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(共19张PPT)
2　角
第1课时　角的认识
1．下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠α三种表示方法表示同一个角的是( )
2．[2024·威宁县期末]如图，当时钟指向上午9：10时，时针与分针较小的夹角是( )
A．130° B．135°
C．140° D．145°
3．[2025·青秀区三模]如图，货轮A在航行的过程中，发现灯塔B位于它的北偏东55°方向，则∠ABE的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
4．[2025·上杭县期中]如图，一艘船在A处遇险后向相距35海
里位于B处的救生船报警，用方向和距离描述救生船相对于遇险
船的位置是_______________________．
北偏东60°方向35海里处
5．45°57′18″＝_______°；
64°÷5＋12°25′×3＝___°__′__″.
45.955
50
3
0
6．[2025·莱西市期中]计算：
(1)180°－37°42′56″；
(2)25°36′×4.
解：(1)180°－37°42′56″
＝179°59′60″－37°42′56″
＝142°17′4″；
(2)25°36′×4
＝100°144′
＝102°24′.
7．[2025·临淄区期中](1)如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数；
(2)每经过1 h，时针转过多少度？每经过1 min，分针转过多少度？
(3)当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是多少度？
解：(1)巴黎时间时针与分针的夹角是
30°×1＝30°；
伦敦时间时针与分针的夹角是
30°×0＝0°；
北京时间时针与分针的夹角是
30°×4＝120°；
东京时间时针与分针的夹角是
30°×3＝90°；
(2)每经过1 h，时针转过
360°÷12＝30°，
每经过1 min，分针转过
360°÷60＝6°；
8.[培素养]如图，从点O引出的射线(任两条不共线)条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1，从点O引出3条射线共形成3个角；如图2，从点O引出4条射线共形成6个角；如图3，从点O引出5条射线共形成10个角．
(1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成___个角；
(2)探索发现：如图4，当从点O引出n条射线共形成_________个
角；(用含n的式子表示)
15
(3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛(参加比赛的每两支球
队之间都要进行一场比赛)，总的比赛场数为___场．如果n支篮
球队进行主客场制单循环赛(参加比赛的每个队都与其他所有队
各赛2场)，总的比赛场数是________场．
28
n(n－1)
解：(1)从点O引出3条射线共形成3个角，3＝1＋2；
从点O引出4条射线共形成6个角，6＝1＋2＋3；
从点O引出5条射线共形成10个角，
10＝1＋2＋3＋4；
从点O引出6条射线共形成的角的个数为
1＋2＋3＋4＋5＝15.
故答案为：15；(共16张PPT)
第2课时　比较线段的长短
1．[2024·道县期末]点M在线段AB上，给出下列四个条件，
其中不能判定点M是线段AB中点的是( )
A．AM＝BM
B．AB＝2AM
C．BM＝ AB
D．AM＋BM＝AB
2．[2025·江岸区期中]“樱”你奔跑，花漾江岸.2025年3月23日4万
名武汉马拉松跑者在樱花的陪伴下从江岸出发．某同学用剪刀沿直线
将一片平整的樱花叶减掉一部分(如图)，发现剩下的樱花叶的周长比
原樱花叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
3．[2025·莲池区模拟]已知线段AB＝16 cm，点C是直线AB上一点，BC＝2 cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )
A．8 cm
B．9 cm
C．7 cm或5 cm
D．7 cm或9 cm
4．[2024·黄冈期末]若线段AB＝12 cm，点C是线段AB的中点，
CD＝2 cm，则线段BD的长为_____cm.
