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(共21张PPT)
2　探索直线平行的条件
第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理
1．[2025·潼南区期末]如图，具有同位角关系的一对角
是( )
A．∠1和∠2
B．∠1和∠4
C．∠2和∠3
D．∠3和∠4
2．[2025·吉安期中]若∠1与∠2是同位角，且∠1＝60°，则∠2是( )
A．60° B．120°
C．120°或60° D．不能确定
3．[2025·红安县期中]下列说法错误的个数是( )
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这个点到直线的距离
④同一平面内不相交的两条直线叫作平行线
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．[2025·鹿邑县期中]如图，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是( )
5．[2025·广饶县期中]如图，在直线AB外取一点P，经过点P作AB的平行线，这种画法的依据是( )
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
6．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是
_______，理由是_______________________________．
EF∥CD
平行于同一直线的两直线互相平行
7．[2025·德州]如图，∠DAC是三角形ABC的外角，射线AE在
∠DAC的内部，添加一个条件_______________________，使
得AE∥BC．(写出一种情况即可)
∠DAE＝∠B(答案不唯一)
8．[2024·松山区期中]学行线之后，李强同学想出了过
直线外一点画一条直线的平行线的方法：如图2，过点P作一条
与a相交的直线b，如图3以P为顶点，以b为角的一边，作∠2＝
∠1，如图4过∠2的另一条边作直线c，则c∥a，这样做的数学
依据是_______________________．
同位角相等，两直线平行
9．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，说明DE∥BF的理由．
解：∵DE平分∠CDA(已知)，
∴∠1＝ ∠CDA(_______________)．
同理∠3＝ ∠CBA，
又∵∠CDA＝∠CBA(已知)，
∴∠__＝∠__，
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠__＝∠__(_________)，
∴DE∥BF(_______________________)．
角平分线的定义
1
3
2
3
等量代换
同位角相等，两直线平行
10．如图所示，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系．
11．[2025·厦门期末]如图，在四边形ABCD中，射线CE交AD于点F，连接BF，BF⊥CE.
(1)若∠DFC＝50°，求∠AFB的度数；
(2)若∠FBC＋∠AFE＝90°，判断直线AD和BC的位置关系，并说明理由．
解：(1)因为BF⊥CE，所以∠BFC＝90°，
因为∠AFB＋∠BFC＋∠DFC＝180°，∠DFC＝50°，
所以∠AFB＝180°－∠BFC－∠DFC＝180°－90°－50°＝40°；
(2)AD∥BC，理由如下，
因为BF⊥CE，所以∠BFC＝90°，
所以∠FBC＋∠BCF＝90°，
又因为∠FBC＋∠AFE＝90°，
所以∠BCF＝∠AFE，所以AD∥BC．
12．[2025·朝阳期末]在学行线后，小明和小芳分别给出了过直线AB外一点P画这条直线的平行线的方法.
小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线MN与直线AB相交于点Q； ②测得∠BQM＝62°； ③以P为顶点，射线PM为一边，画∠CPM＝62°(点C在直线MN的右侧)． 直线CP即为所求． 小芳的画法：如图b，
①过点P画直线PQ⊥AB，垂足为Q；
②过点P画直线CD⊥PQ，垂足为P(点C，D分别在直线PQ的两侧，且点C在直线PQ的左侧)．
直线CD即为所求．
完成下面问题：
(1)在小明的画法中，判定CP∥AB的依据是___________________
_____；
(2)用三角尺或量角器，依画法补全图b；
同位角相等，两直线
平行
解：(2)图形如图所示：
(3)完成小芳的证明．
证明：∵PQ⊥AB，
∴∠BQP＝___°(___________)．
∵CD⊥PQ，
∴∠DPE＝90°.
∴∠BQP＝∠DPE.
∴CD∥AB(_______________________).
90
垂直的定义
同位角相等，两直线平行(共24张PPT)
3　平行线的性质
第1课时　平行线的性质
1．[2025·陈仓区模拟]中华民族一直有着互帮互助的优良传统，如图是“互”字的大致结构示意图，AB∥GM，NE∥MH，点E在AB上，点G在NE上，若∠BEN＝121°，则∠M的度数为( )
A．51° B．59°
C．60° D．61°
2．[2025·光明区模拟]立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间
的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．
如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG∥CD，∠BCD＝
74°，∠B＝44°，则∠BAG的度数为( )
A．26° B．30°
C．34° D．40°
3．[2025·海珠区期末]抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，
被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非
物质文化遗产名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空
竹(如图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A
＝75°，∠ECD＝105°，则∠E的度数为___°.
30
4．[2025·海安市期末]如图，已知AB∥DE，∠ABC＝55°，
∠BCD＝25°，则∠CDE的度数为______．
150°
5．[2025·芜湖期末]仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的
一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧
起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，AB∥CD，AC∥DE，点F在
直线AC上，∠FAB＝115°，∠E＝55°，则∠DCE的度数为_____．
60°
6．[2025·无为期中]如图，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1＋
∠2＝90°.
(1)求证：FH⊥DE；
(2)若∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DFH的度数．
解：(1)证明：因为∠BED＝∠C，
所以DE∥AC，所以∠CAG＝∠3，
因为AG平分∠BAC，
所以∠CAG＝∠1，所以∠1＝∠3，
因为∠1＋∠2＝90°，所以∠3＋∠2＝90°，
即∠DGH＝90°，所以FH⊥DE；
(2)因为∠CAG＝∠1，∠BAC＝66°，
所以∠1＝∠CAG＝33°，所以∠3＝∠1＝33°，
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝57°，
因为∠3＝∠4，∠1＝∠3，
所以∠1＝∠4，
所以AG∥DF，
所以∠DFH＝∠2＝57°.
