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初中2023级毕业年级学业检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，仅将答题卡交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若实数a与2的和为负数，则a的值可能是（ ）
A.0 B.3 C.-5 D.-2
2.如图，在中，，，将∠A沿MN翻折，点A恰好落在点C处，若，则CM的长为（ ）
A.3 B.6 C. D.12
3.甲、乙、丙三名同学进行立定跳远测试，每人5次立定跳远成绩的平均数都是2.30米，方差分别是，，，则这三名同学立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.一样稳定
4.已知m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ）
A. B.9 C. D.3
5.我国明代数学家程大位编著《算法统宗》中有一道题“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌”．其意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两个人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”．两人都在用心计算着对方的羊数，在地上算了半天才知道对方的羊数．若设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AB，AC交于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线AP交BC于点D，过点D作，交AB于点E，则BE的长是（ ）
A.8 B.6 C.4 D.3
7.分式方程的解为（ ）
A. B. C.， D.无解
8.已知经过点（1，3）的直线（）不经过第四象限．若，则下列说法正确的是（ ）
A.m的最大值为3 B.m的最小值为3
C.m的最大值为6 D.m的最小值为6
9.如图，在菱形花坛ABCD中，，在其中两个正五边形部分种花，若菱形花坛的边长为10m，则种花部分的图形的周长为（不含虚线部分）（ ）
A. B. C. D.
10.已知二次函数（a，b，c是常数，）的图象经过点（2，m），当时，；当时，．则的值为（ ）
A. B. C.-3 D.3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11.已知，，则的值为______．
12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则盒中白色棋子的个数是______个．
13.在反比例函数中，若，则y的取值范围是______．
14.如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，，，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁从AB变为BE时，增加部分AE的长为______．
15.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，D为的中点，过点D作于F，交⊙O于点E，若，，则OF的长为______．
16.如图，在正方形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），将△CBP沿CP翻折得，的延长线与AD交于点E，与CP交于点F，连接，，DF．下列结论：
①；②；③当点恰好落在对角线AC上时，；④当点P为AB中点时，．
其中正确的结论是______．（填写序号）
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（8分）计算：．
18.（8分）如图，点C是线段AB的中点，，．
（1）求证：；
（2）连接DE，若，求DE的长．
19.（8分）2019年11月26日，在联合国教科文组织第四十届大会上，正式宣布将每年的3月14日定为“国际数学日”，这一日期的选择源于圆周率π的近似值为3.14，因此该节日也被广泛称为“π节”．我市某校在今年的“π节”活动中开展了如下四项活动：A.趣味魔方；B.折纸活动；C.数独比赛；D.唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）求这次被调查的学生共有多少人？
（2）若该校共有1200名学生，求全校参加C数独比赛的人数；
（3）在数独比赛项目中，甲、乙、丙和小琪四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中小琪和另外一位同学的概率．
20.（10分）已知关于x的一元二次方程（）满足．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为、，且，求m的值．
21.（10分）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于A（a，2），B（-4，-1）两点，与y轴，x轴分别交于点C，D．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点E与点D关于y轴对称，求△BCE的面积．
22.（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，点F在⊙O上，于D，与⊙O交于点E，连接AF，BF，且．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AF的长．
23.（10分）“十一”迎来购物热潮，某商场有50个摊位供商家租用，当每个摊位每天的租金为180元时，摊位会全部租出；当每个摊位每天的租金每增加10元时，就会有一个摊位空闲．如果商家租用摊位，商场需对每个被租用的摊位每天支出20元的各种费用，设每个摊位每天的租金为x元（x为10的整数倍）．
（1）若每个摊位每天的租金为280元时，则可租出去______个摊位．此时，利润为______元；
（2）为了进一步优化购物环境，针对商家租用的摊位，商场对每个被租用的摊位每天支出的费用提高到30元，当x为多少元时，商场租用摊位获得利润最大？最大利润为多少元？
（3）在（2）的条件下，该商场空闲摊位数不能超过20个，所获利润不低于10360元，求商场每个摊位每天的租金定价x的范围．
24.（10分）如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别是AB，AD上一个动点，且．