8或4
5．[2024·驻马店期末]如图1，M，N两个村庄在一条公路l(不
计河的宽度)的两侧，现要建一公交站台，使它到M，N两个村
庄的距离之和最小，图2中所示的点P即为所求的公交站台的位
置，那么这样做的理由是___________________．
两点之间，线段最短
6.[培素养][2024·章贡区期末]数学课上，李老师给出了如下问题：
如图1，一条直线上有A，B，C三点，线段AB＝6 cm，点C为线段AB的
中点，已知点D在直线AB上，BD＝2 cm，请补全图形，并求CD的长度．
以下是小华的解答过程：
解：如图2，因为线段AB＝6 cm，点C为线段AB的中点，
所以BC＝① AB＝② cm.
因为BD＝2 cm，
所以CD＝BC－BD＝③ cm.
小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在点B的左边，事实上，点D还可以在点B的④ ．
完成以下问题：
(1)请完成以上的填空；
(2)根据小斌的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时CD的长度．
解：(1)如图2，因为线段AB＝6 cm，点C为线段AB的中点，
所以BC＝ AB＝3 cm.
因为BD＝2 cm，
所以CD＝BC－BD＝1 cm.
小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在
点B的左边，事实上，点D还可以在点B的右边，
故答案为： ，3，1，右边；
(2)如图3，此时CD＝CB＋BD＝3＋2＝5(cm)．
7．[2024·微山县期末]如图，点C在线段AB上，点D，E分别是AC，BC的中点．
(1)若AC＝16，CB＝10，求线段DE的长；
(2)在其他条件不变的前提下，若点C为线段AB上任意一点(不与点A，B重合)，且满足AC＋CB＝m，猜想线段DE的长．请直接写出结论，不必说明理由；
(3)若点C在线段AB的延长线上(不与点B重合)，且满足AC－BC＝n，点D，E分别是AC，BC的中点，猜想线段DE的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由．(共16张PPT)
3　多边形和圆的初步认识
1．下列多边形中，对角线是5条的多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形( )
A．4 B．5
C．6 D．7
3．过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则m＋n的值是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
4．面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
5．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是( )
A．15π B．10π
C．5π D．2.5π
6．一根绳子长10π m，用这根绳子在操场上围出一块地，则所
围地的最大面积是_____m2.
7．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边
数是___．
8．从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得
到2 025个三角形，则这个多边形的边数为______．
12
2 026
25π
9．若扇形所对的圆心角为120°，半径为10，则扇形的面积
为______．(保留π)
10．已知一个圆心角为36°的扇形面积为10π，则这个扇形
的半径是___．
10
11．如图，把一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形．
(1)求甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数；
(2)若圆的半径为1 cm，求扇形丁的面积．
13．探究归纳题：
(1)试验分析：如图1，经过一个顶点(如点A)可以作__条对角线，
它把四边形ABCD分为__个三角形；
(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得图2过一个顶点作所有
的对角线，把这个多边形分为__个三角形；图3过一个顶点作所
有的对角线，把这个多边形分为__个三角形；
1
2
3
4
(3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，过一个顶点的所有对角线把
这个n边形分为_______个三角形；(用含n的式子表示)
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为__个
三角形．
(n－2)
8
解：(1)如图1，经过一个顶点(如点A)可以作1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形；
故答案为：1，2；
(2)应用(1)的分析方法，可得图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为3个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为4个三角形；
故答案为：3，4；
(3)对于n边形(n＞3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n－2)个三角形．
故答案为：(n－2)；
(4)过一个顶点的所有对角线可把十边形分为8个三角形．
故答案为：8.(共45张PPT)
第五章综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[2024·环翠区期中]下列说法中，①射线AB的长度为1 000 m
