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湘教版数学八年级下册 3.2 一次函数 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·南宁期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·南明期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·成都月考）下列函数中，y 是 x 的一次函数的有（　　）
①y=x；②y=3x+1；③y=；④y=kx 2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是(　　)
A． B．y=2x+1
C． D．y=-2(8-4x)+(3-8x)
5．（2023八上·萧山月考）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·南湖期末）请写出一个y关于x的一次函数表达式：　 　，满足y随x的增大而增大.
7．（2025八上·平远期末）如果是关于x的正比例函数，则k的值为　 　．
8．如图是称重时所用的电子秤，将质量相同的瓶装可乐依次放在秤盘上.随着所放可乐瓶数的增多，显示屏上的数字会变大，这样的变大　 　(填“是”或“不是”)“均匀”变化的.
9．（2025八上·新津开学考）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的关系式为　 　．
10．下列函数中，哪些是一次函数 哪些是正比例函数 系数k和常数b的值各是多少
二、能力提升
11．（2025八上·宣汉期中）若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．在一次函数中，一次项系数k和常数项b的值分别是(　　).
A． B． C． D．
13．（2024八下·栾城期中）若与成正比，则（　　）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y与x没有函数关系 D．以上都不正确
14． 某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍4副，乒乓球x盒(x不少于4盒)，则应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式是(　　)
A．y=5x(x>4) B．y=5x+80(x≥4)
C．y=5x+60(x≥4) D．y=5x+100(x≥4)
15．（2025八上·宣汉期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
16．若 是关于x的一次函数，则m的值为　 　.
17．（2024八上·金牛期中）若点在函数的图象上，则的值是　 　．
18．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围）　 　．
19．（2025八上·白银期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
20．（2025八上·鄞州期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元．
（1）写出（元）关于 （件）的函数关系式；
（2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
三、拓展创新
21．（2024八下·从化期末）点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据正比例函数的定义可知为正比例函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：关于x的函数是一次函数，
，
，
故答案为：D．
【分析】 形如 是一次函数，一次项的指数为1，则m-3=1，解得m=4．
3．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解： ①y=x是一次函数，符合题意；
②y=3x+1是一次函数，符合题意；
③y=是反比例函数，不符合题意；
④y=kx 2当k≠0时，是一次函数，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A选项，y是x的正比例函数；B选项，y是x的一次函数但不是正比例函数；C选项，自变量在分母上，故不是一次函数；D选项，化简后为y=-13，不含自变量，故不是一次函数.
故答案为： .
【分析】一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数；一般地，形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数；据此进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：S=320-80t.
故答案为：C.
【分析】根据货车距离乙地的路程S=甲、乙两地相距-t小时行驶的距离即可求解.
6．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：设一次函数表达式为，其中，
例如取，，则，此时y随x的增大而增大．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的性质，当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此即可获得答案．
7．【答案】0
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的正比例函数，
∴中，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的一般形式为（），其特点是不含常数项且一次项系数不为0。先对给定的函数进行整理，合并同类项后得到。要满足正比例函数的定义，需同时满足两个条件：一是一次项系数（保证函数是一次函数），二是常数项（保证不含常数项），联立这两个条件求解，可得。
8．【答案】是
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解： 将质量相同的瓶装可乐依次放在秤盘上.随着所放可乐瓶数的增多，显示屏上的数字会变大，这样的变大是“均匀”变化的，
故答案为：是.
【分析】根据电子秤的原理解答即可.
9．【答案】h=3x+80
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：h=3x+80，
故答案为：h=3x+80.
【分析】苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x解答即可.
10．【答案】解：(1)是一次函数，也是正比例函数，
(2)是一次函数，
(3)不是一次函数.
(4)是一次函数，k=-2，b=6.
(5)不是一次函数.
(6)是一次函数，也是正比例函数，k=1，b=0
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】根据一次函数和正比例函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数是一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)变为y=kx(k为常数，k≠0)，此时一次函数是正比例函数”判断解答即可.
