资源简介

(共18张PPT)
第6讲
指数与指数函数
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
有理数指数幂、实数指数幂的意义 通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n≠0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质
指数幂的运算性质
指数函数的概念、图象及其性质 理解指数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点
知能构建 强技能
1.根式的概念
根式的概念 符号表示 备注
如果xn=a,那么x叫做a的n次方根 — n>1且n∈N*
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数 ± (a>0) 负数没有偶次方根
3.指数函数的图象与性质
y=ax (a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 过定点(0,1)
当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,0当x<0时,y>1
在R上是增函数 在R上是减函数
y=ax的图象与y=a-x=()x的图象关于y轴对称(a>0且a≠1)
实战演练 明方向
考向1　 指数与指数幂运算
典例1(1)计算:4-0.5-(-)0++(=　　　　　.
-0.1
1
考向2　 指数函数的图象与性质
典例2(1)函数y=2-x的大致图象是(　　)
D
C
典例3(2025浙江期中)函数y=的值域是　　　　　.
[2,+∞)
解析 由t=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,得y=2t∈[2,+∞),所以函数的值域为[2,+∞).
典例4(多选)(2024浙江高一期中)若10a=2,10b=5,则(　　)
A.a+b>1 B.ab<
C. D.a2+b2<
BC
解析 因为10a=2,10b=5,所以10a×10b=10a+b=2×5=10,
所以a+b=1,故A错误;
因为10b>10a>1,所以0所以1=a+b>2,则ab<,故B正确;
因为=a+2+b<2,所以,故C正确;
因为0,故D错误.故选BC.
考向3　 指数函数的综合
典例5已知函数f(x)=-4x+k·2x+1-2k,x∈[0,1].
(1)当k=-1时,求f(x)的值域;
解当k=-1时,f(x)=-4x-2x+1+2在[0,1]上单调递减,
故f(x)max=f(0)=-1,f(x)min=f(1)=-6,所以f(x)的值域为[-6,-1].
解 f(x)=-(2x)2+2k·2x-2k,令2x=t,t∈[1,2],则原函数可化为g(t)=-t2+2kt-2k,其图象的对称轴为t=k.
①当k≤1时,g(t)在[1,2]上单调递减,
所以g(t)max=g(1)=-1+2k-2k=-,无解;
②当1即k2-2k+=0,解得k=或k=(舍去);
③当k≥2时,g(t)在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=-4+2k=-,解得k=,不合题意,舍去.
综上,k的值为.
(2)若f(x)的最大值为-,求实数k的值.课时作业6　指数与指数函数
基础巩固
1.函数f(x)=ab-x的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00
2.已知=5,那么等于(　　)
A. B.- C.± D.7
3.(2024浙江高一期末)若函数f(x)=是奇函数,则g(-2)=(　　)
A.1 B.-1 C.- D.
4.(2024浙江高三开学考试)函数y=在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-∞,-2] D.[-2,+∞)
5.(2025浙江阶段练习)函数f(x)=的大致图象是(　　)
6.(多选)已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,>0
7.(2024浙江杭州高一月考)若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在区间[0,+∞)上单调递减,f(x)的部分图象如图所示,则不等式f(x)≥|2x-1|的解集为　　　　　.
8.若a=2.50.4,b=2.50.3,c5=5,则a,b,c的大小关系为　　　　　.
9.若函数y=的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是　.
10.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　　.
11.已知函数f(x)=4x+a·2x+3,a∈R.
(1)当a=-4时,x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
12.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
能力提升
13.(多选)关于函数f(x)=,下列结论中正确的是(　　)
A.当a=0时,f(x)是增函数
B.当a=0时,f(x)的值域为(-1,+∞)
C.当a=1时,f(x)是奇函数
D.若f(x)的定义域为R,则a<2
14.(多选)已知a,b分别是方程2x+x=0,3x+x=0的两个实数根,则下列选项中正确的是(　　)
A.-1C.b·3a15.设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是　　　　　　　.
16.(2024浙江温州月考)已知函数f(x)=为偶函数.
(1)求出a的值,并写出单调区间;
(2)若存在x∈[0,1]使得不等式bf(2x)+1≥f(x)成立,求实数b的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.A
2.C　解析 当x>0时,>0,>0,此时>0;当x<0时,<0,<0,此时<0.
∵+2=5+2=7,
∴=±.故选C.
