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第7讲
对数与对数函数
数 学
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教材核心知识 课标要求
对数的概念与运算性质 理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数
对数换底公式
对数函数的概念、图象与性质 通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点
同底的指数函数与对数函数互为反函数 知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1)
知能构建 强技能
1.对数的概念
(1)对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a>0,且a≠1) logaN
常用对数 底数为10 lg N
自然对数 底数为e ln N
3.对数函数的图象与性质
类型 a>1 0图 象
性 质 定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0;
当00
是(0,+∞)内的增函数 是(0,+∞)内的减函数
y=logax的图象与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称
4.y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)的关系
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
实战演练 明方向
考向1 集合间的关系
1
-2
A
(2)已知log89=m,log35=n,试用m,n表示log512.
典例3已知10m=2,10n=5,求下列各式的值:
(1)10m-2n;
(2)m+n;
(3).
解 10m-2n=.
解 因为10m+n=10m·10n=2×5=10,所以m+n=1.
解 由10m=2,10n=5,得m=lg 2,n=lg 5,则=log210,=log510,
所以=10+10=20.
考向2　 对数函数的图象和性质
典例4(1)已知关于x的函数y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
A
解析 函数y=ln(x-a)的定义域为(a,+∞).由于y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增,
所以a<1.故选A.
A
典例5(2025浙江温州阶段练习)函数f(x)=x+ln x的图象大致为(　　)
A
解析 函数f(x)=x+ln x的定义域为(0,+∞),故排除D;
由一次函数和对数函数的性质可知,y=x与y=ln x在定义域上单调递增,故f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,排除C;
因为f(1)=1+ln 1=1,所以函数图象经过点(1,1),故排除B.
故选A.
考向3　 复合型对数函数
例6已知函数f(x)=loga(2x-a)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,1) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(1,4)
C
解析 令t=2x-a,y=logat,因为t=2x-a为增函数,函数f(x)=loga(2x-a)在[1,2]上是增函数,所以y=logat为增函数,故a>1.又因为x∈[1,2],t=2x-a≥2-a,所以2-a>0,解得a<2.综上,a的取值范围为(1,2).故选C.
归纳总结对数型复合函数解题要注意以下几个方面,第一是底数的讨论,第二是真数大于零.课时作业7　对数与对数函数
基础巩固
1.log62+log63=(　　)
A.0 B.1 C.log65 D.log125
2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(　　)
3.已知函数f(x)=则f()+f(log23)=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024浙江杭州联考)设函数f(x)=(x2+ax+b)ln x,若f(x)≥0,则a的最小值为(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.1
5.已知实数a,b∈(1,+∞),且log2a+logb3=log2b+loga2,则(　　)
A.a<C.b<6.(多选)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有(　　)
A.函数f(x)在区间(1,2)内单调递增
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
7.(2024浙江杭州高二开学考试)已知x>1,y>1,且log3x=4logy3,则xy的最小值为　　　.
8.(2025浙江7月学考)已知log3N=,则N=　　　　.
9.设方程2x+1+x-6=0的解为x1,方程log2+x-6=0的解为x2,则x1+x2=　　　　　.
10.已知m>0,函数f(x)=lg(2x-m).
(1)当m=1时,解不等式f(x)≤0;
(2)若对于任意t∈[1,],f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值的和不大于1,求实数m的取值范围.
11.已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
(1)当a=2时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
12.已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).
(1)当a=2时,求f(2);
(2)求解关于x的不等式f(x)>0;
(3)若 x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围.
能力提升
13.(多选)已知直线y=2-x分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论中正确的是(　　)
A.x1+x2=2 B.=2e
C.x1ln x2+x2ln x1<0 D.x2ln x1-x1ln x2<0
14.已知函数f(x)=ln(x2-2x+2)-m有两个零点x1,x2,则x1+x2=　　　　　.
15.已知函数f(x)=log3.
(1)若m=4,n=4,求函数f(x)的定义域和值域;
(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为[0,2],求实数m,n的值.
16.已知函数f(x)=loga(2x2-2),g(x)=2loga(x+t),其中a>0且a≠1.
(1)当t=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;
(2)若函数F(x)=af(x)+(t-2)x2+(1-6t)x+8t+1在区间(2,5]上有零点,求实数t的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.B　解析 log62+log63=log6(2×3)=log66=1,故选B.
2.D
3.B　解析 因为f(x)=
所以f()=log4=-1,
又log23>1,所以f(log23)==3,则f()+f(log23)=-1+3=2,故选B.
4.B　解析 函数f(x)定义域为(0,+∞),而当01时,ln x>0,
要使f(x)≥0,则当01时,x2+ax+b≥0.
所以对于函数g(x)=x2+ax+b,
所以a≥-1.故选B.
5.B　解析 由log2a+logb3=log2b+loga2,变形可知log2a-loga2log3b,得log2a+logb3>log3b+loga2,即log2a-loga2>log3b-logb3,所以log2a>log3b,又因为log3b=lo>log2,得log2a>log2,即a>,所以6.ABD　解析 函数f(x)=|ln|2-x||的图象如图所示,由图可得函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A正确;函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1>2,x2>2时,x1+x2>4,故C错误;函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点,故D正确.故选ABD.
