－(b－2c)2＝a2－b2＋4bc－4c2；
(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)＝－(2a＋3b－1)2＝－(2a＋3b)2＋2(2a＋3b)－1＝－4a2－12ab－9b2＋4a＋6b－1；
(4)(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)＝(2x＋5)2－(y－z)2＝4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2；
(5)(m－2n)(m＋2n)＋(m－n)2＝m2－4n2＋m2－2mn＋n2＝2m2－2mn－3n2；
(6)(a＋4)2－a(a－1)＝a2＋8a＋16－a2＋a＝9a＋16.
13．有下列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；
2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；
3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；
4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2……
(1)根据你发现的规律，写出第11个等式：11×12×13×14＋1
＝____＝________________；
(2)根据你发现的规律，猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1分解因式
的结果，并证明．
1552
(112＋3×11＋1)2
解：(1)1552，(112＋3×11＋1)2；
(2)猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
证明：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1
＝n(n＋3)(n＋1)(n＋2)＋1
＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1
＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n＋1)2，
即n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
14．在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了(a＋b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律：
(1)补充完整(a＋b)4的展开式，(a＋b)4＝________________
________；
(2)(a＋b)7的展开式中共有__项，所有项的系数和为__；
(3)利用上面的规律计算：25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1；
(4)今天是星期五，过了86天后是星期几？(直接写答案)
a4＋4a3b＋6a2b2＋
4ab3＋b4
27
8
解：(1)a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
(2)8，27；
(3)由题意可知25＋5×24＋10×23＋10×22＋5×2＋1＝25＋5×1×24＋10×12×23＋10×13×22＋5×14×2＋15，
所以可取a＝2，b＝1，
即原式＝(2＋1)5＝35＝243；
(4)今天是星期五，过了86天后是星期六，理由：
因为86＝(7＋1)6＝76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71＋1(a，b，c，d，e为各项的系数)，
因为76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71都能被7整除，
所以86除以7余1，
所以如果今天是星期五，过了86天后是星期六．
15．[2025·泉州期中]观察下列各式：
152＝100×1×2＋25＝225，
252＝100×2×3＋25＝625，
352＝100×3×4＋25＝1 225，
452＝100×4×5＋25＝2 025……
(1)可以发现一个速算法则，请填写：
①末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比
它大1的自然数的_____，再在末尾接着写上___；
②设一个两位数的十位数字是x，个位数字是5，用含x的代数式
表示上述速算法则：_________＝_______________；
乘积
25
(10x＋5)2
100x(x＋1)＋25
(2)请你继续深入研究，回答下列问题：
①发现末位数字是5的三位数的平方也有类似的速算法则，请直
接写出：2952＝_______；
②设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是5，
用含a，b的代数式表示上述速算法则，并用所学的数学知识说
明这个速算法则成立的理由．
87 025
解：(1)①乘积，25；
②(10x＋5)2，100x(x＋1)＋25；
(2)①87 025；
②(100a＋10b＋5)2＝100(10a＋b)(10a＋b＋1)＋25，
证明：(100a＋10b＋5)2
＝[(10（10a＋b）＋5)]2
＝100(10a＋b)2＋100(10a＋b)＋25
＝100(10a＋b)(10a＋b＋1)＋25.(共22张PPT)
第八章 整式的乘除
1　幂的乘除
第1课时　同底数幂的乘法
1．[2025·依安县二模]下列各式正确的是( )
A．x2＋x2＝x4
B．x2·x3＝x6
C．(－x)2·(－x)4＝－x6
D．(－x)3·(－x)4＝－x7
2．[2025·青羊区期末]已知x＋y－4＝0，则2x×2y的值为( )
A．8 B．64
C．16 D．12
3．[2025·东港区二模]若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a＝3b＋3b＋3b，则下列a与b关系正确的是( )
A．a＋b＝3 B．2a＋b＝3
C．3a－b＝1 D．3a－2b＝1
4．[2025·沈丘县一模]计算 ＋ 的结果
是( )
A．m2＋nn B．m3＋n2
C．mm＋n2 D．m2＋n2
5．[2025·洛阳期中]电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B，某视频文件的大小约为2 GB，2 GB等于( )
A．230 B B．830 B
C．2×230 B D．2×1030 B
6．[2025·滨湖区期末]若am＝3，am＋n＝6，则an＝__．
7．[2025·南京期末]已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：
①c＝a＋2　②a＋b＝c＋1 ③2＜b＜3.其中所有正确结论
的序号是_____．
2
①③
8．[2025·云溪区期中]已知2a＝5，2b＝3.2，2c＝6.4，2d＝
10，则a＋b＋c＋d的值为___．
10
解析：因为2a＝5，2b＝3.2，2c＝6.4，2d＝10，
所以2a×2b×2c×2d＝5×3.2×6.4×10，
则2a＋b＋c＋d＝1 024，
故2a＋b＋c＋d＝210，
所以a＋b＋c＋d＝10.