②孙悟空飞了一条十万八千里的直线　③过点A，B可以画两条
不同的直线，分别是直线AB和直线BA　④射线AO的端点是A点．
其中正确的个数为( )
A．3 B．0
C．1 D．4
2．[2024·曹县期末]由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为( )
A．6种 B．15种
C．21种 D．28种
3．如图所示，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠1＝27°41′，则∠2的大小是( )
A．27°41′
B．57°41′
C．58°19′
D．32°19′
4．[2024·安定区期末]A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝4 cm，BC＝6 cm，那么线段AC的长为( )
A．2 cm
B．10 cm
C．2 cm或10 cm
D．以上答案都不对
5．已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
6．[2024·无锡期末]如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，射线OP从边OA出发，绕点O逆时针旋转直至与边OB重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是( )
A．OP平分∠AOC
B．OP平分∠AOB
C．OC平分∠BOP
D．OC平分∠AOP
7．[2024·会泽县期末]线段AB＝18 cm，点C在直线AB上，且AC
＝ BC，点M为BC的中点，则AM的长为( )
A．4.5 cm
B．11.25 cm
C．4.5 cm或11.25 cm
D．以上都不对
8．[2025·易门县一模]荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面(由扇形OAB挖去扇形OCD)，∠AOB＝108°，OC的长度是10 cm，OA的长度是30 cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是( )
A．160π cm2
B．240π cm2
C．360π cm2
D．480π cm2
9．[2024·西青区期末]如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠AOB＝150°，则∠EOD的度数为( )
A．55° B．60°
C．70° D．75°
10．如图1，若在∠AOB的内部以O为端点作一条射线OA1，得到3个角；如图2，若在∠AOB的内部以O为端点作两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点作n条射线，则图3中角的个数为( )
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边
形分成n个三角形，则m＋n＝__．
12．在同一平面内，∠AOB＝25°，∠AOC＝40°，则∠BOC＝
___________．
13．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三
条直线，平面内的不同6个点最多可确定___条直线．
7
15°或65°
15
14．[2024·长安区期中]如图，已知点C为线段AB上一点，AC
＝12 cm，CB＝8 cm，点D，E分别是AC，AB的中点，则AD＝__cm，
DE＝__cm.
15．[2024·南靖县期中]时钟上从3：10开始至少经过___分钟
后分针与时针的夹角为75°.
6
4
20
16．[2024·荔城区期末]如图，OB是北偏西30°方向的一条射
线，若射线OB与射线OA所夹的角是90°，则OA的方向角是_____
_______．
南偏
西60°
17．[2024·福田区期末]综合实践课上，小明把两个三角尺按
图所示那样放置在一起，若此时∠BOD＝ ∠COD，则∠AOD＝
______．
120°
18．[2024·于都县期末]如图，点A，B，C在直线l上，已知A，
B两点间的距离为24个单位长度，点C位于A，B两点之间，且到
点A的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，
沿直线l向右运动，点P的速度是3个单位长度/s，点Q的速度是
1个单位长度/s，设运动时间为t s，在运动过程中，当点P，Q，
C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满
足条件的t值为___________．
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图，已知三点A，B，C．
(1)请读下列语句，并分别画出图形．
①画直线AB；②画射线AC；③连接BC．
(2)在(1)的条件下，图中共有__条射线．
(3)从点C到点B的最短路径是___，依据是___________________．
6
CB
两点之间，线段最短
解：(1)如图所示：直线AB、射线AC、线段BC即为所求．
(2)图中共有3＋2＋1＝6条射线．
(3)最短路径是CB，依据：两点之间，线段最短．
故答案为：6；CB，两点之间，线段最短．
20．(6分)[2025·新泰市期中]将如图所示的一个圆分割成三个扇形，这三个扇形的圆心角的度数比为∠AOB∶∠BOC∶∠AOC＝2∶3∶4.
(1)求这三个扇形的圆心角的度数；
(2)若圆的半径为2 cm，请分别求出这三个扇
形的面积(结果保留π)．
21．(8分)[2024·金寨县期末]如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC∶CB＝1∶4，AC＝12 cm.