7．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，求此时∠AOE和∠ANM的度数．请补充求解过程，并在括号内填上相应的理由．
解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，即AB∥CD，
∵∠ODC＝30°(已知)，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°(_______________________)，
∵∠AOE＋∠EOF＋______＝∠AON＝180°(___________)，
且∠EOF＝90°(已知)，
∴∠AOE＝___°，
∵DM∥OE(已知)，
∴∠AND＝∠AOE＝___°(_______________________)，
∴∠ANM＝180°－∠AND＝____°(平角的定义)．
两直线平行，内错角相等
∠BOD
平角的定义
60
60
两直线平行，同位角相等
120
8.[培素养][2025·矿区期中]综合与探究
问题情境：
学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，交CD的延长线于点F.试判断∠F和∠FBC的关系，并说明理由．
问题解决：
(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：
(2)如图2，G是线段BE上一点(不与点B，E重合)，连接CG，为探究∠ABE，∠DCG与∠BGC之间的数量关系，小颖过点G作GH∥AB交BC于点H.请你根据她的思路，写出∠ABE，∠DCG与∠BGC之间的数量关系，并说明理由；
特例研究：
(3)在(2)的基础上，如图3，当CG平分∠BCD时，试判断BF与CG的位置关系，并说明理由．
解：(1)∠F＝∠FBC，
理由如下：
因为AB∥CD，所以∠ABF＝∠F.
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABF＝∠FBC，
所以∠F＝∠FBC；
(2)∠BGC＝∠ABE＋∠DCG.
理由：
因为AB∥CD，GH∥AB，
所以GH∥CD，∠BGH＝∠ABE.
所以∠HGC＝∠DCG，
所以∠BGC＝∠BGH＋∠HGC＝∠ABE＋∠DCG；
9．[2025·西安期中]问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作GH∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．
(1)按照小明的思路，求∠APC度数；
问题迁移：
(2)如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠α. ∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请你写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系，并说明理由．
解：(1)过点P作GH∥AB，如图所示，
因为AB∥CD，
所以GH∥AB∥CD，
所以∠A＋∠APH＝180°，∠C＋∠CPH＝180°，
因为∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，
所以∠APH＝180°－135°＝45°，
∠CPH＝180°－125°＝55°，
所以∠APC＝∠APH＋∠CPH＝100°；
(2)∠CPD＝∠α＋∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
因为AD∥BC，
所以AD∥PE∥BC，
所以∠β＝∠DPE，∠α＝∠CPE，
所以∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β；
(3)当P在BA延长线时，如图4，
因为AD∥PE∥BC，
所以∠β＝∠DPE，∠α＝∠CPE，
所以∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠α－∠β，
当P在AB延长线时，如图5，
因为AD∥PE∥BC，
所以∠β＝∠DPE，∠α＝∠CPE，
所以∠CPD＝∠β－∠α.(共23张PPT)
第七章 相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、余角、补角
1．[2025·郑州期末]如图1所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．将图1简化为图2，下列描述正确的是( )
A．∠1和∠2是对顶角
B．∠2和∠DOE互余
C．∠COF和∠DOF互补
D．∠COE＝∠GOD
2．[2025·秦皇岛模拟]如图，点B，O，D在同一条直线上，∠COA＝90°，直线DB从与OA重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成∠1(小于45°)，∠2，∠3，当∠1增加15°时，下列说法正确的是( )
A．∠3增加15°
B．∠3减少15°
C．∠2增加15°
D．∠2减少30°
3．[2024·渝中区期末]一个角的补角是92°，则这个角的余角
是____．
4．[2025·清江浦区模拟]已知∠A与∠B互补，且∠A＞∠B，代
数式：①90°－∠B　②90°－∠A　③∠A－90°　④
中，可以表示∠B的余角的是_______(填序号)．
2°
①③④
5．[2025·闵行区期末]已知：如图，直线AB，CD交于点O，OE
平分∠COB，∠AOC＝62°，那么∠DOE＝______．
121°
6．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＝120°，则∠2＋∠3
＝______．
120°
7. [综合实践][2024·横山区期末]【问题背景】
如图，已知点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝104°.
【初步探究】
(1)如图1，则∠AOC的读数为___°；
(2)如图2，过点O在AB下方作射线OE，使得∠COE＝90°，若OD
平分∠AOC．求∠AOE和∠DOE的度数；
【拓展提升】
(3)在(2)的条件下，过点O作射线OP，若∠BOP与∠AOD互余，求
∠COP的度数．
76
解：(1)∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－104°＝76°；
(2)因为∠AOE＝∠COE－∠AOC＝90°－76°＝14°，
OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠DOC＝ ∠AOC＝ ×76°＝38°，
∠DOE＝∠COE－∠DOC＝90°－38°＝52°，
所以∠AOE＝14°，
∠DOE＝52°；
(3)因为∠BOP与∠AOD互余，
∠AOD＝38°，
所以∠BOP＝90°－∠AOD＝90°－38°＝52°，
所以OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC－∠BOP＝104°－52°＝52°，
所以OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOP＋∠BOC＝52°＋104°＝156°.
8.[培素养 综合实践][2024·介休期末]综合与实践：
实践操作：在综合与实践活动课上，老师将一副三角尺按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．
特例探究：
(1)如图1所示，“启蒙小组”添加了“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，小组内佳佳同学的做法是：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程；
9.[综合实践]问题情境：
数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三
角尺”的探究活动．
问题实践：
(1)老师将三角尺ABC和三角尺CDE按如图1所示摆放在直线MN上，
边AC，CD落在直线MN上，∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝45°，
∠DCE＝60°，则∠BCE＝_____；
75°
操作探究：
(2)奋进小组将图1中三角尺CDE绕点C逆时针旋转进行探究，当
边CD首次落在直线MN上时停止旋转，若以每秒5°的速度旋转，
设三角尺CDE旋转时间为t秒，提出下列问题，请你帮忙解答．
①t＝___秒，边CE落在边BC上；
②当边CD平分∠ACB时，t＝_____秒；
15
31.5
深度探究：
(3)如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角
尺CDE绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺ABC
也绕点C以每秒15°的速度顺时针旋转，当三角尺CDE的边CD首
次落在直线MN上时停止旋转，同时三角尺ABC也停止旋转．求t
为何值时，∠BCE＝60°.