9．[2025·亭湖区期中]计算：
(1)m3·(－m)－m2·m2＝_____；
(2)(m－n)·(n－m)3·(n－m)4＝_________．
－2m4
－(n－m)8
10.[新定义][2025·市中区期中]我们定义：三角形 ＝
ab·ac；若x＋2y＝3，则 ＝___．
解析：当x＋2y＝3时，
3x·32y＝3x＋2y＝33＝27.
27
11．计算：
(1)－x5·x2·x10；
(2)(－2)9×(－2)8×(－2)3；
(3)a6·a2＋a5·a3－2a·a7；
(4)(－a)2·(－a)3·a6；
(5)(a－1)3·(a－1)2·(a－1)；
(6)(a－b－c)(b＋c－a)(c－a＋b)3.
解：(1)－x5·x2·x10＝－x17；
(2)(－2)9×(－2)8×(－2)3＝(－2)20＝220；
(3)a6·a2＋a5·a3－2a·a7＝a8＋a8－2a8＝0；
(4)(－a)2·(－a)3·a6＝－a2·a3·a6＝－a11；
(5)(a－1)3·(a－1)2·(a－1)＝(a－1)6；
(6)(a－b－c)(b＋c－a)(c－a＋b)3
＝(a－b－c)(a－b－c)(a－b－c)3＝(a－b－c)5.
12．[2025·亭湖区期中]已知：
10×102＝1 000＝103，102×102＝10 000＝104，
102×103＝100 000＝105.
(1)猜想：109×1010＝____；
10m×10n＝_____(m，n均为正整数)；
(2)运用上述结论计算下列各式：
①(1.5×104)×(1.2×105)；
②(－6.4×106)×(－2.58×103)．
1019
10m＋n
解：(1)1019；10m＋n；
(2)①(1.5×104)×(1.2×105)＝(1.5×1.2)×(104×105)＝1.8×109；
②(－6.4×106)×(－2.58×103)
＝(6.4×2.58)×(106×103)
＝(6.4×2.58)×109
＝1.6512×1010.
13．[2024·榆林期中](1)已知22·22n－1·23－n＝64，求n的值；
(2)已知3×32x×34＝323，求x的值．
解：(1)因为22·22n－1·23－n＝64，
所以22·22n－1·23－n＝26，
则2＋2n－1＋3－n＝6，解得n＝2；
(2)因为3×32x×34＝323，
所以31＋2x＋4＝323，
所以1＋2x＋4＝23，解得x＝9.
14.[新定义][2024·天长期中]规定新运算“*”：a*b＝2a×2b，
如：1*3＝2×23＝16.
(1)求(－2)*6的值；
(2)若1*(2x＋1)＝64，求x的值．
解：(1)由题意，得(－2)*6＝2－2×26＝2－2＋6＝24＝16；
(2)因为1*(2x＋1)＝64，
所以21·22x＋1＝64，
即22x＋1＋1＝26，
所以2x＋1＋1＝6，解得x＝2.
15．[2025·宿城区期中]已知2x＝6，2y＝3，求下列各式的值：
(1)2x＋y；
(2)22x＋23y.
解：(1)原式＝2x·2y＝6×3＝18；
(2)原式＝2x＋x＋2y＋y＋y＝2x·2x＋2y·2y·2y
＝6×6＋3×3×3＝63.
16.[新定义][2024·洪雅县期末]规定两数a，b之间的一种运算，
记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.
例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(3，9)＝__；
(2)令(2，6)＝x，(2，7)＝y，(2，42)＝z，试说明下列等式成
立的理由：(2，6)＋(2，7)＝(2，42)．
2
解：(1)2；
(2)因为(2，6)＝x，(2，7)＝y，(2，42)＝z，
所以2x＝6，2y＝7，2z＝42，
所以2x＋y＝2z，所以x＋y＝z，
所以(2，6)＋(2，7)＝(2，42)．
17．【定义新知】
如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号(a，b)
＝c，例如42＝16，那么记作(4，16)＝2.
【尝试应用】
(1)(2，8)＝__；
【拓展提升】
(2)若k，m，n，p均为整数，且(k，9)＝m，(k，27)＝n，
(k，243)＝p，求证：m＋n＝p.
3
解：(1)3；
(2)证明：因为(k，9)＝m，(k，27)＝n，(k，243)＝p，
所以km＝9，kn＝27，kp＝243，
所以km·kn＝9×27＝243，
所以km·kn＝kp，
即km＋n＝kp，所以m＋n＝p.(共23张PPT)
第3课时　完全平方公式
1．[2024·巴南区期末]若4y2－my＋16可以配成一个完全平方公式，则m的值为( )
A．－8 B．±8
C．16 D．±16
3．[2025·西湖区期中]已知(x－5)2＋(x－7)2＝30，则(x－6)2
的值是( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：因为(x－5)2＋(x－7)2＝30，
所以[(x－6)＋1]2＋[(x－6)－1]2＝30，
所以(x－6)2＋2(x－6)＋1＋(x－6)2－2(x－6)＋1＝30，
即2(x－6)2＋2＝30，
那么(x－6)2＝14.