(1)求AB的长；
(2)若F为CB的中点，求EF长．
解：如图所示：
(1)设EC的长为x，
因为EC∶CB＝1∶4，所以BC＝4x，
又因为BE＝BC＋CE，所以BE＝5x，
又因为E为线段AB的中点，所以AE＝BE＝ AB，所以AE＝5x，
又因为AC＝AE＋EC，AC＝12 cm，所以6x＝12，解得x＝2，
所以AB＝10x＝20 cm；
(2)因为F为线段CB的中点，所以CF＝ BC＝2x，
又因为EF＝EC＋CF，所以EF＝3x＝6 cm.
22．(8分)[2024·广陵区期末]如图，将一副直角三角板的直
角顶点C叠放在一起．
(1)如图1，若∠DCE＝33°，则∠BCD＝_____，∠ACB＝______；
(2)如图1，猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由；
57°
147°
(3)如图2，若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在
一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为____________________．
∠DAB＝120°－∠CAE
解：(1)由题意得∠ACD＝∠BCE＝90°，
因为∠DCE＝33°，
所以∠BCD＝∠BCE－∠DCE＝57°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°＋57°＝147°，
故答案为：57°，147°；
(2)∠ACB＝180°－∠DCE，理由如下：
因为∠ACD＝90°，∠BCD＝90°－∠DCE，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠BCD
＝90°＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE；
(3)∠DAB＝120°－∠CAE，理由如下：
因为∠DAC＝60°，∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝60°－∠CAE，
所以∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝60°＋60°－∠CAE
＝120°－∠CAE.
故答案为：∠DAB＝120°－∠CAE.
23．(8分)如图，点O在直线AD上，∠EOC＝90°，∠DOB＝90°.
(1)若∠EOD＝50°；
①求∠AOC的度数；
②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(2)将∠EOC绕O点顺时针旋转一圈，设∠EOD为α(0°＜α＜180°)；
①当α为何值时，∠BOC为60°.
②当α为何值时，射线OC平分∠BOD．
解：(1)①因为∠EOD＝50°，∠EOC＝90°，
所以∠DOC＝90°－50°＝40°，
所以∠AOC＝180°－40°＝140°；
②因为∠DOC＝40°，∠DOB＝90°，
所以∠BOC＝50°，
又因为ON平分∠BOC，
所以∠BON＝∠CON＝25°，
又因为OM平分∠AOC，所以∠AOM＝∠COM＝70°，
因为∠MON＝∠COM－∠CON，所以∠MON＝70°－25°＝45°；
(2)将∠EOC绕O点旋转一圈后，∠EOC与原来的重合．
①因为∠EOC＝90°，∠DOB＝90°，所以∠EOD＝∠BOC，
又因为∠EOD为α(0°＜α＜180°)，所以当α＝60°时，∠BOC为60°；
②因为直线OC平分∠BOD，∠DOB＝90°，所以∠BOC＝45°，
又因为∠EOD＝∠BOC，所以当α＝45°时，射线OC平分∠BOD．
24．(10分)小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究．
【问题提出】
①如图1，已知点C在线段AB上，取AC的中点M，BC的中点N，AB
＝12，则MN是__；
②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图2，已
知∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数
为_____；
6
60°
【变式提升】
①如图3，已知点C，D在线段AB上，点C在点D的左边；取AC的
中点M，BD的中点N，AB＝a，CD＝b，则MN的长为______(用含
a，b的代数式表达)；
②如图4，已知∠AOB＝α，∠COD＝β，OM平分∠AOC，ON平分
∠BOD，则∠MON的度数为________；
【拓展延伸】
①小明继续探究，如图5，已知点C，D在线段AB上，点C在点D的右边，取AC的中点M，BD的中点N，AB＝a，CD＝b，求MN的长(写出求解推导的过程，用含a，b的代数式表达)；
②如图6，已知∠AOB＝α，∠COD＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数(写出求解推导的过程，用含α，β的代数式表达)．(共13张PPT)
第3课时　用尺规作角
1．[2024·化州市期末]如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
2．[2025·天津]如图，CD是∠ACB的平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F　②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G　③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H　④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N，则下列结论一定正确的是( )
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC
C．CM＝AD D．BM＝BD
3．[2024·九台区期末]如图，第一步以点O为圆心，以任意长
为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，第二步以点E为圆心，
以线段EF的长为半径画弧②，过两弧的交点作射线OC，若∠AOB
＝36°，则∠BOC的度数为___度．
72
4．[2024·新城区期末]如图，P为∠AOB的边OB上的一点，请
用尺规作图法，过点P作∠CPB，使得∠CPB＝∠AOB，且点C在
∠AOB内．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，∠CPB即为所求作．
5．尺规作图：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α－∠β.(不写作法，但要保留作图痕迹)
解：如图，∠ABC为所求作．
6．已知∠O，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍．
解：如图，∠CO′D即为所求作．
7.[培素养][2024·宝山区期末]如图，已知点O在直线AB上，
∠COD＝90°.