解：(1)∠BCE＝180°－45°－60°＝75°，
故答案为：75°；
(2)①75÷5＝15(秒)，
故答案为：15；
②(180－22.5)÷5＝31.5(秒)，
故答案为：31.5；
(3)当三角尺CDE的边CD首次落在直线MN上时，所需要的时间为
180÷5＝36(秒)，
当0＜t＜12秒或24＜t＜36秒时，
三角形ABC在MN的上方，
当12＜t＜24秒时，
三角形ABC在MN的下方，(共29张PPT)
第2课时　利用内错角、同旁内角判
定两直线平行
1．[2025·蜀山区期末]如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是( )
A．∠2＝∠3
B．∠4＝∠C
C．∠1＝∠4
D．∠C＋∠ABC＝180°
2．[2025·焦作期中]如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使得a∥b，则需要将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转( )
A．10° B．20°
C．30° D．50°
3．[2025·丹阳市期末]如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下
条件中①∠2＝∠4　②∠2＋∠3＝180°　③∠1＝∠6　④∠4
＝∠5.其中能得出AD∥BC的条件是_________．(填写序号)
①②③④
4．[2025·南昌县期中]将一副三角板中的两块直角三角尺的直
角顶点C按如图方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，
∠E＝∠B＝45°)，当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，
满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝_____
_______________．
30°
或120°或165°
解析：如图1，当AD∥BC时：则∠D＝∠BCD＝30°，
因为∠ACE＋∠ECD＝∠ECD＋∠BCD＝90°，
所以∠ACE＝∠BCD＝30°，
如图2，当AD∥CE时：∠D＝∠DCE＝30°，
此时∠ACE＝90°＋30°＝120°，
如图3，当AD∥BE时：延长BC交AD于点M，
则∠AMC＝∠B＝45°，
所以∠ACM＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠ACE＝90°＋75°＝165°，
综上所述：∠ACE＝30°或120°或165°.
5．[2025·武陟县期中]将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，
下列条件：①∠1＝∠3 ②∠2＝∠3　③∠1＋∠4＝90°　
④∠4＋∠5＝180°，其中能说明纸条上下两边平行的有_______．
(填序号)
②③④
6．[2025·梅州期中]一副三角板按如图所示叠放在一起，其中
点C，D重合，若固定三角板ABC，改变三角板AED的位置(其中A
点位置始终不变)，当∠CAD＝____________时，ED∥AC．
30°或150°
解析：如图所示，当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；
如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，
所以∠CAD＝60°＋90°＝150°.
7．[2025·合江县期末]如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF.
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
(2)证明：因为∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOD＝90°，
因为∠D与∠1互余，所以∠1＋∠D＝90°，
所以∠D＝∠BOD，所以ED∥AB．
8．[2025·临潼区期中]如图，在四边形ABCD中，∠A＝59°，∠D＝121°，点P，F分别在边BC，CD上，连接PF，连接BF并延长至点E，连接CE，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°.
(1)求∠DFE的度数；
(2)若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否
平行，并说明理由．
解：(1)因为∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°，
所以∠ABE＝72°，
因为∠A＝59°，∠D＝121°，59°＋121°＝180°，
所以AB∥CD，
所以∠DFE＝∠ABE＝72°；
(2)CE∥PF，理由如下：
由(1)知，∠DFE＝72°，
所以∠BFC＝∠DFE＝72°，
因为∠BFP＝48°，
所以∠PFC＝∠BFC－∠BFP＝72°－48°＝24°，
又因为∠DCE＝24°，
所以∠DCE＝∠PFC，
所以CE∥PF.
9．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．
如图1，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线(过入射点O且垂直于镜面EF的直线)，OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.
(1)如图1，若∠AOE＝65°，则∠BOF＝___°；若∠AOB＝80°，
则∠BOF＝___°；
(2)如图2，两平面镜OP，OQ相交于点O，一束光线从点A出发，
经过平面镜两次反射后，恰好经过点B，当∠POQ为多少度时，
光线AM∥NB？请说明理由．
65
50
解：(1)因为ON是法线，
所以∠BON＝∠AON，所以∠BOF＝∠AOE.
因为∠AOE＝65°，所以∠BOF＝65°.
因为∠AOB＝80°，ON是法线，
所以∠BON＝∠AON＝40°，
所以∠BOF＝90°－40°＝50°.
故答案为：65，50；
(2)设∠AMP＝∠NMO＝α，∠BNQ＝∠MNO＝β，
当AM∥BN时，∠AMN＋∠BNM＝180°，
所以180°－2α＋180°－2β＝180°，
所以α＋β＝90°，
所以△MON中，∠O＝180°－∠NMO－∠MNO＝180°－(α＋β)＝90°，
所以当∠POQ为90°时，光线AM∥BN.
10.[培素养](1)如图1，若∠B＋∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，要想得到AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
解：(1)AB∥CD，
理由：如图1，延长BE交CD于F.
因为∠BED＝∠B＋∠D，∠BED＝∠EFD＋∠D，
所以∠B＝∠EFD，所以AB∥CD；
(2)∠1＝∠2＋∠3.