4．[2025·宿豫区期末]若a＋b＝3，ab＝－4，则a2＋b2＝___．
5．[2025·项城期末]小红将(5x＋19)2展开后得到a1x2＋b1x＋c1，
小芳将(5x－19)2展开后得到a2x2＋b2x＋c2.若两人计算过程均无
误，则b1＋b2的值为__．
17
0
6．[2025·吉安期中]已知x＋ ＝9，则x2＋ 的值为___．
7．[2025·青羊区期中]若y2－4y＋m可以配成一个完全平方公
式，则m的值为__．
79
4
9．[2025·金水区期末]如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，直接写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的关系：
_____________________；
(2)利用(1)的结论和公式变形，解决下面问题：
已知x＋y＝7，xy＝6，则x－y值为____；
(3)两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2＋
y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积是多少？
(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
±5
解：(1)(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn；
(2)因为x＋y＝7，xy＝6，
所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝49－24＝25，
所以x－y＝±5，
故答案为：±5；
(3)因为x2＋y2＝34，BE＝2＝x－y，
所以(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
即4＝34－2xy，
所以xy＝15，
又因为(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，
所以(x＋y)2＝34＋30，
10．[2025·锦江区期中]【背景】对于两数和(差)的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中的三个代数式：a±b，a2＋b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
【应用】
(1)若(a＋b)2＝49，ab＝6，求a－b的值；
【迁移】
(2)如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
解：(1)因为(a＋b)2＝49，ab＝6，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝49－24＝25，则a－b＝±5；
(2)因为AB＝14，BC＝10，DE＝BF＝a，
所以AE＝10－a，AF＝14－a，
因为长方形AFGE的面积为60，
所以AE·AF＝(10－a)(14－a)＝60，
所以(10－a)2＋(14－a)2＝[(10－a)－(14－a)]2＋
2(10－a)(14－a)＝(－4)2＋2×60＝16＋120＝136.
11．[2025·宝丰县期中]很多代数原理都能用几何模型来解释．
如果用 来表示边长为a的正方形，其面积为a2.用 来表
示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为ab. 来表示边长为b
的正方形，其面积为b2.(a大于b)
(1)如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．
把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．阴影部分面
积解释了学过的公式：____________________；
(2)请用几何模型解释：(a＋3b)2＝____________(在空白图中
将几何模型画出来)；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2＋6ab＋9b2
(3)图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平
均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解
释等式：_____________________；
(4)若a－b＝5，ab＝3，求(a＋b)2的值．
(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)画出边长为(a＋3b)的正方形，如图，
故答案为：a2＋6ab＋9b2；
(3)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(4)由(3)，得(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，
所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab，
因为a－b＝5，ab＝3，
所以(a＋b)2＝52＋4×3＝25＋12＝37.(共24张PPT)
第八章　章末能力突破
一、选择题
1．[2025·临淄区期末]2025年3月，中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，成功制备出厚度仅为一张普通A4纸百万分之一的二维金属材料，比如一片单层铋金属的厚度仅为6.3埃米，约0.000 000 000 63米，将0.000 000 000 63用科学记数法可表示为( )
A．63×10－9 B．6.3×10－10
C．63×109 D．6.3×109
2．[2024·太康县期末]若x，y均为正整数，且2x·22y＝29，则x＋2y的值为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
3．[2024·乐东县期末]已知a＝313，b＝96，c＝275，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
5．已知(x＋a)(x＋b)＝x2＋cx－12，若a，b均为整数，则c的值不可能为( )
A．2 B．－4
C．－11 D．11
6．[2025·高青县期末]如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是( )
A．10 B．20
C．30 D．40
二、填空题
7．某长方体体积为 a3b2c，长为2a2b，宽为 ab，则长方体
的高为___．
8．[2025·碑林区期末]若x－y＝5，xy＝24，则x2＋y2的值
为___．
73
9．[2025·海陵区期中]若(2x＋m)2＝4x2＋4mx＋1，则m的值
是____．
10．[2025·梅州期中]如(2x＋m)与(x＋3)的乘积中不含x的一
次项，则m的值为____．
11．[2025·温州期中]已知3m＝2，9n＝5，则32m－2n＝___．
±1
－6
13．利用乘法公式计算
(1)(a＋5)2；
(2)(m＋2n)(2n－m)；
(3)(2x＋3y)2－4(x＋y)(x－y)；
(4)(x＋y－6)(x－y＋6)；
(5)(a＋3)2－(a＋1)(a－1)；
(6)(x＋y－3)(x＋y＋3)．
解：(1)原式＝a2＋10a＋25；
(2)原式＝(2n＋m)(2n－m)＝4n2－m2；
(3)原式＝(4x2＋12xy＋9y2)－(4x2－4y2)
＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋4y2＝12xy＋13y2；
(4)原式＝x2－(y－6)2＝x2－y2＋12y－36；
(5)原式＝a2＋6a＋9－a2＋1＝6a＋10；
(6)原式＝(x＋y)2－9＝x2＋2xy＋y2－9.
