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22.2 函数的表示
课时3 函数的三种表示方法
1.了解函数的三种表示法及其优缺点，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
2.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
问题1：已知某市出租车的收费标准为：3km内的起步价为8元，超过3km后，每超出1km收费2元．有一位乘客乘坐出租车去x km（x＞3，且x为整数）外的某地，付费y元．
y是x的函数吗？如果是，请写出它的解析式．
是，
y=8+2(x 3)
这里是怎样表示付费y与路程x之间的函数关系的？
函数解析式
问题2：在标准大气压下，声音在空气中传播的速度（简称音速）y与气温x之间的关系如下表所示：
x/℃ 0 5 10 15 20
y/(m/s) 331 334 337 340 343
y是x的函数吗？
是
列表格
这里是怎样表示音速y与气温x之间的函数关系的？
问题3：如图是用弹簧做实验时，在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：g）的关系图象.
是
画函数图象
y是x的函数吗？
这里是怎样表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系的？
由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数. 这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法.
y=8+2(x 3)
x/℃ 0 5 10 15 20
y/(m/s) 331 334 337 340 343
思考 从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点 它们之间有什么联系？
（1）对于每一个大于0 的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示法较好？
（2）对于x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，想知道其对应的函数值，用什么表示方法较好？
（3）想知道当x 的值增大时，函数值y 怎样变化，用什么表示方法较好？
解析法
列表法
图象法
有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
表示方法 优点 缺点
解析法 变量间关系简洁明了，便于分析计算 需通过计算，才能得到所需结果
列表法 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象法 直观形象地表示了变量间的变化过程与趋势 函数值一般是近似值
关系 解析式是基础，列表是画图象的关键，图象是在解析式和列表的基础上对函数的总体概括和形象化表达 例 一个水库的水位在最近5h内持续上涨. 下表中记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
解：这6个点在一条直线上.
+0.3
+0.3
+0.3
+0.3
+0.3
再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m.
由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t=2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
（2）水位高度 y 是不是时间 t 的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近 5 h 内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.
开始时水位高度为 3 m，以后每小时水位上升 0.3 m.
函数 y = 0.3t + 3（0 ≤ t ≤ 5）
它表示经过 t h 水位高度 y 为(0.3t + 3) m. 其图象是图中点 A (0，3) 和点 B (5，4.5) 之间的线段 AB .
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
A
B
y = 0.3t + 3
如果在这 5 h 内，水位一直匀速上升，即升速为 0.3 m / h，那么函数y = 0.3t + 3（0 ≤ t ≤ 5）就精确地表示了这种变化规律.
即使在这 5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升 0.3 m 是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
A
B
y = 0.3t + 3
（3）如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？
解：如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t=5+2=7（h）时，水位高度y=0.3×7+3=5.1（m）.
1
2
t/h
3
4
5
6
7
3
y/m
O
1
2
4
5
把图中的函数（线段AB）向右延伸到t=7所对应的位置，得右图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.
由本例可以看出，函数的不同表示方法之间可以互相转化.
A
B
y = 0.3t + 3
思考 在遇到实际问题时，又该如何选择表示方法？
若要精准计算、推导性质（如求某点的函数值、分析单调性），选解析法；
若要快速查询特定自变量对应的函数值（如某时刻的温度、某商品的销量），选列表法；
若要直观展示变化趋势（如路程随时间的变化、体温随时间的波动），选图象法.
用一根长为 20 的细绳围成一个等腰三角形．
（1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式 ( x 为自变量 )；
（2）写出自变量 x 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中画出函数图象．
解：（1）根据三角形周长与边长的关系可得
20 ＝ x + x + y，所以 y ＝ 20－2x ．
即底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式是 y ＝ 20－2x ．
（2）根据问题的实际意义，得 x，y 均为正数，所以 0＜x＜10．
结合三角形的三边关系，得 x + x ＞ y，即 2x＞20－2x，所以 x＞5．
结合上述两方面的限制，可确定自变量 x 的取值范围是 5＜x＜10．
用一根长为 20 的细绳围成一个等腰三角形．
（1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式 ( x 为自变量 )；
（2）写出自变量 x 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中画出函数图象．
（3）函数图象如图所示．
函数的表示方法
解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系. 有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
1.“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是（ ）
A．3h B．4h
C．6h D．12h
A
2.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v (km/h)之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D．若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
3.一根水管以固定的速度向容积为100m3的水池中注水，注水时间t与水池中的水量Q存在如表所示的关系：
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（1）请从表中找出t与Q之间的函数关系式；
解：由表中观察到开始时水池中已有20m3水量，以后每隔2min，水量增加4m3，即每分钟水量增加2m3，这样的变化规律可以表示为Q=2t+20．故t与Q之间的函数关系式为Q=2t+20．
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（2）确定自变量t的取值范围，并画出函数的图象；
解：因为t表示注水时间，所以t≥0. 因为水池的容积为100m3，所以2t+20≤100，解得t≤40．所以自变量t的取值范围为0≤t≤40．函数图象如图所示．
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（3）当水池中的水量Q为50m3时，求注水时间t的值．
解：求水量为50m3时的注水时间，就是求Q=50时，函数Q=2t+20中自变量t的值. 由Q=50，得2t+20=50，解得t=15.（从函数图象中也能估出这个值，如图中点A的横坐标）所以当水池中的水量Q 为50m3时，注水时间t的值为15min.

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