理由如下：如图2，延长BA交CE于F，
因为∠2＋∠EFA＋∠EAF＝180°，
∠1＋∠EAF＝180°，
所以∠1＝∠2＋∠EFA，∠1＝∠2＋∠3，
所以∠3＝∠EFA，
所以AB∥CD．
11.[培素养 实践探究题]已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且BC⊥MN，其中∠ABC＝∠ACB，∠DEF＝∠DFE，∠ABC＋∠DFE＝90°，点E，F均落在直线MN上．
(1)如图1，当点C与点E重合时，求证：DF∥AB；聪明的小丽过点C作CG∥DF，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程；
(2)将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：DE∥AC．
解：(1)过点C作CG∥DF，
所以∠DFE＝∠FCG，
因为BC⊥MN，所以∠BCF＝90°，
所以∠BCG＋∠FCG＝90°，
所以∠BCG＋∠DFE＝90°，
因为∠ABC＋∠DFE＝90°，
所以∠ABC＝∠BCG，
所以CG∥AB，所以DF∥AB；
(2)因为∠ABC＝∠ACB，∠DEF＝∠DFE，
又因为∠ABC＋∠DFE＝90°，
所以∠ACB＋∠DEF＝90°，
因为BC⊥MN，所以∠BCM＝90°，
所以∠ACB＋∠ACE＝90°，
所以∠DEF＝∠ACE，
所以DE∥AC．(共33张PPT)
第2课时　垂直
1．[2025·北京模拟]如图，直线AB和CD相交于点O，OF平分∠AOE，OD⊥OF，若∠AOC＝35°，则∠DOE的大小为( )
A．35° B．40°
C．45° D．55°
2．[2025·榕江县二模]如图，在立定跳远后，王老师用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合来测量运动员的成绩，他这样做的理由是( )
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．如图，要从河中引水灌溉农田，通常会从灌溉点A沿着垂直
于河岸的方向修建引水渠AB，这么做的原理是___________．
垂线段最短
4．[2025·嘉定区期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分
∠EOF，OE⊥AB．如果∠BOF＝28°，那么∠COF＝____°.
121
5．[2025·凤翔区期中]如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
BC＝3，则点A到线段BC的距离为__．
4
6．[2025·重庆模拟]如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，
射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB＝___°.
20
7．[2025·郴州期末]如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的
最小值是___．
8．[2025·高唐县期中]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)若∠AOC＝38°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数；
(3)在(2)的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数
是____________．
30°或150°
解：(1)因为OE⊥CD，所以∠COE＝90°，
因为∠AOC＝38°，
所以∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC＝180°－90°－38°＝52°；
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOC＋∠BOD＝180°，
所以5∠BOD＋∠BOD＝180°，
解得∠BOD＝30°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝60°，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝120°；
(3)如图，
因为OF⊥AB，所以∠BOF＝90°，
所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝30°；
如图，
因为OF⊥AB，所以∠BOF＝90°，
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝150°；
故答案为：30°或150°.
解：(1)OB和OM垂直，理由如下：
因为∠BOD和∠AON互余，
所以∠BOD＋∠AON＝90°，
因为∠AON＝∠COM，
所以∠BOD＋∠COM＝90°，
所以∠MOB＝180°－(∠BOD＋∠COM)＝90°，所以OB⊥OM；
(2)设∠COM＝x，则∠BOC＝5x，所以∠BOM＝4x，
因为∠BOM＝90°，所以4x＝90°
解得x＝22.5°，
所以∠BOD＝90°－22.5°＝67.5°.
10.[培素养]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，且OC平分
∠AOE.
(1)【探究发现】若∠BOF＝2∠BOE时，则∠DOF的度数是_____；
(2)【类比延伸】若∠DOF＝20°时，求∠BOE的度数；
(3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中可以猜想
出∠BOE和∠DOF有何关系，并给予证明．
15°
解：(1)由条件可知∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝90°，
因为∠BOF＝2∠BOE，所以∠BOE＝30°，∠BOF＝60°，
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以∠AOE＝150°，
又因为OC平分∠AOE，
所以∠BOD＝∠AOC＝ ∠AOE＝75°，
所以∠DOF＝∠BOD－∠BOF＝75°－60°＝15°.
故答案为：15°；
11.[培素养]问题情境：如图，直线AB，CD相交于点O.ON把
∠AOD分成两个角，且∠AON∶∠NOD＝2∶3.
问题提出：
(1)若∠BOC＝75°，求∠AON的度数；
(2)如果∠BOC＝75°，OM平分∠BON，那么OB
是∠COM的平分线吗？试说明理由；
(2)由(1)知当∠BOC＝75°时，∠AON＝30°，
所以∠BON＝180°－∠AON＝150°，
因为OM平分∠BON，
所以∠BOM＝∠MON＝75°，
所以∠COB＝∠BOM，
所以OB是∠COM的平分线；
12.[综合与实践][2024·厦门期末]【实践操作】三角尺中的数
学
(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD＝
∠ECB＝90°.
①若∠ECD＝38°，则∠ACB＝______；若∠ACB
＝150°，则∠ECD＝_____；
②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何数量关系，并
说明理由；
142°
30°
(2)如图2，若是将两个同样的含60°锐角的直角三角尺叠放在
一起，其中60°锐角的顶点A重合在一起，∠ACD＝∠AFG＝90°.
