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22.1 函数的概念
课时2 函数的概念
1. 理解函数、自变量、函数值的概念．
2. 能从文字描述或图表信息中判断变量之间是否具有函数关系，并找出函数关系．
问题 根据经验，跳远的距离 s＝0.085v2(v是助跑的速度，0＜v＜10.5米/秒)，其中变量s随着哪一个量的变化而变化？
思考1：下面每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km.
t /h 1 2 3 4 5 …
s /km 60 120 180 240 300 …
s=60t
（2）每张电影票的售价为40元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元.
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r，面积为S.
（4）长方体的体积为1000cm3，长方体的底面积为S cm2，高为h cm.
y=40x
S=πr2
h=
s=60t
y=40x
S=πr2
h=
思考2：这些变化过程中，变量之间关系有什么共同特点？
归纳：当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面这样的关系.
思考3：(1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象. 我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量 t 与 h. 这两个变量之间有什么关系？
取定一个时刻，就有唯一确定的值与之对应.
(2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量 x 和 y. 这两个变量之间有什么关系？
存款期限x/月 3 6 12 24 36 60
年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
取定一个存款期限，就有唯一确定的年利率与之对应.
定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值.
问题1：指出下列问题中的自变量以及自变量的函数：
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km.
(2)每张电影票的售价为40元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元.
(3)圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r，面积为S.
(4)长方体的体积为1000cm3，长方体的底面积为S cm2，高为h cm.
t是自变量，s是t的函数.
x是自变量，y是x的函数.
r是自变量，S是r的函数.
S是自变量，h是S的函数.
问题2：填表并回答问题：
x 1 4 9 16
y=±2x 2和 2 8和 8 18和 18 32和 32
(1)对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
(2) y是x的函数吗？为什么？
不是
不是，因为y的值不是唯一的.
关键词：两个变量，给一个x，得一个y.
易错点：顺序不要反.
下列关于变量x，y的关系式：
①y=2x+3；②y=x2+3；③y=2|x|；④y=±；⑤y2 3x=10，
其中表示y是x的函数关系的是__________.
①②③
方法：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
函数的特征：
简记为：“一个变化过程，两个变量，单值对应”.
自变量与因变量的区别：
其中在变化过程中居于主导地位的变量叫作自变量，随之变化的另一个变量叫作自变量的函数（因变量）.
函数与函数值的区别：
函数是变量，函数值是确定了自变量时函数所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.
知识拓展
函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作.他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.
更多见教材P98-99图说数学史
函数
概 念
函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
1.下列各图中，能表示y是x的函数的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2.博物馆到小明家的路程为8 km，小明回家所需时间t (h)随平均速度v (km/h)的变化而变化，则t与v的函数表达式是（ ）
A．t=8v B．t=v C．t= D．t=8v2
C
3.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫作刹车距离．根据有关资料，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速 v(km/h)之间的关系为 s=v.
(1)上述关系中的两个变量之间是不是函数关系？若是，请指出自变量和函数．
解：是函数关系，v是自变量，s是v的函数．
(2)当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值．
(3)若该车在限速40 km/h的公路上行驶，则当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速．
当v＝30 km/h时， s=（m）
当s=12m时，12=v，解得v=48km/h,
∵48>40，∴该车超速了

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