(1)用直尺和圆规，在∠COD的内部作∠COE，使∠COE＝∠BOD；
(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，若∠AOC比∠BOD大20°，
则∠DOE＝_____．
55°
解：(1)如图，∠COE即为所求作；
(2)因为∠COD＝90°，所以∠AOC＋∠BOD＝90°，
因为∠AOC－∠BOD＝20°，
所以∠AOC＝55°，∠BOD＝35°，
因为∠EOC＝∠BOD＝35°，
所以∠EOD＝90°－35°＝55°.
故答案为：55°.(共46张PPT)
第2课时　角的比较
1．[2025·济宁二模]如图，若∠1与∠2分别经过格点A，B，C，D，E，F，则∠1与∠2的大小关系为( )
A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＞∠2 D．无法比较
2．[2025·顺义区二模]如图，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，则∠BOC的大小为( )
A．20° B．30°
C．40° D．60°
3．如图，射线OB，OC分别在∠AOD，∠BOD的内部，且射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD．若∠MON＝α，∠BOC＝β，则∠AOD＝( )
A．2α B．2α－β
C．α＋β D．α－β
4．[2024·广州期末]如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是( )
A．18° B．30°
C．36° D．20°
解析：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
因为DG平分∠ADB，所以∠BDG＝∠GDF，所以∠EDF＝∠BDG，
所以∠BDE＝∠EDF＋∠GDF＋∠BDG＝3∠GDF，
所以∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF＋∠BDG＝2∠GDF，
因为∠BDC＋∠BDA＝90°＝3∠GDF＋2∠GDF＝5∠GDF，
所以∠GDF＝18°，所以∠EDF＝∠GDF＝18°.
5．[2024·潼关县期末]已知∠A＝22°45′，∠B＝22.5°，∠C＝22°30′45″，则∠A，∠B，∠C的大小关系为( )
A．∠A＞∠C＞∠B B．∠A＞∠B＞∠C
C．∠B＞∠A＞∠C D．∠B＞∠C＞∠A
6．[2025·浦东新区模拟]如图所示的网格是正方形网格，点A，
B，C，D，O均在格点(网格线交点)上，那么∠AOC___(填“＞”
“＜”或“＝”)∠BOD．
＜
7．[2024·宝应县期末]已知∠A＝78°54′，∠B＝78.9°，请
你比较大小：∠A___(填“＞”“＜”或“＝”)∠B．
＝
8．[2024·河津市期末]将一个三角板60°角的顶点与另一个三
角板的直角顶点重合，∠1＝25°，∠2的大小是_____．
55°
9．[2024·雁塔区期末]如图，∠AOB与∠COD都是直角，OE平分
∠AOD，若∠BOD＝26°，则∠COE＝_____．
58°
10．[2024·兴国县期末]射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互
不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
则∠COD的度数为___________________．
120°或100°或20°
解析：(1)当∠AOD在∠AOB外部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，
因为∠AOB＝60°，
∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
所以∠COD＝∠BOC＋∠AOB＋∠AOD＝120°；
②如图，当∠BOC在∠AOB内部时，
因为∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝50°，
所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝100°；
(2)当∠AOD在∠AOB内部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，
因为∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝10°，
所以∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝20°；
②当∠BOC在∠AOB内部时，
此时，射线OC与OD重合，不合题意．
综上，∠COD＝120°或100°或20°.