①探究∠GAC与∠DAF的大小有何数量关系，并说明理由；
②若一开始就将△ADC与△AFG完全重合(AF与AC重合)，保持
△ADC不动，将△AFG绕点A以每秒10°的速度逆时
针旋转一周，旋转时间为t.在旋转的过程中，t为
何值时AG⊥AC．
解：(1)①若∠ECD＝38°，则∠ACE＝∠ACD－∠ECD＝90°－38°＝52°，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠ECB＝52°＋90°＝142°；
若∠ACB＝150°，则∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝150°－90°＝60°，
所以∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝90°－60°＝30°；
故答案为：142°；30°；
②∠ACB＋∠ECD＝180°，理由如下：
因为∠ACD＝∠ECB＝90°，
所以∠ACD＋∠ECB＝180°，
所以∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD＝180°，
即∠ACB＋∠ECD＝180°；
(2)①∠GAC＋∠DAF＝120°，理由如下：
因为∠GAF＝∠DAC＝60°，
所以∠GAF＋∠DAC＝120°，
所以∠GAD＋∠DAF＋∠FAC＋∠DAF＝120°，
即∠GAC＋∠DAF＝120°；
②因为AG⊥AC，所以∠GAC＝90°，
当AG在AC上方时，
旋转角度为∠DAG＝∠GAC－∠DAC＝90°－60°＝30°，
所以t＝30÷10＝3(秒)；
当AG在AC下方时，
旋转角度为360°－∠DAG＝360°－(∠GAC＋∠DAC)
＝360°－(90°＋60°)＝210°，
所以t＝210÷10＝21(秒)；
综上所述，t为3秒或21秒时AG⊥AC．(共50张PPT)
第七章　章末能力突破
一、选择题
1．[2025·永康市期末]如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度( )
A．AD B．BD
C．AE D．BC
2．[2025·虹口区期末]如图，要使得∠8与∠5互补，可以添加的条件是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3＝∠5
D．∠1＝∠2＝∠3
3．[2025·宿豫区三模]如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝68°，则∠AOE的度数是( )
A．34° B．146°
C．112° D．68°
4．[2025·郑州期末]数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是( )
A．∠A＝∠3 B．∠A＋∠C＝180°
C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠C
5．[2025·东阳市期末]如图，直线a∥b，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是( )
A．x－y 　　 B．x＋y
C．2x－y 　　 D．x＋2y
6．[2025·郑州期末]如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，过点F作FG⊥EH于点G，且FE平分∠AFG，∠AFG＝2∠D．有下列结论：①∠D＝30°　②FD平分∠HFB　③∠AFE＋∠BFD＝∠E.其中正确的结论为( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．①②③
解析：由条件可知∠FGH＝∠FGE＝90°，
因为FD∥EH，
所以∠DFG＝180°－∠FGH＝90°，
所以∠AFG＋∠BFD＝90°.
因为AB∥CD，所以∠BFD＝∠D，
由条件可知3∠D＝90°，
所以∠D＝30°，故①正确；
因为∠D＝30°，
所以∠BFD＝30°，∠AFG＝60°.
因为FE平分∠AFG，
所以∠EFG＝∠AFE＝∠AFG＝30°.
若FD平分∠HFB，则∠HFD＝ ∠BFD＝30°，
所以∠GFH＝90°－∠HFD＝60°，
所以∠EFH＝∠EFG＋∠GFH＝30°＋60°＝90°，
显然，无法得知∠EFH＝90°，故无法确定FD是否平分∠HFB，故②错误；
由条件可知∠E＝60°，因为∠AFE＝30°，∠BFD＝30°，
所以∠AFE＋∠BFD＝∠E＝60°，故③正确；
综上，正确的结论为①③.
二、填空题
7．[2025·永康市期末]如图，在一束平行光线中插入一张对
边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的∠1为80°，那
么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为___°.
80
8．[2025·松江区期末]直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝110°，
那么直线AB，CD的夹角为____________．
70°或110°
9．[2025·渭城区期末]如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO
⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠COE＝20°，则∠BOF的度
数为_____．
35°
10．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当
∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____
______________，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行(写出所
有可能情况)．
15°
或60°或150°
解析：有三种情形：①如图1中，当AD∥BE时，
延长BE交AC于点F，
因为AD∥BE，所以∠BFC＝∠A＝30°，
所以∠ACE＝180°－∠CEF－∠EFC
＝∠CEB－∠EFC＝45°－30°＝15°；
②如图2中，当AD∥BC时，延长CE交AD于点G，
因为AD∥BC，
所以∠AGC＝∠BCE＝90°，
所以∠ACE＝90°－∠A＝60°；
③如图3中，当AD∥CE时，
因为AD∥CE，所以∠ACE＝180°－∠A＝150°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15°或60°或150°.
11．[2025·宁波期末]一副三角板按如图所示摆放，a∥b，
∠3＝65°，∠2＝30°，则∠1的度数为_____．
20°
12．[2025·长春二模]如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在
AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都
落在点P处，若∠EFB＋∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为______．
128°
三、解答题
13．[2025·滨海新区期中]如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，EO⊥FO于O，若∠BOE＝20°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求∠COF的度数．
解：(1)因为OE是∠BOD的平分线，
所以∠DOE＝∠BOE＝ ∠BOD．
因为∠BOE＝20°，所以∠BOD＝40°，
所以∠AOC＝40°；
(2)因为EO⊥FO于O，
所以∠EOF＝90°.
因为∠BOE＝20°，
所以∠AOF＝180°－90°－20°＝70°，
所以∠COF＝70°＋40°＝110°.
14．[2024·响水县期末]已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O.
(1)如图1，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(2)如图2，若∠CON＝ ∠EON(∠EON＜180°)，∠MON＝80°，
求∠BON的度数．
15．[2024·项城市期末]已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD．
证明：因为GH⊥CD，
所以∠CHG＝90°.
又因为∠2＝30°，
所以∠3＝60°，
所以∠4＝60°.
又因为∠1＝60°，
所以∠1＝∠4，
所以AB∥CD．
16．[2025·包河区期末]如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°.
(1)AD与EC有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝72°，求∠FAB的度数．
解：(1)AD与EC平行，理由如下：
由条件可知AB∥CD，
所以∠2＝∠ADC，
所以∠ADC＋∠3＝180°，
所以AD∥CE；
(2)因为∠1＝∠BDC，∠1＝72°，
所以∠BDC＝72°.
由条件可知∠ADC＝ ∠BDC＝36°.
因为∠2＝∠ADC，所以∠2＝36°.
因为DA⊥FA，所以∠FAD＝90°，
所以∠FAB＝90°－∠2＝54°.
17．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从
点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过
程中，始终有过点A的射线AD∥BC．
(1)在动点A运动的过程中，___(填“是”或“否”)存在某一时
刻，使得AD平分∠EAC；
(2)若存在AD平分∠EAC，在此情形下，
证明∠B＝∠ACB；
(3)当AC⊥BC时，计算出∠BAC的度数？
是
解：(1)是；
(2)证明：因为AD平分∠EAC，
所以∠EAD＝∠CAD，
因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
所以∠B＝∠ACB；
(3)因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
因为∠EBF＝50°，所以∠BAC＝40°.