3.B　解析 当x<0时,-x>0,f(-x)=2-x-3.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=g(x)=-f(-x)=-2-x+3,
故g(-2)=-22+3=-1.故选B.
4.A　解析 因为函数y=在区间[1,+∞)上单调递增,
所以y=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增,则≤1,即a≤2.故选A.
5.B　解析 因为f(x)=,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,C;
当x∈(0,1)时,x2-1<0,2x-2-x>0,故f(x)<0,排除D.
故选B.
6.ACD　解析 f(x)=的定义域为R,关于原点对称,f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故选项A正确,选项B不正确;f(x)==1-,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<1,-2<<0,所以-1<1-<1,可得f(x)的值域为(-1,1),故选项C正确;设任意的x10,+1>0,<0,所以<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以>0,故选项D正确.故选ACD.
7.[-2,1]　解析 由图可知f(-2)=f(2)=0.75,f(1)=1,
所以f(x)≥|2x-1|的解集为[-2,1].
8.b0),则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>c>b.
9.(-∞,-2]　解析 设g(x)=4x+a·2x+1,若函数y=的值域为[0,+∞),则等价于[0,+∞)是g(x)值域的子集,y=g(x)=4x+a·2x+1=(2x)2+a·2x+1,设t=2x,则t>0,则y=h(t)=t2+at+1.∵h(0)=1>0,∴当图象的对称轴t=-≤0,即a≥0时,不满足条件.当t=->0,即a<0时,判别式Δ=a2-4≥0,即则a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].
10.(0,)　解析 当00,a≠1)的图象有两个公共点时,0<2a<1,01时,得无解.综上,a的取值范围为(0,).
11.解 (1)当a=-4时,令t=2x,由x∈[0,2],得t∈[1,4],
y=t2-4t+3=(t-2)2-1,
当t=2时,ymin=-1;
当t=4时,ymax=3.
∴函数f(x)的值域为[-1,3].
(2)设t=2x,则t>1,f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价于t2+at+3>0对任意的t∈(1,+∞)恒成立,
∴a>-(t+)在(1,+∞)内恒成立,
∴a>.
设g(t)=-(t+),t>1,函数g(t)在(1,)内单调递增,在(,+∞)上单调递减,
∴g(t)max=g()=-2,
∴a>-2,即a的取值范围为(-2,+∞).
12.解 (1)因为f(x)=2x+k·2-x,k∈R是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
所以k=-1.
(2)因为对任意的x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,
即2x+k·2-x>2-x成立,
所以1-k<22x对x≥0恒成立,
所以1-k<.
因为y=22x在[0,+∞)上单调递增,所以(22x)min=1,
所以k>0,即k的取值范围为(0,+∞).
能力提升
13.ACD　解析 当a=0时,f(x)==1-,u=4x+1,由函数u=4x+1单调递增,知函数y=1-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=1-在R上单调递增,A符合题意;因为4x+1>1,0<<1,-2<-<0,所以f(x)==1-∈(-1,1),B不符合题意;当a=1时,f(x)=定义域为R,而f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,C符合题意;若f(x)的定义域为R,则4x+1-a·2x≠0恒成立,即a≠,因为=2x+≥2,当且仅当2x=,即x=0时,等号成立,所以a<2,D符合题意.故选ACD.
14.BD　解析 函数y=2x,y=3x,y=-x在同一坐标系中的图象如下,
所以-1a·3b.
15.(-,+∞)　解析 (方法1)令F(x)=f(x)+f(x-)=当x>时,F(x)>+20=1+>1;当0F(0)=>1;当x≤0时,由F(x)=2x+>1,解得-1的x的取值范围是(-,+∞).
(方法2)当x-≤0且x≤0时,由f(x)+f(x-)>1得x+1+x-+1>1,得-1的x的取值范围是(-,+∞).
16.解 (1)因为f(x)=,
所以f(-x)=.
由偶函数知f(-x)=f(x),解得a=1,
即f(x)==2x+,由对勾函数的性质知,当2x∈(0,1),即x∈(-∞,0)时函数单调递减,当2x∈(1,+∞),即x∈(0,+∞)时函数单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)由题意可得b(22x+)+1≥(2x+),
即b[(2x+)2-2]+1≥(2x+),
令t=2x+∈[2,],b(t2-2)+1≥t,
(方法1)g(t)=bt2-t+1-2b,若g(t)≥0在[2,]上有解,即g(t)max≥0.
若b<0,则g(t)max=g(2)=2b-1≥0,解得b≥,此时无解.
若b=0,则g(t)max=g(2)=-1,不符合题意.
若,即b≥,此时g(t)max=g()=b-≥0,解得b≥,
若,即0综上,b的取值范围是[,+∞).
(方法2)由b(t2-2)+1≥t得b≥,
令g(t)=,则b≥g(t)min.
g(t)=,所以b的取值范围是[,+∞).
(方法3)由b(t2-2)+1≥t得,
令g(t)=,则≤g(t)max,g(t)==(t-1)-+2≤,所以b≥.
故b的取值范围是[,+∞).

展开更多......

收起↑