11．数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
(1)小丹画的∠AOC的度数是_____；
(2)射线OC是∠AOB的平分线的依据是_______________．
75°
角平分线的定义
解：(1)因为由图1可知∠AOB＝60°＋90°＝150°，
图2可知∠BOC＝30°＋45°＝75°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝150°－75°＝75°.
故答案为：75°；
(2)由(1)可知∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的定义可知射线OC
是∠AOB的平分线．
故答案为：角平分线的定义．
12．[2024·盖州市期末]点O，E分别是长方形纸片ABCD边AB，
AD上的点，沿OE，OC翻折，点A落在点A′处，点B落在点B′处．
(1)如图1，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE的度数；
(2)如图2，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，求∠A′OB′的度数；
(3)当点A′，B′落在∠COE的内部时，若∠COE＝α，求∠A′OB′的度数(用含α的代数式表示)．
解：(1)由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，
所以∠AOE＋∠A′OE＋∠BOC＋∠B′OC＝180°，
所以∠A′OE＋∠B′OC＝90°，
所以∠COE＝∠A′OE＋∠B′OC＝90°；
(2)由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，
因为∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，
所以∠A′OE＋∠B′OC＝∠AOE＋∠BOC＝100°，
∠COE＝180°－(∠AOE＋∠BOC)＝80°，
∠A′OB′＝∠A′OE＋∠B′OC－∠COE＝20°；
(3)因为∠COE＝α，
所以∠AOE＋∠BOC＝180°－∠COE＝180°－α，
由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC．
①如图2，当点B′在∠A′OE内部时，
因为∠A′OB′＝∠A′OE＋∠B′OC－∠COE，
所以∠A′OB′＝(180°－α)－α＝180°－2α；
②如图3，当点B′在∠A′OE外部时，
因为∠A′OB′＝∠COE－(∠A′OE＋∠B′OC)，
所以∠A′OB′＝α－(180°－α)＝2α－180°.
综上，∠A′OB′的度数为180°－2α或2α－180°.
13.[培素养][2025·郑州期中]综合与实践
【特例感知】
(1)如图，已知线段AB＝14 cm，点C为线段AB上的一个动点，
点D，E分别是AC和BC的中点．若AC＝4 cm，则线段DE＝__cm；
7
【知识迁移】
(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图1，若∠AOB＝
120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线
ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
【拓展探究】
(3)已知∠COD在∠AOB内部的位置如图2所示，∠AOB＝α
(α<180°)，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝
2∠BON，请直接写出∠MON＝________°.(用含α的式子表示)
【综合提升】
(4)如图3所示，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，射线OE，OF分
别在∠AOC和∠BOD的内部且∠EOC＝ ∠AOC，∠DOF＝ ∠BOD，
请直接写出∠EOF＝___°.
80
14．[2024·烟台期末]如图1，把一副三角板拼在一起，边OA，OC放在直线EF上，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°.
(1)求图1中∠BOD的度数；
(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在直线EF上方，设∠EOA＝α.
