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5.5分式方程（第2课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
3．熊猫绿道，起于我市环城山路玉堂街道，止于青城山镇，总长千米．甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步．已知甲每小时徒步千米，乙每小时徒步千米（），他们各自走完绿道所用的时间，乙比甲多用半小时．则符合题意的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．一组学生去春游，预计共需用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，设原来这组学生人数为x人，则有方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
7．师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为______．
8．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示）
9．智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？
已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度．
11．某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．从2024年，阳谷县政府工作报告明确提出，打造“千年古城”多层次户外休闲步道体系建设，需要铺设一段全长为10公里的步道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
14．某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
16．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
17．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为米/分，根据题意可得方程________．
19．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是___________．
20．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程_____．
21．铁包公快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物多用小时．求这台机器人每小时可分拣多少件货物？
22．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？
23．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
(1)求王老师驾车的平均速度；
(2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
24．阅读下面材料并解决问题：
材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．
材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时．
根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度．
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《5.5分式方程（第2课时） 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案 D A C C B D B C B B
题号 15 16 17
答案 D A D
1．D
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据工作效率和合作时间列方程．
【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时，
∵总工作量为1，
∴的工作效率为，的工作效率为，
合作工作效率为，
合作时间小时完成，
∴，
即，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键；
根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可．
【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两，
用20两买牛，牛的数量为头，
用15两买羊，羊的数量为只，
则，
故选A．
3．C
【分析】本题考查列分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．已知甲每小时徒步千米，乙每小时徒步千米，由走完绿道所用的时间，乙比甲多半小时列出方程即可得到答案．
【详解】解：∵甲每小时徒步千米，乙每小时徒步千米，
∴走千米甲需小时，乙需小时，
由题意可得，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了列分式方程，理解题意是解题关键．设原来这组学生人数为x人，根据“总费用不变，每人可少摊3元”，即可列分式方程．
【详解】解：设原来这组学生人数为x人，
则，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可．
【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，
则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，
由题意得：，
故选：B．
6．D
【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换．
【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时，
故选D．
7．
【分析】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程即可．
【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是
；
故答案为：．
8．
【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键．
【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天，
∴；
同理可得，．
∵，
∴，
整理得，．
故答案为：．
9．A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
【分析】本题主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可
【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验：为分式方程的解，
则，
答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
10．顺水航行的速度是．
【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是分析题意，找到等量关系列出方程.
设轮船在静水中的速度为，根据“轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间”，列出方程，即可求解.
【详解】解：设轮船在静水中的速度为．
根据题意，得，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
所以．
答：顺水航行的速度是．
11．B
【分析】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设购买机器人的数量为x套，根据无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元，列出方程即可．
【详解】解：设购买机器人的数量为x套，则购买无人机的数量为套，根据题意得：
．
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设公里绿道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加，且原计划每天铺设x公里绿道，
∴实际每天铺设公里绿道．
根据题意得：
故选：C．
13．B
【分析】先分别表示出大、小汽车行驶全程的时间，再根据“大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟”的条件，建立时间等量关系，进而推导出正确方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
则大汽车行驶全程的时间为小时，小汽车行驶全程的时间为小时；
又∵大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟(即小时)，
∴可列等式：，
整理得：，与选项B的式子一致．
14．B
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“手机比手机快190秒”列方程即可．
【详解】解：设手机下载速度为，
则手机下载速度为
下载时间为 秒，
下载时间为秒，
所以方程为，
故选B．
15．D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键．
由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字．
【详解】解：∵设第一次购买了个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次比第一次少买了 10 个；
∵单价总价数量，
∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价，
又 ∵所列方程为，
∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，
∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个．
故选：D．
16．A
【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键．
设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可．
【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的，
∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为，
∵工程全部完成，总工程量为1，
∴可得方程 ，
移项整理得 ，与选项A一致．
故选：A．
17．D
【分析】本题考查列分式方程．
设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，根据销售量增加件和营业额增加元的条件，列方程即可．
【详解】解：设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，
月份的销售量为件，月份销售量为件，
根据题意得，
故选：D．
18．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分，根据骑自行车到学校的时间比步行到家的时间少20分钟，利用速度、时间和路程的关系列出方程即可．
【详解】解：设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分，
由题意得，，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系列出分式方程是解题的关键．
设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，由题意列出分式方程．
【详解】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，
根据题意，得，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为： ．
20．
【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：，
故答案为：．
21．件
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．
设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，根据题意，列出方程，即可．
【详解】解：设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，　
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：一台机器人每小时可分拣件货物．
22．甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨．
23．(1)48千米/小时
(2)千克
【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得；
（2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得．
【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
24．
【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键．
【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根．
答：和若铁路的原设计速度是．
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