11．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
∴，
故选：．
【分析】要确定k的值，需根据正比例函数的定义列出关于k的条件，先求常数项为0时k的值，再排除系数为0的情况，从而得出k的值.
12．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：，
∴ k=，b=2.
故答案为：B.
【分析】将一次函数表达式整理成y=kx+b的形式，一次项系数即为k，常数项即为b.
13．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵与成正比，
∴=k（x-3），其中k≠0，
整理可得：，
∴y是x的一次函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义可得=k（x-3），其中k≠0，再求出，即可得到y是x的一次函数.
14．【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 购买球拍4副 需付款20×4=80元， 购买乒乓球x盒需付款（x-4）×5=5x-20，
∴ 应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式为：y=80+5x-20=5x+60 (x≥4) ，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出关系式即可，注意需要付款的乒乓球盒数.
15．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
16．【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵若 是关于x的一次函数，
，
解得m=-1，
故答案为： -1.
【分析】根据一次函数的定义得到，求出m的值解答即可.
17．【答案】8
【知识点】一次函数的概念；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把点(m，n)代入y=3x-4，得
n=3m-4，
则3m-n=4，
∴6m-2n=2(3m-n)=2×4=8，
故答案为：8．
【分析】把点(m，n)代入函数解析式，得n=3m-4，变形得3m-n=4，然后把所求代数式变形为2(3m-n)，再整体代入计算即可求解．
18．【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
19．【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值；
（2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。
20．【答案】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
【知识点】列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购进A商品件，则购进B商品件，再根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可；
（2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组并求不等式组的整数解即可．
（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
21．【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的性质；列一次函数关系式；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．（1）先求出P(4，2)，如图1， 根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据点在第一象限，求出x的取值范围，再根据三角形面积公式求出含有x的式子表示出S；
（3）作的图象，分别交轴于点，并求出C、D的坐标，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，，由于OC=OD，可知∠CDO=45°，由轴对称的性质和三角形内角和性质可求得， ，，可求得，用勾股定理求出，由周长为，可知当三点共线时，周长最小为，计算求解即可．
1 / 1湘教版数学八年级下册 3.2 一次函数 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·南宁期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据正比例函数的定义可知为正比例函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）分析求解即可.
2．（2025八上·南明期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：关于x的函数是一次函数，
，
，
故答案为：D．
【分析】 形如 是一次函数，一次项的指数为1，则m-3=1，解得m=4．
3．（2025八上·成都月考）下列函数中，y 是 x 的一次函数的有（　　）
①y=x；②y=3x+1；③y=；④y=kx 2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解： ①y=x是一次函数，符合题意；
②y=3x+1是一次函数，符合题意；
③y=是反比例函数，不符合题意；
④y=kx 2当k≠0时，是一次函数，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可.
4．下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是(　　)
A． B．y=2x+1
C． D．y=-2(8-4x)+(3-8x)
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A选项，y是x的正比例函数；B选项，y是x的一次函数但不是正比例函数；C选项，自变量在分母上，故不是一次函数；D选项，化简后为y=-13，不含自变量，故不是一次函数.
故答案为： .
【分析】一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数；一般地，形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数；据此进行判断即可.
5．（2023八上·萧山月考）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：S=320-80t.
故答案为：C.
【分析】根据货车距离乙地的路程S=甲、乙两地相距-t小时行驶的距离即可求解.
6．（2026八上·南湖期末）请写出一个y关于x的一次函数表达式：　 　，满足y随x的增大而增大.
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：设一次函数表达式为，其中，
例如取，，则，此时y随x的增大而增大．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的性质，当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此即可获得答案．
7．（2025八上·平远期末）如果是关于x的正比例函数，则k的值为　 　．
【答案】0
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的正比例函数，
∴中，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的一般形式为（），其特点是不含常数项且一次项系数不为0。先对给定的函数进行整理，合并同类项后得到。要满足正比例函数的定义，需同时满足两个条件：一是一次项系数（保证函数是一次函数），二是常数项（保证不含常数项），联立这两个条件求解，可得。
8．如图是称重时所用的电子秤，将质量相同的瓶装可乐依次放在秤盘上.随着所放可乐瓶数的增多，显示屏上的数字会变大，这样的变大　 　(填“是”或“不是”)“均匀”变化的.