14．某市的环保局将一个长为2a×106分米，宽为4a×104分米，高为8a×102分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由．
解：存在．理由如下：
因为长方体废水池的容积为
(2a×106)×(4a×104)×(8a×102)
＝64a3×1012
＝(4a×104)3立方分米，
所以该正方体贮水池的棱长为4a×104分米．
15．[2025·昭平县期中]把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式．
(1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出(a＋b)2，(a－b)2，ab它们三者之间的一个等量关系；
(2)根据(1)中的结论，解决下列问题：2x＋3y＝8，xy＝2，求2x－3y的值；
(3)如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a＋b＝18，ab＝80，请结合图形，试求阴影部分的面积．
解：(1)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(2)根据(1)题可得，
(2x－3y)2＝(2x＋3y)2－4·2x·3y＝82－24xy＝64－24×2＝16，
所以2x－3y的值为±4；
(3)因为a＋b＝18，ab＝80，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝182－2×80＝324－160＝164，
所以由图形可知：
16．[2025·高青县期末]根据图形，回答下列问题：
(1)图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均
分成四块小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形、用两种
不同的方法求图2中的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系
是_____________________；
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn
解：(1)(m－n)2＝(m＋n)2－4mn；
(2)由(1)得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，
①所以(a＋b)2－4ab＝(a－b)2，
即(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab，
因为a－b＝5，ab＝－6，
所以(a＋b)2＝52＋4×(－6)＝1，
所以a2＋b2－2ab＝25，
所以a2＋b2＝25＋2ab＝25＋2×(－6)＝13；(共13张PPT)
第4课时　同底数幂的除法
1．已知xm＝6，xn＝2，那么xm－n的值是( )
A．4 B．
C．3 D．12
2．计算(－m)6÷m2的结果等于( )
A．m2 B．m3
C．m4 D．m6
3．am－2n－3p等于( )
A．am÷a2n·a3p B．am·(a3p÷a2n)
C．am÷a3p÷a2n D．am·a3p÷a2n
4．下列计算正确的是( )
A．x6÷x2＝x3
B．s3÷s＝s3
C．(－x)4÷(－x)2＝－x2
D．(－c)9÷(－c)9＝1
5．[2025·玄武区期末]若am＝3，an＝4，则a2m－n的值为___．
6．[2025·文水县期中]已知32n＋1÷34＝3n＋3n＋3n，则n的值
为__．
7．[2025·新城区期中]若3y－x－3＝0，则27y÷3x的值为___．
8．[2025·河东区一模]计算－x3÷(－x)2的结果为____．
9．若27x÷3x＝38，则x的值是__．
4
27
－x
4
11．已知am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)．
(1)求am＋k－2n的值；
(2)求ak－3m－n的值；
(3)求k－3m－n的值．(提示：若a≠0，则a0＝1)
解：(1)因为am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)，
所以am＋k－2n＝am·ak÷a2n＝am·ak÷(an)2＝2×32÷42＝2×32÷16＝4；
(2)因为am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)，
所以ak－3m－n＝ak÷a3m÷an＝ak÷(am)3÷an＝32÷23÷4＝32÷8÷4＝1；
(3)由(2)，得ak－3m－n＝1，
因为a0＝1(a≠0)，所以k－3m－n＝0.
12．探究应用：用“∪”“∩”定义两种新运算：对于两个数a，b，规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b.例如：3∪2＝103×102＝105；3∩2＝103÷102＝10.
(1)求(1 040∪983)的值；
(2)求(2 024∩2 022)的值；
(3)当x为何值时，(x∪5)的值与(23∩17)的值相等．
解：(1)由题意得(1 040∪983)＝101 040×10983＝101 040＋983＝102 023；
(2)由题意得(2 024∩2 022)＝102 024÷102 022＝102 024－2 022＝102＝100；
(3)由题意得(x∪5)＝10x×105＝10x＋5，
(23∩17)＝1023÷1017＝106，
因为(x∪5)的值与(23∩17)的值相等，
所以10x＋5＝106，
所以x＋5＝6，所以x＝1，
所以当x＝1时，(x∪5)的值与(23∩17)的值相等.(共22张PPT)
第7课时　科学记数法
1．[2025·淮安期末]“平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句．水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.000 000 000 4 m，数据0.000 000 000 4用科学记数法表示为( )
A．0.4×10－9 B．4×10－9
C．4×10－10 D．4×10－11
3．若数a＝1.2×10－6，若将a用小数表示时，则数字1前面的“0”一共有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
4．[2025·蓬莱区二模]宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为( )
A．2×102克 B．2×10－2克
C．5×10－2克 D．5×10－3克
5．[2025·沛县期末]某纳米涂层的厚度为0.000 000 067 m，
将0.000 000 067用科学记数法表示为__________．
6．[2025·榆次区期中]在我国神话里，哪吒用莲藕“重塑肉
身”的故事流传已久．近期我国科研团队用“莲藕重塑”思维，
研制出厚度约为0.000 000 000 5 m的单原子层金属，成功为
金属“重塑金身”，开创了二维金属研究新领域．用科学记数
法表示单原子层金属的厚度约为________m.
