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22.1 函数的概念
课时3 用函数解析式表示函数关系
1. 能根据实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制．
2. 联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．
问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t（单位：h），行驶的路程为s（单位：km）；
（2）多边形的边数为n，内角和的度数为y．
s=60t
y=(n 2)·180°
问题（1）中，t取 2有实际意义吗？
问题（2）中，n取2有意义吗？
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
例 汽车油箱中有汽油 50 L . 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油 0.1 L .
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
（50－行驶 x km 的耗油量）
y = 50－0.1x
叫作函数的解析式.
0.1x表示的意义是什么？
（2）指出自变量 x 的取值范围；
y = 50－0.1x
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
解：由题意得
x ≥ 0，
50－0.1x ≥ 0，
解得 0 ≤ x ≤ 500.
因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500 .
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
（3）汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？
解：将 x = 200 代入 y = 50－0.1x，得
因此，汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油.
y = 50－0.1×200 = 30
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
y = 50－0.1x
1.写出下列函数中自变量x 的取值范围.
（1）y=3x+1
（2）y=
（3）y=
（4）y=
x为任意实数
x ≠ -2
x ≥ 5
x ≥ 2且x ≠ 1
①当表达式为整式时，自变量取全体实数.
②当表达式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数.
③当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数非负.
④当函数的表达式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数.
对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.
当表达式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分.
自变量的取值范围：
2.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
（1）购买单价为4元的本子，总金额y（元）随本子数x（本）的变化而变化；
（2）汽车离开A站4km后，以40km/h的平均速度前进了t h，汽车离开A站距离s（km）随时间t（h）的变化而变化.
解：(1)x是自变量，y是x的函数，函数解析式为：y=4x；
(2)t是自变量，s是t的函数，函数解析式为：s=40t+4.
(1)函数解析式是等式 .
(3)书写函数的解析式是有顺序的.
如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y.
函数解析式的特点：
(2)函数解析式中指明了自变量和函数. 通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.
函数解析式
自变量的取值范围
求函数值
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
1.李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边靠 10 m 长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为 24 m. 要围成的菜园是如图所示的长方形 ABCD，设 BC 边的长为 x m，AB 边的长为 y m，则 y 与 x 之间的函数解析式是（ ）
A. y = －2x + 24（x > 0）
B. y = － x + 12（0 < x ≤ 10）
C. y = －x + 12（0 < x < 24）
D. y = x－12（0 < x < 24）
B
2.在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
x> 3且x≠ 2
3.如图，在一个长为 15 cm、宽为 10 cm 的矩形纸板的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中阴影部分)．当小正方形的边长 x (单位：cm) 由小到大变化时，剩余部分的面积 S (单位：cm2) 也随之发生变化．
（1）哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出题中存在的函数解析式及自变量的取值范围．
15
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S
x
x
解：x 是自变量，S 是自变量的函数．
由剩余部分的面积＝矩形的面积 － 4 个小正方形的面积，
得 S ＝ 15×10－4x2，即 y＝150－4x2 ．
因为剩余部分为十字形纸板,
所以小正方形的边长 x 应满足x＞ 0 且 10－2x＞0．
因此，自变量 x 的取值范围是0＜ x ＜5．
所以 S 关于 x 的函数解析式为S ＝ 150－ 4x2 ( 0＜ x ＜5 )
15
10
S
x
x
（2）当小正方形的边长为 3 cm 时，求阴影部分的面积．
解：将 x ＝ 3 代入 S ＝ 150－4x2，
得 S ＝150－4×32＝150－36＝114．
所以当小正方形的边长为 3 cm 时，
阴影部分的面积为 114 cm2 ．
15
10
S
x
x

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