18.[发散性思维]课堂上老师呈现一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD(如图1)；
思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N.
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数.
解答下列问题：
(1)根据思路一(图1)，可求得∠EFG的度数为______；
(2)根据思路二、思路三分别在图2和图3中作出符合要求的辅助
线；
(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的
度数的解答过程．
120°
解：(1)如图1，过F作MN∥CD，
因为MN∥CD，∠1＝30°，
所以∠2＝∠1＝30°.
因为AB∥CD，所以AB∥MN.
因为AB⊥EF，
所以∠3＝∠4＝90°，
所以∠EFG＝∠3＋∠2＝90°＋30°＝120°.
故答案为：120°；
(2)由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
(3)若选择思路二，理由如下：
如图2，过P作PN∥EF，
因为PN∥EF，EF⊥AB，
所以∠ONP＝∠EOB＝90°.
因为AB∥CD，
所以∠NPD＝∠ONP＝90°.
又因为∠1＝30°，
所以∠NPG＝90°＋30°＝120°.
因为PN∥EF，
所以∠EFG＝∠NPG＝120°；
若选择思路三，理由如下：
如图3，过O作ON∥FG，
因为ON∥FG，∠1＝30°，
所以∠PNO＝∠1＝30°.
因为AB∥CD，所以∠BON＝∠PNO＝30°.
又因为EF⊥AB，
所以∠EON＝∠EOB＋∠BON＝90°＋30°＝120°.
因为ON∥FG，所以∠EFG＝∠EON＝120°.
19.[综合与实践探究题][2025·广东期中]
【探索发现】
(1)已知：如图1，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD；
【深入思考】
(2)某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图2所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
(3)如图3，在(2)的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
解：(1)证明：过P作PQ∥AB，
所以∠QPA＝∠BAP＝40°.
因为∠APC＝75°，
所以∠CPQ＝∠APC－∠APQ＝35°.
因为∠DCP＝35°，所以∠CPQ＝∠DCP，
所以PQ∥CD，
又因为PQ∥AB，所以AB∥CD；
(2)灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN所用时间为180÷3＝60秒，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ所用时间为180÷2＝90秒，
设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，
当0＜t≤60时，设AM′与PQ交于M′，如图，
因为PQ∥MN，
所以∠PM′A＝∠MAM′＝(3t)°.
因为AM′∥BP′，
所以∠PM′A＝∠PBP′＝2(t＋10)°，
所以3t＝2(t＋10)，解得t＝20；
当60＜t≤90－10，即60＜t≤80时，设AM′
与PQ交于M′，如图，
因为PQ∥MN，所以∠PM′A＝∠MAM′
＝180°×2－3t＝(360－3t)°.
因为AM′∥BP′，
所以∠PBP′＝∠PM′A，
所以∠MAM′＝∠PBP′＝2(t＋10)°，
所以360－3t＝2(t＋10)，解得t＝68；
综上，当灯A转动20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；
(3)因为灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，
所以∠PBC＝(2t)°，∠MAC＝(3t)°.
因为PQ∥MN，
所以∠PBA＝∠MAB＝135°，
所以∠BAC＝∠MAC－∠MAB＝(3t－135)°，
∠ABC＝∠PBA－∠PBC＝(135－2t)°，
所以∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－(3t－135)°－(135－2t)°＝(180－t)°.
因为∠ACD＝135°，
所以∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝(t－45)°.
又因为∠BAC＝(3t－135)°＝3(t－45)°，
所以∠BAC＝3∠BCD．(共43张PPT)
第七章综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[2025·清远一模]如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中∠α和∠β具有互余关系的位置是( )
2.[实践探究题][2025·武安市期中]要测量一个古城墙墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是( )
A．Ⅰ、Ⅱ都可行
B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
3．[2024·开封期末]如图，点P1，P2，P3是小刚立定跳远测试中三次成绩的标记，则他最好的成绩是( )
A．线段BP2的长度
B．线段BP1的长度
C．线段AP2的长度
D．线段AP3的长度
4．下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线　②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线　③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行　④如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么它与另一条直线也互相平行
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5.[新定义][2024·徐水区期末]在相交线与平行线这一章节
中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新
定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，
就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB，
CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度
数为( )
A．30° B．60°
C．150° D．30°或150°
6．[2024·衡阳期末]如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G.下列条件中，不能判定AB∥CD的是( )
A．∠2＝∠3
B．∠1＝∠3
C．∠4＋∠5＝180°
D．∠4＝∠2＋∠3
7．[2025·青秀区期末]如图1是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是( )
A．97° B．105°
C．108° D．111°
8．[2024·邵阳期末]将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2＝30°，则AC∥DE　②若BC∥AD，则∠2＝45°　③∠BAE＋∠CAD＝180°　④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
9．[2024·汕头模拟]如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝( )
A．58° B．68°
C．32° D．22°
10．[2025·平舆县期中]如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是( )
A．∠1＋∠2＋∠3＝180°
B．∠1＋∠2＝180°＋∠3
C．∠1＋∠3＝180°＋∠2
D．∠2＋∠3＝180°＋∠1
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．[2024·东海县期末]如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF
垂直于OD且平分∠AOE，若∠BOD＝30°，则∠DOE的度数是_____．
30°
12．[2024·恩施期末]钟表上的时间是5时40分，此时时针与分
针所成夹角的补角是______．
110°
13．[2025·房山区期末]将一副三角板按如图所示(共顶点A)叠
放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝
45°.若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置(其中A点位置始
终不变)，当∠BAD＝__________时，DE∥AB．
30或150°
14．[2025·丹阳市期末]如图将一张四边形纸片沿EF折叠，下
列条件中①∠2＝∠4　②∠2＋∠3＝180°　③∠1＝∠6　
④∠4＝∠5.其中能得出AD∥BC的条件是_________．(填序号)
①②③④
15．如图所示的八个角中，同位角有__对，内错角有__对，同
旁内角有__对．
3
4
4
16．[2025·崇明区期末]将含有30°的直角三角板在两条平行
线中按如图摆放，若∠2＝110°，则∠1的度数是______．
140°
17．如图，已知直线AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关
系是________________________．
∠β＋∠γ－∠α＝180°
18．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝
90°，则∠BFD＝_____．
45°
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
(1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近
的车站，请在公路l上画出车站的位置(用点M表示)，依据是_____
_______________________________________________；
(2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q
的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置(用点N表示)，依
据是_________________．
直线
外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
两点之间线段最短
解：(1)如图，点M即为所示．依据是直线外一点
与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有
线段中，垂线段最短；
(2)如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
20．(6分)[2025·珠海期末]如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O.