6.7×10－8
5×10－10
7．[2024·江北区期末]一种细菌的半径是1.21×10－3厘米，半
径用小数表示为_________厘米．
8．[2022·泰山区期中]某种感冒病毒的直径是0.000 000 812
米，用科学记数法表示为___________米．一种细菌的半径为
3.09×10－3 m，用小数表示应是_________m.
0.001 21
8.12×10－7
0.003 09
9．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是0.000 000 05 cm，
用2×103个这样的细胞(沿直线)排成的细胞链长度是多少厘米？(结
果用科学记数法表示)
解：0.000 000 05×2×103＝5×10－8×2×103＝1×10－4(cm)
答：2×103个这样的细胞排成的细胞链的长为1×10－4 cm.
10．一个正方体集装箱的棱长为0.8 m.
(1)这个集装箱的体积是多少(用科学记数法表示)
(2)若有一个小立方块的棱长为2×10－2 m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？
解：(1)因为一个正方体集装箱的棱长为0.8 m，
所以这个集装箱的体积是
0.8×0.8×0.8＝0.512＝5.12×10－1(m3)，
答：这个集装箱的体积是5.12×10－1 m3；
(2)因为一个小立方块的棱长为2×10－2 m，
所以5.12×10－1÷(2×10－2)3＝64 000(个)，
答：需要64 000个这样的小立方块才能将集装箱装满．
11．[2025·河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热
后其长度的增加称为线膨胀．在0～100 ℃(本题涉及的温度均
在此范围内)，原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与
温度的增加量x(℃)之间的关系均为y＝αlx，其中α为常数，
称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数αCu＝1.7×
10－5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃
伸长了1.8×10－3 m.
(1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃，求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示)；
(2)求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10－4 m，求该铁棒温度的增加量；
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃，求该铁棒温度的增加量．
解：(1)0.6×50×1.7×10－5＝5.1×10－4 m，
答：该铜棒的伸长量为5.1×10－4 m；
(2)2.5×αFe(80－20)＝1.8×10－3，
αFe＝1.2×10－5/℃，
设该铁棒温度的增加量为x1，根据题意得，
1×1.2×10－5×x1＝4.8×10－4，
解得x1＝40 ℃，
答：铁的线膨胀系数αFe＝1.2×10－5/℃，该铁棒温度的增加量
为40 ℃；
(3)设该铁棒温度的增加量为x2，根据题意，得
1.7×10－5(x2－20)＝1.2×10－5x2，
解得x2＝68 ℃，
答：该铁棒温度的增加量为68 ℃.
12．[2024·龙沙区期中]生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102＋1×101＋2×100；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10 010转化为十进制数：1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋0×20＝16＋2＝18；
其他进制也有类似的算法…
在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结
绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天
数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据
图示，孩子已经出生的天数为___．
42
解析：由题意可知，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为1×52＋3×51＋2×50＝42，故孩子已经出生了42天．
(1)将下列各数用“类科学记数法”表示：
0．02＝______；
0．000 407＝_________；
(2)若一个数0.0……035用“类科学记数法”表示为3.5÷106，
则原数中“0”的个数为__；
(3)比较大小：9÷108___1÷107；
0．000 106___9.8÷105；
2÷102
4.07÷104
6
＜
＞
(4)纳米是长度度量单位.1纳米＝1.0÷109米，一种病毒的直径
平均为200纳米.200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为
________米．
2.0÷107
解：(1)2÷102，4.07÷104；
(2)6；
(3)9÷108＝0.000 000 09，1÷107＝0.000 000 1，
因为0.000 000 09＜0.000 000 1，
所以9÷108＜1÷107；9．8÷105＝0.000 098，
因为0.000 106＞0.000 098，
所以0.000106＞9.8÷105，
故答案为：＜，＞；
(4)因为1纳米＝1.0÷109米，
所以200纳米＝200×1.0÷109＝2.0÷107米，
故答案为：2.0÷107.(共14张PPT)
2　整式的乘法
第1课时　单项式乘单项式
1．[2025·沙坪坝区期末]计算2a3·(－a)3的结果是( )
A．－2a6 B．－2a9
C．2a6 D．2a9
2．[2025·青山区三模]已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，那么m，n的值为( )
A．m＝－6，n＝6 B．m＝－6，n＝5
C．m＝1，n＝6 D．m＝1，n＝5
a6b3
－x4y2
－12
8．若(mx3)·(2xk)＝－8x18，则m＋k＝___．
11
9．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的
WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认
真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是
______.
账号：shulishijie
[x19y8z8]＝1 988
[x2yz·x3y]＝521
[(x5)5y4z6÷x5y2z]＝密码
2 025
10.计算：
(1)(－2x3y)2＋(－3x2)3·y2；
(2)2x3y2·(－2xy2z)2；
(3)(－3m2n－3)－2·(－2m－1n2)－3；
(4)(2mn2)－2·(m－2n－1)－2.