（1）如图1，若，判断的形状，并说明理由．
（2）如图2，当点E在AB边上运动时（不与端点A，B重合），上述（1）中的结论是否成立？并证明你的结论．
（3）如图3，当点E，F分别在BA，AD的延长线上时，EC与AD交于点G，连接ED，若，，求的值．
25.（12分）如图，抛物线：（）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴与BC交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线PQ，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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数学参考答案及评分意见
说明：
（1）阅卷前务必认真阅读参考答案和评分意见，明确评分标准，不得随意拔高或降低标准．
（2）全卷满分150分，参考答案和评分意见所给分数表示考生正确完成当前步骤时应得的累加分数．
（3）参考答案和评分意见仅是解答的一种，如果考生的解答与参考答案不同，只要正确就应该参照评分意见给分．合理精简解答步骤，其简化部分不影响评分．
（4）要坚持每题评阅到底．如果考生解答过程发生错误，只要不降低后继部分的难度且后继部分再无新的错误，可得不超过后继部分应得分数的一半，如果发生第二次错误，后面部分不予得分；若是相对独立的得分点，其中一处错误不影响其它得分点的评分．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A B C D C B D
10.解析：
∵当时，；当时，，
∴，即二次函数的最大值为m．则抛物线的顶点为（2，m），
∴对称轴直线为，．
当时，．∴，即，又，
∴，．∴．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.12； 12.8； 13.； 14.； 15.3； 16.①②④．
16.解析：①由翻折可得，．则．
∴．又∵，，
∴．∴．故①正确；
②由翻折可得，．∴，．
∴
．
∴．故②正确；
③当点恰好落在对角线AC上时，∵，∴，
∴．∴．故③错误．
④作于点H，交BC于点G．则．
∵P为AB的中点．∴．∴．
∵，．∴四边形BEDG是平行四边形．∴．
∵，∴．∴H是CF的中点．
∴DH是CF的垂直平分线．∴．故④正确；
综上可知，正确结论有①②④．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.解：原式
18.（1）证明：∵点C是线段AB的中点，∴．
∵，∴．
在△ACD和△CBE中，，∴，
∴．
（2）解：∵，，∴四边形ACED是平行四边形．
∴．
19.解：（1）被调查的学生共有：（人）．
答：这次被调查的学生共有200人；
（2），（人）．
答：全校参加C数独比赛的人数有360人；
（3）列表如下：
甲 乙 丙 小琪
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，小琪）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，小琪）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，小琪）
小琪 （小琪，甲） （小琪，乙） （小琪，丙）
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中小琪、和另外一位同学的结果有6种．
∴．
20.（1）证明：∵，∴，
∴．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，．
∵，∴．
∴．整理得．
解得：，．
经检验，是原方程的根．∴m的值为1或-2．
21.解：（1）由题意可得：．∴反比例函数解析式为：．
∵A（a，2）在双曲线上，∴．∴A（2，2）
∵A（2，2），B（-4，-1）在一次函数的图象上，∴，
解得，∴一次函数解析式为：．
（2）在一次函数中，当时，；
当时，，解得；∴C（0，1），D（-2，0）．
∵点E与点D关于y轴对称，∴E（2，0）．∴．
22.（1）证明：连接OF，
∵AB是的直径，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．
即．∴．∴CD为的切线．
（2）解：作于G，则．
设，则，．
在中，，∴．
解得，∴，，．
∵，∴．∴．
∴．∴．
∴．∴．∴．
∵，∴四边形OFDG是矩形．
∴．∴．∴．
23.解：（1）40，10400．
（2）设利润为w元，则
∵，∴开口向下，对称轴为直线．
又∵x为10的整数倍，∴当或360时，（元）．
（3）由题意，令，∴或．
∵所获利润不低于10360元，∴．
又，解得．
∴，且x为10的整数倍．
24.（1）解：△ECF为等边三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴，，．
∵，∴，∴．
∴，∴．
∴，∴．
又∵，∴△ECF为等边三角形．
（2）仍成立（3分）
证明：连接AC
∵四边形ABCD是菱形，∴．
∴，．
∴，∴．
∵，，
∴．∴，∴．
又，∴△ECF为等边三角形．
（3）连接AC，作于H．
∵，，∴．
∵，，
∴．又，∴．
∴，．
又，∴△ECF为等边三角形，．
∵四边形ABCD是菱形，∴，∴．
∴，．
∴．∴，．
∴．
∵，，∴，∴，
∴．
25.解：（1）将点A（-1，0），C（0，-3），代入，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为：．
（2）在抛物线上存在点E，使得△CDE是以CD为直角边的直角三角形．
抛物线对称轴为直线．
当时，，解得，．
∴B（3，0），则可得直线BC的解析式为：．
当时，．∴D（1，-2）．
∵，∴．
①如图，当时，过点作轴于点F，
则，∴，∴，∴，
设，∴，解得：，（舍去），
当时，，点．
②如图，当时，可得．
易得直线解析式为：，
设直线的解析式为：，则，．
则可得解析式为：．
联立得解得或
∴，．
综上所述，在抛物线上存在点E，使得△CDE是以CD为直角边的直角三角形．
此时点E的坐标为（1，-4）或（-1，0）或（2，-3）．
（3）联立两抛物线解析式可得：，
解得：，则点，
又．
设直线PF的解析式为：，
则解得
∴．
联立直线PF与抛物线得：．
则：，
整理得：，
则，∴，
∴，∴．即为定值4．

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