【答案】是
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解： 将质量相同的瓶装可乐依次放在秤盘上.随着所放可乐瓶数的增多，显示屏上的数字会变大，这样的变大是“均匀”变化的，
故答案为：是.
【分析】根据电子秤的原理解答即可.
9．（2025八上·新津开学考）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的关系式为　 　．
【答案】h=3x+80
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：h=3x+80，
故答案为：h=3x+80.
【分析】苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x解答即可.
10．下列函数中，哪些是一次函数 哪些是正比例函数 系数k和常数b的值各是多少
【答案】解：(1)是一次函数，也是正比例函数，
(2)是一次函数，
(3)不是一次函数.
(4)是一次函数，k=-2，b=6.
(5)不是一次函数.
(6)是一次函数，也是正比例函数，k=1，b=0
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】根据一次函数和正比例函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数是一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)变为y=kx(k为常数，k≠0)，此时一次函数是正比例函数”判断解答即可.
二、能力提升
11．（2025八上·宣汉期中）若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
∴，
故选：．
【分析】要确定k的值，需根据正比例函数的定义列出关于k的条件，先求常数项为0时k的值，再排除系数为0的情况，从而得出k的值.
12．在一次函数中，一次项系数k和常数项b的值分别是(　　).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：，
∴ k=，b=2.
故答案为：B.
【分析】将一次函数表达式整理成y=kx+b的形式，一次项系数即为k，常数项即为b.
13．（2024八下·栾城期中）若与成正比，则（　　）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y与x没有函数关系 D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵与成正比，
∴=k（x-3），其中k≠0，
整理可得：，
∴y是x的一次函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义可得=k（x-3），其中k≠0，再求出，即可得到y是x的一次函数.
14． 某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍4副，乒乓球x盒(x不少于4盒)，则应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式是(　　)
A．y=5x(x>4) B．y=5x+80(x≥4)
C．y=5x+60(x≥4) D．y=5x+100(x≥4)
【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 购买球拍4副 需付款20×4=80元， 购买乒乓球x盒需付款（x-4）×5=5x-20，
∴ 应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式为：y=80+5x-20=5x+60 (x≥4) ，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出关系式即可，注意需要付款的乒乓球盒数.
15．（2025八上·宣汉期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数，运用方程求一次函数的解析式的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键.
16．若 是关于x的一次函数，则m的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵若 是关于x的一次函数，
，
解得m=-1，
故答案为： -1.
【分析】根据一次函数的定义得到，求出m的值解答即可.
17．（2024八上·金牛期中）若点在函数的图象上，则的值是　 　．
【答案】8
【知识点】一次函数的概念；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把点(m，n)代入y=3x-4，得
n=3m-4，
则3m-n=4，
∴6m-2n=2(3m-n)=2×4=8，
故答案为：8．
【分析】把点(m，n)代入函数解析式，得n=3m-4，变形得3m-n=4，然后把所求代数式变形为2(3m-n)，再整体代入计算即可求解．
18．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围）　 　．
【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
19．（2025八上·白银期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值；
（2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。
20．（2025八上·鄞州期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元．
（1）写出（元）关于 （件）的函数关系式；
（2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
【答案】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
【知识点】列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购进A商品件，则购进B商品件，再根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可；
（2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组并求不等式组的整数解即可．
（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
三、拓展创新
21．（2024八下·从化期末）点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的性质；列一次函数关系式；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．（1）先求出P(4，2)，如图1， 根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据点在第一象限，求出x的取值范围，再根据三角形面积公式求出含有x的式子表示出S；
（3）作的图象，分别交轴于点，并求出C、D的坐标，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，，由于OC=OD，可知∠CDO=45°，由轴对称的性质和三角形内角和性质可求得， ，，可求得，用勾股定理求出，由周长为，可知当三点共线时，周长最小为，计算求解即可．
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