(1)若∠BOC＝130°，求∠DOE的度数；
(2)若∠AOC∶∠DOE＝3∶2，求∠BOC的度数．
解：(1)由题意得∠AOE＝90°，
因为∠BOC＝130°，所以∠AOD＝∠BOC＝130°，
所以∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝130°－90°＝40°；
(2)设∠DOE＝2x，则∠AOC＝3x，
因为∠AOE＋∠AOC＋∠DOE＝180°，所以90°＋2x＋3x＝180°，
所以x＝18°，所以∠AOC＝54°，
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－54°＝126°.
21．(8分)[2025·沛县期末]如图1，将一副三角尺拼在一起，使得AC与AE重合．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°.在△ADE中，∠ADE＝90°，∠AED＝45°.如图2，将△ADE绕点A按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，旋转时间为t秒(0≤t≤9)．
(1)在图1中，∠BAD＝___°；
(2)随着△ADE的旋转，∠CAD与∠BAD之间的数量关系为________
____________；
(3)当t为何值时，直线DE与△ABC的一条边平行？
15
∠BAD＋
30°＝∠CAD
解：(1)15；
(2)当AE在△ABC内部时，如图1，
因为∠BAD＝∠CAD－∠BAC＝∠CAD－30°，
所以∠BAD＋30°＝∠CAD；
当AE在△ABC外部时，如图2，所以∠BAD＋30°＝∠CAD；
综上所述，∠CAD与∠BAD之间的数量关系为
∠BAD＋30°＝∠CAD，
故答案为：∠BAD＋30°＝∠CAD；
(3)由题意得∠CAE＝15t°(0≤t≤9)，
①当DE∥AC时，如图3，
所以∠DEA＝∠CAE＝45°＝15t°，
解得t＝3；
②当DE∥AB时，如图4，所以∠DEA＝∠BAE＝45°，
所以∠CAE＝∠BAE＋∠BAC＝75°＝15t°，解得t＝5；
③当DE∥BC时，如图5：
所以D，A，C三点在同一直线上，
所以∠CAE＝180°－∠DAE＝135°＝15t°，
解得t＝9；
综上所述，当DE与△ABC的一边平行时，
t＝3或5或9.
22．(8分)[2024·乐陵期末]已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)求证：BD∥CE；
(2)若∠A＝40°，求∠F的值．
解：(1)证明：如图，
因为∠1＝∠2，∠1＝∠5，
所以∠2＝∠5，所以BD∥CE；
(2)因为BD∥CE，
所以∠3＋∠C＝180°，
因为∠3＝∠4，
所以∠4＋∠C＝180°，
所以DF∥AC，所以∠F＝∠A＝40°.
23．(8分)如图，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠MON＝45°，点P在射线OM上，直线PQ⊥OB，垂足为点Q.设∠BOC＝x°.
(1)请用含x的式子表示∠MOB的大小；
(2)求证PQ∥AO；
(3)设直线PQ与射线OC交于点D，若∠PDO＝40°，求∠OPD的度数．
(3)由(2)得∠OQD＝90°，所以∠PDO＋∠BOC＝90°.
又因为∠PDO＝40°，所以∠BOC＝90°－∠PDO＝50°.
因为ON平分∠BOC，所以∠BON＝∠CON＝ ∠BOC＝25°.
因为∠MON＝45°，即∠MOB＋∠BON＝45°，
所以∠MOB＝45°－∠BON＝20°.
由(2)得∠OQP＝90°，所以∠OPD＋∠MOB＝90°，
所以∠OPD＝90°－∠MOB＝70°.
24．(10分)[2025·荣昌区期末]已知AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的动点，EM⊥FM，垂足为点M，∠BEM和∠CFM的角平分线EN，FN交于点N，∠BEN＝α.
(1)如图1，当点E在直线AB上移动到某处，测得α＝10°.求∠CFN的度数；
(2)如图2，点E在AB上移动过程中，若α＝2∠CFN.求α的度数；
(3)如图3，当点M在直线CD上方时，∠MFD的角平分线的反向延长线交EN于点N，请直接写出∠CFN的度数(用含α的式子表示)．
解：(1)如图1，作MH∥AB，
因为EN平分∠BEM，FN平分∠CFM，
所以∠BEM＝2∠BEN＝2α＝20°，∠CFM＝2∠CFN.
因为HM∥AB，所以∠BEM＝∠HME＝20°.
因为HM∥AB，CD∥AB，所以CD∥HM，
所以∠CFM＝∠HMF.
因为EM⊥FM，所以∠HMF＋∠HME＝90°，
所以2∠CFN＋20°＝90°，
所以∠CFN＝35°；
(2)如图2，作MH∥AB，
因为EN平分∠BEM，FN平分∠CFM.
所以∠BEM＝2∠BEN＝2α，∠CFM＝2∠CFN.
因为α＝2∠CFN，所以∠CFM＝α.