11．[2025·西宁期中]先化简，再求值：
(－3a3x)·(－2a2x2)＋7(ax)3·(a2x)2－a7x5，其中x＝－2，
a＝－1.
解：(－3a3x)·(－2a2x2)＋7(ax)3·(a2x)2－a7x5＝6a5x3＋7a3x3·a4x2－a7x5＝6a5x3＋6a7x5，
当x＝－2，a＝－1时，
原式＝6×(－1)5×(－2)3＋6×(－1)7×(－2)5＝48＋6×
(－1)×(－32)＝240.
(2)因为(m，n)是“同心有理数对”，
所以m－n＝3mn－2.
所以(－n)－(－m)＝3(－n)·(－m)－2，
故(－n，－m)是“同心有理数对”.(共25张PPT)
第5课时　零指数幂与负整数指数幂(1)
1．[2025·聊城三模]若A＝(－1)2 025，B＝(－π)0，则点A与点B在数轴上的位置( )
A．相同
B．都在数轴原点右侧，且点A距离原点远
C．都在数轴原点左侧，且点B距离原点远
D．在数轴原点两侧，且与原点距离相等
2．[2025·宿城区期中]等式(x－3)0＝1成立的条件是( )
A．x≠－3 B．x≥－3
C．x≤－3 D．x≠3
4．[2025·长沙一模]下列各组数互为相反数的是( )
A．2与|－2| B．20与(－1)2
C．2与2－1 D．－(－2)与－|－2|
6．若(x－2)0－(2x－6)－3有意义，那么x的范围是( )
A．x＞2 B．x＜3
C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2
b＜a＜c
8．已知(x－3)x－1＝1，则x＝_____．
1或4
解析：当x－1＝0时，x＝1，此时(x－3)x－1＝(－2)0＝1，
满足题意；
当x＝4时，(x－3)x－1＝13＝1，满足题意；
当x＝2时，(x－3)x－1＝(－1)1＝－1，不满足题意；
综上所述，当x＝1或x＝4时，(x－3)x－1＝1.
9．[2025·苏州期中]若(2x－3)x＋2＝(x－3)x＋2，则整数x的值
为__________．
－2或0或2
解析：①当x＋2＝0时，
即x＝－2时，2x－3≠0，x－3≠0，
此时(2x－3)x＋2＝(x－3)x＋2＝1；
②当2x－3＝x－3时，解得x＝0；
③当2x－3＝1，即x＝2时，此时x＋2＝4，x－3＝－1，
所以(2x－3)x＋2＝(x－3)x＋2，变为14＝(－1)4；
④当2x－3＝－1，即x＝1时，此时x＋2＝3，x－3＝－2，由于(－1)3≠(－2)2，
所以(2x－3)x＋2≠(x－3)x＋2；
综上所述，x＝－2或x＝0或x＝2.
10．[2025·邗江区期中]“幻方”最早记载于春秋时期的《大
戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之
和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将－4，－2，
－1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据
已填入，则(a＋b)－2的值为____．
解：(1)原式＝9－8＋3－1＝3；
(2)原式＝－1＋4＋1－2＝2；
(3)原式＝2－1＋3＋1＝5；
(4)原式＝1－2＋1＋2＝2；
(5)原式＝－8＋(－6)－16＝－30；
(6)原式＝5－3＋3－1＝4.
13．(1)通过计算比较下列各式中两数的大小：(填“＞”“＜”
或“＝”)
①1－2___2－1，
②2－3___3－2，
③3－4___4－3，
④4－5___5－4……
＞
＞
＜
＜
(2)由(1)可以猜测n－(n＋1)与(n＋1)－n(n为正整数)的大小关系：
当n___2时，n－(n＋1)＞(n＋1)－n；
当n____时，n－(n＋1)＜(n＋1)－n；
(3)根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较大小：
2 024－2 025__2 025－2 024.
≤
＞2
<
14．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：an＝1
(n为整数)成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题：
(1)经过讨论，小明同学总结了三种使an＝1(n为整数)成立
情形，请帮小郑同学补充完整：①　 ②a＝－1，n为偶数
③a＝__；
(2)若(2x－1)x－2 025－1＝0，求x的值；
(3)延伸迁移：若(a＋2)a＋4＝a＋2，请直接写出a的值．
1
解：(1)1；
(2)由(2x－1)x－2 025－1＝0，
①当2x－1≠0，x－2 025＝0时，
解得x＝2 025；
②当2x－1＝－1时，解得x＝0，
此时指数0－2 025＝－2 025，是奇数，
结果为(－1)－2 025＝－1≠1，不成立；
③当2x－1＝1时，解得x＝1，
此时指数为1－2 025＝－2 024，
此时结果为1－2 024＝1，成立；
综上所述，x的值是1或2 025；
(3)由(a＋2)a＋4＝a＋2，得
①当a＋2＝0，a＋4≠0时，解得a＝－2；
②当a＋2＝1时，解得a＝－1；
③当a＋2＝－1时，解得a＝－3.