7.81　解析 由x>1,y>1,则log3x>0,logy3>0,log3y>0,
又log3x=4logy3,则=4,
即log3x·log3y=4,
又log3xy=log3x+log3y≥2=4=log381,
当且仅当log3x=log3y=2,即x=y=9时,等号成立,
所以xy≥81.
8.　解析 log3N=,所以N=.
9.6　解析 由方程2x+1+x-6=0得2x+1=6-x,
由方程log2+x-6=0得log2=6-x.
由于f(x)=2x+1与g(x)=log2互为反函数,图象关于y=x对称.
如图所示,2x+1=6-x的根为点A的横坐标,log2=6-x的根为点B的横坐标,
因为f(x)=2x+1与g(x)=log2的图象关于y=x对称,且y=x与y=6-x垂直,所以A,B两点为y=x与y=6-x的交点,且关于y=x对称.由解得则x1+x2=6.
10.解 (1)因为m=1,所以f(x)=lg(2x-1)≤0=lg 1,
则解得
不等式的解集为(,1].
(2)由题易知:f(x)为增函数,则f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值分别为f(2t),f(t).
对于任意t∈[1,],f(x)在区间[t,2t]上的最大值与最小值的和不大于1,等价于对于任意t∈[1,]恒成立,
即对于任意t∈[1,]恒成立.
设g(t)=8t2-6mt+m2-10,t∈[1,],
因为m<2,所以g(t)在[1,]上单调递增,
所以g(t)max=g()=m2-9m+8,
令m2-9m+8≤0,解得1≤m≤8.
综上,实数m的取值范围为[1,2).
11.解 (1)当a=2时,函数f(x)=log2(+2),
由不等式f(x)>0,可得log2(+2)>0,
则+2>1,解得x>0或x<-1,
即当a=2时,不等式f(x)>0的解集为{x|x>0或x<-1}.
(2)由函数f(x)=log2(+a)在[t,t+1]上单调递减,因为函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,可得f(t)-f(t+1)≤1,即log2(+a)-log2(+a)≤1,即+a≤2×(+a),
所以a≥.
设1-t=r,因为t∈[,1],则r∈[0,],
可得,
当r=0时,=0,
当0因为y=r+在区间(0,]上为减函数,
可得r++4=,
所以,
所以实数a的取值范围是[,+∞).
12.解 (1)当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2,
∴f(2)=1-1-2=-2.
(2)由f(x)>0得(logax)2-logax-2=(logax-2)·(logax+1)>0,
∴logax<-1或logax>2.
当a>1时,解不等式可得0a2;
当0或0综上所述,当a>1时,f(x)>0的解集为(0,)∪(a2,+∞);
当00的解集为(0,a2)∪(,+∞).
(3)由f(x)≥4得(logax)2-logax-6=(logax-3)·(logax+2)≥0,
∴logax≤-2或logax≥3.
①当a>1时,(logax)max=loga4,(logax)min=loga2,
∴loga4≤-2=logaa-2或loga2≥3=logaa3,解得1②当0∴loga2≤-2=logaa-2或loga4≥3=logaa3,解得≤a<1.
综上所述,实数a的取值范围为[,1)∪(1,].
能力提升
13.ACD　解析 函数y=ex与y=ln x互为反函数,则y=ex与y=ln x的图象关于y=x对称,
将y=-x+2与y=x联立,则x=1,y=1,
由直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),作出函数图象,
则A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为(1,1).
对于A,由=1,解得x1+x2=2,故A正确;
对于B,≥2=2=2=2e,因为x1≠x2,即等号不成立,所以>2e,故B错误;
对于C,将y=-x+2与y=ex联立可得-x+2=ex,即ex+x-2=0,设f(x)=ex+x-2,且函数为增函数,
∵f(0)=1+0-2=-1<0,f()=-2=>0,故函数的零点在(0,)内,
即0x1ln x2+x2ln x1=x1ln x2-x2ln对于D,x2ln x1-x1ln x2=x2ln x1+x1ln故选ACD.
14.2　解析 因为函数f(x)=ln(x2-2x+2)-m有两个零点x1,x2,所以f(x1)=f(x2),
即ln(-2x1+2)=ln(-2x2+2),得-2x1+2=-2x2+2,
即=2(x2-x1),所以x1+x2=2.
15.解 (1)若m=4,n=4,则f(x)=log3,
由>0,得x2+2x+1>0,得x≠-1,
故定义域为{x|x≠-1}.
令t=,则(t-4)x2-8x+t-4=0,
当t=4时,x=0符合.
当t≠4时,上述方程要有解,
则
得到0所以0(2)由于函数f(x)的定义域为R,
则>0恒成立,
则
令t=,由于f(x)的值域为[0,2],
则t∈[1,9],而(t-m)x2-8x+t-n=0,
则由Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0,解得t∈[1,9],
故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,
则得到符合题意.
所以m=5,n=5.
16.解 (1)当t=1时,不等式可化为loga(2x2-2)≤2loga(x+1),
当0当a>1时,得解得1综上,当01时,不等式的解集为(1,3].
(2)函数F(x)=tx2+(1-6t)x+8t-1=t(x2-6x+8)+x-1,
令t(x2-6x+8)+x-1=0,
因为x∈(2,5],所以x-1∈(1,4],则有t≠0,
故-=(x-1)+-4∈[2-4,0)∪(0,],
得0<≤4-2或-<0,
解得t的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).

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