①若OB平分∠EOD，求α的值；
②若∠AOE＝4∠BOD，求α的值．
解：(1)因为∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
所以∠BOD＝180°－∠AOB－∠COD＝75°；
(2)①因为∠COD＝60°，
所以∠EOD＝180°－60°＝120°，
当OB平分∠EOD时，∠EOB＝ ∠EOD＝60°，
因为∠AOB＝45°，
所以∠EOA＝60°－45°＝15°，
所以α＝15°；
②当射线OB在∠EOD内部时，如图1，
因为∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠EOA＝α，
所以∠BOD＝180°－45°－60°－α＝75°－α，
因为∠AOE＝4∠BOD，
所以α＝4(75°－α)，
解得α＝60°；
15．[2024·沈阳期末]【问题发现】
如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
(1)①∠AOD与∠BOC的数量关系是_____________；
②∠AOC与∠BOD的数量关系是____________________；
∠AOD＝∠BOC
∠AOC＋∠BOD＝180°
【问题探究】
(2)若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由；
②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由；
【问题拓展】
(3)如图3，∠AOB＝∠COD＝α，绕点O逆时针转动∠COD，在转动过程中∠AOB和∠COD始终有重合的部分，直接写出转动过程中∠AOC与∠BOD的数量关系．
解：(1)①因为∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOD＝∠COD＋∠BOD，
即∠AOD＝∠BOC．
故答案为：∠AOD＝∠BOC；
②因为∠AOB＝∠COD＝90°，
∠AOB＋∠COD＋∠AOC＋∠BOD＝360°，
所以∠AOC＋∠BOD＝360°－∠AOB－∠COD＝180°，
故答案为：∠AOC＋∠BOD＝180°；
(2)①∠AOD＝∠BOC．理由：
因为∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOB－∠BOD＝∠COD－∠BOD，
即∠AOD＝∠BOC；
②∠AOC＋∠BOD＝180°.理由：
因为∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠BOD＋∠BOC＝90°，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋∠BOC，
所以∠AOC＋∠BOD＝90°＋∠BOC＋∠BOD＝180°；
(3)如图3所示，当OD在∠AOB内部时，
因为∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠BOD＝2α；
如图4所示，当OC在∠AOB内部时，
因为∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOB＋∠AOD
＝α＋∠COD－∠AOC＝2α－∠AOC，
所以∠AOC＋∠BOD＝2α；
综上所述，∠AOC＋∠BOD＝2α.(共17张PPT)
第五章 基本平面图形
5. 1　线段、射线、直线
第1课时　线段、射线、直线
1．[2024·城关区期末]兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有( )
A．25种
B．15种
C．30种
D．21种
2．[2025·招远市期中]如图，以点O为端点的射线有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
3．[2024·李沧区期末]同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是( )
A．12条
B．15条
C．30条
D．36条
4．[2025·金山区期中]数学知识来源于生活，也服务于生活．
某校要整齐地栽一行树，工人们只要确定了两端的树坑的位置，
就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_____
_____________．
5．[2024·江北区期末]如图，观察图形，图中共有__条射线．
两点
确定一条直线
6
6．平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，
则a＋b＝__．
4
7.[培素养][2025·郑州期末]用归纳策略解答问题：
如图，四条直线l1，l2，l3，l4，每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”．
问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程．
解：当有2条直线“两两相交”时，
有1个交点；
当有3条直线“两两相交”时，
有1＋2＝3(个)交点；
当有4条直线“两两相交”时，
有1＋2＋3＝6(个)交点；
……
8．阅读如表：
线段AB上的点数n (包括A，B两点) 图例 线段总条数N
3 3＝2＋1
4 6＝3＋2＋1
5 10＝4＋3＋2＋1
6 15＝5＋4＋3＋2＋1
7
解决下列问题：
(1)在表中的空白处分别画出图形，写出结果；
(2)猜测线段总条数N与线段上的点数n(包括线段的两个端点)
的关系是：__________；
(3)当n＝10时，计算N的值等于___；
45
(4)问题拓展：