因为AB∥CD∥HM，
所以∠BEM＝∠HME＝2α，∠CFM＝∠HMF＝α，
所以∠HME＋∠HMF＝2α＋α＝90°，
所以α＝30°；
(3)如图3，作MH∥AB，则AB∥CD∥HM，
同上可得∠BEM＝2∠BEN＝2α，
∠DFM＝2∠DFG＝2∠CFN，
因为AB∥CD∥HM，
所以∠HMF＝∠DFM＝2∠CFN，
∠BEM＋∠HMA＝∠BEM＋∠EMF＋∠HMF＝180°，
所以2α＋90°＋2∠CFN＝180°，
所以∠CFN＝45°－α.(共26张PPT)
第2课时　平行线性质与
判定的综合应用
1．[2025·武汉模拟]如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝53°，要使AM与CB平行，则∠MAC的度数是( )
A．53° B．60°
C．67° D．113°
2．将一副三角板按如图放置，①如果∠2＝30°，那么AC∥DE
　②∠BAE＋∠CAD＝180°　③如果BC∥AD，那么∠2＝30°　
④如果∠CAD＝150°，那么∠4＝∠C．则结论正确的是( )
A．①②③
B．①②③④
C．①③④
D．①②④
3．[2025·沭阳县期末]一副直角三角尺叠放如图1所示，现将
45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺
时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互
相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE.则∠CAE其余符合
条件的度数为___________________．
60°或105°或135°
解析：如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°－30°＝60°；
如图，当DE∥AB(或AD∥BC)时，∠CAE＝45°＋60°＝105°；
当DE∥AC时，如图，∠CAE＝45°＋90°＝135°.
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE
(0°＜∠CAE＜180°)其他所有可能符合条件的度数为60°
或105°或135°.
4．[2025·思明区模拟]某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简
笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD
＝___°.
19
5．[2025·电白区期中]图1是男子竞技体操项目双杠的静止动
作，图2是其俯视示意图，已知，若AB与BC的夹角为105°，
∠1＝55°，则∠2的度数为______．
130°
6．[2025·延庆区期中]如图，∠EDB＋∠DBC＝180°，BE⊥AC于点E，MN⊥AC于点N.
求证：∠1＝∠2.
证明：因为∠EDB＋∠DBC＝180°，
所以DE∥BC，
所以∠EBC＝∠2，
因为BE⊥AC，MN⊥AC，
所以∠BEC＝∠MNC＝90°，
所以BE∥MN，
所以∠1＝∠EBC，
所以∠1＝∠2.
7．[2025·荆州期中]在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知AD∥BC，∠CDF＝∠AFD，试探究∠ADF，∠C与∠DFE之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作FG∥AD即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程；
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台DE平行．若∠1＝35°，∠2＝65°，求∠3的度数．
解：(1)∠DFE＝∠ADF＋∠C，理由如下：
如图1，过点F作FG∥AD，
又因为AD∥BC，所以AD∥FG∥BC，
所以∠ADF＝∠DFG，∠AEB＝∠EFG，
因为∠CDF＝∠AFD，所以AE∥CD，
所以∠AEB＝∠C，
因为∠DFE＝∠DFG＋∠EFG，
所以∠DFE＝∠ADF＋∠C；
(2)如图2，∠1，∠2，∠3的顶点分别为D，C，F，作CM∥AB，
所以AB∥CM∥DE，
所以∠3＋∠FCM＝180°，∠1＝∠MCD，
因为∠1＝35°，∠2＝∠FCM＋∠MCD＝65°，
所以∠FCM＝30°，
所以∠3＝150°.
8．[2025·榆次区期中]综合与探究
问题情境：
在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝60°，∠D＝45°，然后三角板ABC不动，三角板ADE绕点A旋转．
操作探究：
(1)图1中，若∠DAB＝45°，判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由；
(2)当三角板ADE绕点A旋转到图2的位置，DE∥BC，求∠DAC的度数；
深入思考：
(3)在三角板ADE绕点A旋转的过程中，当∠DAB为多少度时，DE∥AB？请直接写出∠DAB的度数．
解：(1)DE∥AC，理由如下：
因为∠DAB＝45°，∠BAC＝90°，
所以∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝135°，
又因为∠D＝45°，
所以∠D＋∠DAC＝180°，
所以DE∥AC；
(2)如图2，过点A作AM∥DE，
所以∠1＝∠D＝45°，
因为AM∥DE，DE∥BC，所以AM∥BC，
所以∠2＝∠C＝60°，
所以∠DAC＝∠1＋∠2＝105°；
(3)如图3，当∠DAB＝135°时，DE∥AB，理由如下：
因为∠DAB＝135°，∠DAE＝90°，
所以∠EAB＝45°，
因为∠E＝45°，所以∠EAB＝∠E，
所以DE∥AB；
如图4，当∠DAB＝45°时，DE∥AB，理由如下：
因为∠D＝45°，所以∠BAD＝∠D，
所以DE∥AB，
综上所述，当∠DAB为135°或45°时，DE∥AB．
9．[2025·利津县期中]【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°.
(1)当三角形ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数；
【深入探究】
(2)如图2，在(1)的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线MN向上平移，求∠3的度数；
【拓展应用】
(3)缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数．
解：(1)因为∠ACB＝90°，∠1＝47°，
所以∠ACQ＝180°－∠ACB－∠1＝43°.
因为MN∥PQ，所以∠2＝∠ACQ＝43°；
(2)过点B作BE∥PQ，
又因为MN∥PQ，所以BE∥MN，
所以∠CBE＝∠1＝47°.
又因为∠ABC＝60°，
所以∠ABE＝60°－∠CBE＝13°.
因为BE∥MN，
所以∠3＝180°－13°＝167°；
(3)因为∠BAC＝30°，且AC平分∠BAP，
所以∠1＝∠BAC＝30°.
作CF∥MN，
因为CF∥MN∥PQ，所以∠ACF＝∠1＝30°，
所以∠BCF＝90°－30°＝60°，
所以∠4＝∠BCF＝60°.

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