此时a＋4＝1，(－1)1＝－1，成立；
综上所述，a的值是－1或－2或－3.
15．填写表格，并观察下列两个代数式值的变化情况：
(1)随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
(2)估计一下，随着n的值逐渐变大，哪个代数式的值先小
于10－10
解：(1)从表中知，随着n的值逐渐变大，两个代数式的值都是变小的，且趋向于0；
(2)第二个代数式变小得快，先小于10－10.(共23张PPT)
第2课时　多项式除以单项式
1．[2025·龙岗区期中]乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是( )
A．(x2－2x＋6) B．(x2－3x2＋6)
C．(x2－3x＋6) D．(x2－3x－6)
3．[2024·衡山县期末]若长方形面积是3a2－3ab＋9a，长为3a，则这个长方形的宽是( )
A．8a－2b＋6 B．2a－2b＋6
C．a＋b＋3 D．a－b＋3
4．[2024·普陀区期中]已知(xn＋a＋xn＋b)÷xn＋1＝x2＋x3，其中n是正整数，那么a＋b的值是( )
A．3 B．5
C．7 D．9
5．[2024·晋城期中]某智能芯片研发公司需要对一种新型芯
片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线
规律可以表示为(－4x3＋2x)．现在需要将其按照一定的规则
进行重新布局，相当于将其除以2x，则新的电路布线规律可
以表示为( )
A．－8x4＋4x2 B．－4x3
C．－2x D．－2x2＋1
6．[2024·杨浦区期末]计算：(2a3x2－a2x3＋3ax2)÷ ax2＝
___________．
7．[2024·万州区期末]若一个多项式M与单项式2x2的积是10x4
－8x5，则这个多项式M是________．
6a2－3ax＋9
5x2－4x3
8．[2024·城关区期中]某地新建了一个图书馆，现准备在阅读
室内打造书架，已知一个书架可以容纳3m2本书，那么想要装
(9m4－6m2n＋3m2)本书需要设计书架____________个．
9．若(6x4－2x2－n)÷2x3＝3x－x2(n为常数)，则n的值为____．
(3m2－2n＋1)
－3
10．[2025·秦都区模拟]化简：
(1)[(a－3b)2＋3(a2－3b2)]÷2a；
(2)[(x＋y)2－(x－y)2]÷4xy；
(3)(4x2－x3－2x)÷2x－(x－2)2；
(4)(6x3＋3x2－2x)÷(－2x)－(x－2)2；
(5)(x－3)2－(4x3－12x2)÷2x.
解：(1)原式＝(a2－6ab＋9b2＋3a2－9b2)÷2a
＝(4a2－6ab)÷2a
＝4a2÷2a－6ab÷2a
＝2a－3b；
(2)原式＝[(x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)]÷4xy
＝(x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2)÷4xy
＝4xy÷4xy
＝1；
(5)原式＝x2－6x＋9－(2x2－6x)
＝x2－6x＋9－2x2＋6x
＝－x2＋9.
11．[2025·郫都区期中]先化简，再求值：
(1)(8xy2－6x2y)÷2y，其中x＝2，y＝1；
(2)[2(x－y)]2－(12x3y2－9x2y3)÷(3xy2)，其中x＝－2，
y＝－ ；
(3)(3an＋2＋9an＋1－an)÷(－6an)，其中a＝－2(n为正整数)．
解：(1)(8xy2－6x2y)÷2y＝4xy－3x2；
当x＝2，y＝1时，
原式＝4×2×1－3×22＝－4；
12．已知A，B均为整式，A＝(xy＋1)(xy－1)－2x2y2－xy＋1，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“－”，这样他计算的正确结果为－x2y2.
(1)求A÷B的正确结果；
(2)当xy＝2时，求A÷B的值．
解：(1)A＝(xy＋1)(xy－1)－2x2y2－xy＋1
＝x2y2－1－2x2y2＋1－xy
＝－x2y2－xy，
因为A－B＝－x2y2，－x2y2－xy－B＝－x2y2，
所以B＝－x2y2－xy＋x2y2＝－xy，
所以A÷B＝(－x2y2－xy)÷(－xy)＝x2y2÷xy＋xy÷xy＝xy＋1；
(2)当xy＝2时，A÷B＝xy＋1＝2＋1＝3.
13．[2025·绍兴期中]我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式．
例：计算(8x2＋6x＋1)÷(2x＋1)，可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此(8x2＋6x＋1)÷(2x＋1)＝4x＋1.