①六年级(1)班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，
那么共握了____次手；
②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个
站点，需要制定m种票价，设计n种车票，则m和n的值分别为__．
A．7，14 B．8，16
C．15，30 D．28，56
990
D
解：(1)第一格：
第二格：
21＝6＋5＋4＋3＋2＋1；
(4)①45×(45－1)÷2＝990(次)，
故答案为：990；
②一共的站点：
6＋2＝8(个)，
m＝8×(8－1)÷2＝28，
n＝28×2＝56，
故选：D．(共30张PPT)
第五章　章末能力突破
一、选择题
1．[2024·深圳期中]如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是( )
A．75° B．70°
C．65° D．60°
2．[2025·沈阳期末]如图，已知∠AOB与∠EO′F，分别以点O和点O′
为圆心，以同样长为半径画弧，交OA，OB于点A′，B′，交O′E，
O′F于点E′，F′.以点B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧
A′B′于点H，作射线OH.下列结论不正确的是( )
A．∠EO′F＝ ∠AOB
B．∠AOB>∠EO′F
C．∠HOB＝∠EO′F
D．∠EO′F＋∠AOH＝∠AOB
3．[2025·立山区三模]高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做包含的数学道理是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．两条直线相交，只有一个交点
D．直线是向两个方向无限延伸的
4．如图，∠AOD＝120°，OC平分∠AOD，OB平分∠AOC，下列结论：
①∠AOC＝∠COD ②∠COD＝2∠BOC
③∠AOB与∠COD可以拼成一个直角
④∠AOC与∠AOD可以拼成一个平角．
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．[2025·莱阳市期中]将10.31°化为度、分、秒的形式
为( )
A．10°3′1″
B．10°18′6″
C．10°18′36″
D．10°30′1″
二、填空题
6．[2025·长春期中]若一个多边形的对角线条数恰好为边数
的3倍，则这个多边形的边数为__．
7．[2025·仪征市一模]扇形的圆心角为120°，半径为4，则
扇形的面积为____．
9
8．[2025·榕城区一模]如图，∠O＝35°，观察尺规作图的痕
迹，∠ABC的度数为_____．
70°
9．[2025·广饶县期中]已知，A，B，C三点在同一直线上，若
AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么AC的长度是___________．
2 cm或8 cm
10．[2024·路北区期末]如图，OA＝16 cm，点P是线段OA上任
意一点(不与点B，C重合)，点B，C分别是OP，AP的中点．
(1)BC＝__cm；
(2)若OB∶AC＝1∶3，则OP＝__cm.
8
4
三、解答题
11．如图，教室里挂的时钟，时针、分针、秒针
均按时匀速转动，分别用OB，OA，OC来表示．
(1)4点整，时针与分针的夹角∠AOB＝____度；
(2)秒针每秒转动__度；
120
6
(3)从4点整开始，若秒针OC从12的位置上开始转动，
①经过10秒后，求秒针OC与分针OA的夹角∠AOC的度数；
②经过多长时间，OC第一次平分∠AOB？(精确到0.01秒)
解：(1)4点整，时针与分针的夹角∠AOB＝120度；
故答案为：120；
(2)秒针每秒转动6度；
故答案为：6；
12．[2025·烟台期末]已知点C在线段AB上，M，N分别是线段AC和BC上的点．
7.5
13．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
(1)如图1，当OC在∠AOB的内部时，∠DOE＝_____；
(2)如图2，当OC在∠AOB的外部时，求∠DOE的度数．
45°
14.[综合与实践][2024·郯城县期末]【特例感知】
(1)如图1，线段MN＝40 cm，AB＝4 cm，C，D分别是AM，BN的
中点，则CD＝___cm；
22
【知识迁移】
(2)我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知∠AOB在∠MON的内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON.
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD，∠MON之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【类比探究】
(3)如图3，∠AOB在∠MON的内部转动，射线OC，OD分别在∠AOM，∠BON内部，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，求∠COD的度数．(用含k的式子表示)
因为∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
所以∠AOM＋∠BON＝∠MON－∠AOB＝150°－30°＝120°，
所以∠AOC＋∠BOD＝60°，
所以∠COD＝∠AOC＋∠AOB＋∠BOD＝60°＋30°＝90°；

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