请根据阅读材料，回答下列问题：
(1)模仿例题中列竖式计算的方法计算(x2＋3x＋2)÷(x＋1)的值．
(2)现在有一个长方体长为(x－1) cm，宽为(x＋4) cm.若这个长方体体积为(x3＋6x2＋5x－12) cm3，
①求这个长方体的底面积(用含x的代数式表示)；
②求这个长方体的高(用含x的代数式表示)．
解：(1)如图：
所以(x2＋3x＋2)÷(x＋1)＝x＋2；
(2)①(x－1)(x＋4)＝x2－x＋4x－4＝(x2＋3x－4) cm2，
所以这个长方体的底面积为(x2＋3x－4) cm2；
②如图：
所以这个长方体的高为(x＋3) cm.(共12张PPT)
第3课时　积的乘方
1．[2025·杭州二模]计算(－2xy2)3的结果是( )
A．－6x3y6 B．－6xy6
C．－8xy6 D．－8x3y6
3．[2024·烟台一模]如果(am·b·bn)3＝a6b15，那么m，n的值分别是( )
A．2，4 B．2，5
C．3，5 D．3，－5
10
6．[2025·株洲期中]已知xn＝2，yn＝3，则(xy)2n＝___．
7．[2025·大庆模拟]若一个正方体的棱长是3×102 cm，则它
的体积是________cm3.
36
2.7×107
9．已知an＝6，b2n＝8，求(ab)2n－(a2b4)n的值．
解：因为an＝6，b2n＝8，
所以(ab)2n－(a2b4)n
＝a2nb2n－a2nb4n
＝(an)2b2n－(an)2(b2n)2，
＝62×8－62×82
＝－2 016.
10．已知2a＝5b＝10，判断a＋b和ab的大小关系．
解：因为2a＝5b＝10，
所以(2a)b＝2ab＝10b，(5b)a＝5ab＝10a，
所以10a×10b＝10a＋b＝5ab×2ab＝(5×2)ab＝10ab，
所以a＋b＝ab.
(2)因为2·4n·16n＝219，
所以2·(22)n·(24)n＝219，
所以21＋2n＋4n＝219，
所以1＋6n＝19，解得n＝3.(共27张PPT)
第2课时　平方差公式的应用
1．[2025·榆次区期中]运用整式乘法公式计算993×1 007，下列变形正确的是( )
A．(990＋3)×(1 000＋7)
B．(1 000－7)×(1 000＋7)
C．(990＋3)×(990＋17)
D．(1 000－7)×(990＋17)
2．[2025·宜兴期末]如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是( )
A．10 B．8
C．6 D．4
3．[2025·覃塘区期中]计算2 0242－2 023×2 025的结果
是( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
4．[2025·南宫模拟]如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
5．[2025·临漳县期中]我们可以利用图形的面积解释一些代数
恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是( )
A．a(a＋9)＝a2＋9a
B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．(a＋3)(a－6)＝a2－3a－36
D．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
6．[2024·嘉陵区期末]计算 ＝____．
7．[2024·梁山县期末]计算：1002－992＝____．
250
199
8．[2025·思明区二模]如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相
邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线
上．连接AE，DG，EG，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面
积与小正方形的面积之差为___．
18
9．[2025·双流区期中]如图，将分割的正方形阴影部分拼接成
长方形的方案中，可以验证哪个公式____________________．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)原式＝2 0252－(2 025＋5)(2 025－5)
＝2 0252－2 0252＋25
＝25；
(3)原式＝(100＋2)×(100－2)
＝10 000－4
＝9 996；
11．[2024·石家庄一模]植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植(2a－b)株，种植了(2a＋b)排，正方形花坛每排种植a株，种植了a排(a>b>0)．
(1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？
(2)当a＝4，b＝2时，这两块花坛一共种植了多少株？
解：(1)由题意得
(2a＋b)(2a－b)－a2
＝4a2－b2－a2
＝3a2－b2，
答：长方形花坛比正方形花坛多种植(3a2－b2)株；
(2)由题意得
(2a＋b)(2a－b)＋a2＝4a2－b2＋a2
＝5a2－b2，
当a＝4，b＝2时，
原式＝5×42－22
＝80－4
＝76(株)，
答：这两块花坛一共种植了76株．
12．[2025·尤溪县期中]从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作可以验证的乘法公式是____________________；
(2)并利用所得公式计算：2 0252－2 024×2 026；
(3)运用以上规律计算：(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×
(216＋1)×(232＋1)＋1.
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)2 0252－2 024×2 026
＝2 0252－(2 025－1)(2 025＋1)
＝2 0252－(2 0252－1)
＝2 0252－2 0252＋1
＝1；
(3)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(28－1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(216－1)(216＋1)(232＋1)＋1
＝(232－1)(232＋1)＋1
＝264－1＋1＝264.
13.[培素养][2025·高邮期中]【探究】
如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形．
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1______，
图______________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：
____________________(用字母a，b表示)；
a2－b2
2(a＋b)(a－b)
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【应用】
(3)请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m－n＝3，2m＋n＝4，则4m2－n2的值为___；
②计算：(x－3)(x＋3)(x2＋9)；
【拓展】
(4)计算(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(332＋1)的结果为______．
12
解：(1)a2－b2；(a＋b)(a－b)；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(3)①4m2－n2
＝(2m－n)(2m＋n)
＝3×4
＝12，
故答案为：12；
②(x－3)(x＋3)(x2＋9)
＝(x2－9)(x2＋9)
＝(x2)2－92
＝x4－81；

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