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专题5.1&5.2分式的意义和基本性质八大题型（二）（一课一讲）
【浙教版】
知识点一：分式的基本性质
一、基本性质内容
分式的分子与分母同时乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示：
，
其中、、是整式，且。
二、注意事项
1.乘除的整式不能为0；
2.只能整体乘除，不能只对部分项乘除；
3.结果必须是最简分式(分子分母无公因式)。
题型一：已知代数式的值，求分式的值
（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，则___________．
【答案】5
【分析】已知，设 （），则 ，代入所求分式化简，约去参数即可得到结果．
【详解】解：，
设 （），则 ，
将，代入得：
．
【变式训练1】（25-26九年级下·广东江门·开学考试）如果，那么______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴．
【变式训练2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______．
【答案】
【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值．
【详解】解：∵
∴，且（若，则，与矛盾）
将代入，得
故答案为：．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川广元·期末）已知，，则代数式_________
【答案】/
【分析】此题考查了分式的求值，根据指数相等，求出a和b的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【变式训练4】（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知，则的值为______．
【答案】/0.4
【分析】本题考查分式的求值，掌握知识点是解题的关键．
根据已知比例关系，设参数表示a和b，再代入所求分式计算即可．
【详解】解：由，设，（），则
，
所以．
故答案为：．
题型二：利用设“k”法进行求解
（2026八年级下·全国·专题练习）若，则______．
【答案】
【分析】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．
设，得到，代入分式求值即可．
【详解】解：设 ，则 ，，，
∴
．
故答案为：．
【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是_________________．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的化简，解题关键是设参数求解．
通过引入比例常数，将、、用表示，然后代入分式化简．
【详解】解：设，则，，，
．
故答案为：．
【变式训练2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．
【详解】解：，
可设，，，
．
【变式训练3】（25-26八年级上·河北张家口·月考）阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，则，，，所以
参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握．
设，则，，，然后代入分式计算即可．
【详解】解：设，则，，，
∴．
【变式训练4】（2025八年级上·全国·专题练习）若，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则.
设已知等式等于k，分别表示，代入原式计算即可得到结果.
【详解】解：设，
则，
所以原式．
【变式训练5】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法：
例：已知，求分式的值．
解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得
原式．
方法二：设，则，把它们代入原式，得
原式．
根据以上解题方法解答下题：
已知，试求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可．
【详解】解：方法一：∵，
∴，，
∴
；
方法二：∵，
∴，
设，则，
∴
．
【变式训练6】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，设，则，，，代入原式进行计算即可；或由题意得出，．将，代入，进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，，，
∴原式；
另解：∵，
∴，．
将，代入，
得
．
题型三：利用整体带入进行求解
（25-26九年级上·四川成都·期中）已知且，则_________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的求值．由变形得到，然后代入所求代数式，化简后得到1．
【详解】解：由，两边同乘（），得：
∴
故答案为：1．
【变式训练1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，那么的值是________．
【答案】
【分析】本题利用分式的基本性质，巧妙运用已知条件是解题的关键．先将分式的分子分母变成含有的形式，再进行转换即可解答．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【变式训练2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若，则_____ ．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值；将，代入分式，进而化简，即可求解．
【详解】解：
原式
．
故答案为：．
【变式训练3】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可．
【详解】解：由得，，
将代入上式得，
原式．
【变式训练4】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ．
题型四：分式求值（三元一次方程、先求倒数等）
（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的求值，准确计算是解题的关键．先根据，整理得，，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
则，
∴
．
【变式训练1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题关键．先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
【变式训练2】（25-26八年级上·福建福州·期末），，是三个互不相等且非零的实数，若，，则的值为___________．
【答案】
【分析】此题考查了代数式求值、分式的求值等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由条件和，代入消元得到关于的方程，进而将目标表达式化为关于多项式，利用方程关系化简求值即可．
【详解】解：∵，代入，
得，
整理得，
∵，
∴两边除以得，
设则，
即，
∵，
∴将代入，
得，
故答案为：11．
【变式训练3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）若三个有理数a，b，c，满足，则________．
【答案】2或
【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，多个有理数的乘法运算，已知式子的值，求代数式的值，分式的求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据题意，分a，b，c均为正数与a，b，c有两个负数和一个正数，两种情况，分别计算两种情况下表达式的值．
【详解】解：因为，所以，
因此a，b，c均为正数或有两个负数和一个正数．
当a，b，c均为正数时，
，，，，
所以原式；
当a，b，c有两个负数和一个正数时，
不妨设， ， ，
则，，，，
所以原式．
因此，原式的值为2或，
故答案为：2或．
【变式训练4】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）已知，，则的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，由给定等式变形为关于的二次方程，结合条件确定，再代入所求表达式计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练5】（25-26八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
【答案】类比探究：；拓展延伸：
【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键．
类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解；
拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可．
【详解】解：类比探究：由，知，
，即，
，
，
．
拓展延伸：∵，，，
，且，
．
，
．
题型五：利用分式的基本性质判断分式值的变化
（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”解答，将扩大后的x，y代入原分式化简即可得到结果．
【详解】解：∵x，y都扩大为原来的4倍后，新分式为，
约去分子分母的公因式4后得，与原分式相等，
∴分式的值不变．
【变式训练1】（25-26八年级上·广西钦州·期末）若分式中，都扩大为原来的5倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的5倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的10倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是将、替换为、后代入原分式并化简，再与原分式比较．
把、分别替换为、，代入分式后提取公因式化简，观察化简结果与原分式的倍数关系．
【详解】解：将，都扩大为原来的5倍，
则新分式为，
化简得，
，
所以该分式的值扩大到原来的5倍．
故选：B．
【变式训练2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________．
【答案】10倍
【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可．
【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为，
故新分式的值是原分式的10倍．
故答案为：10倍．
【变式训练3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
则新分式为，
故答案为：．
【变式训练4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为______．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：3．
【变式训练5】（25-26八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值_______________．
【答案】扩大为原来的倍
【分析】本题考查了用分式的基本性质判断分式值的变化，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算化简即可．
【详解】解：把分式中的值都扩大倍，
可得：，
∵，
∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍．
故答案为：扩大为原来的倍．
题型六：将分式的分子分母的最高次项化为正数
（25-26八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案．
【详解】解：．
故选：D
【变式训练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
【变式训练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．
（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【变式训练3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解．
（1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案；
（2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
题型七：使得分数的值为整数时未知数的整数值
（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况．
【详解】解：整理得： （）.
设 （ 为整数），
则 ，
∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数，
∴ 为 2 的约数，即 .
当 时，，;
当 时，，;
当 时，，;
当 时，，.
所有 均满足 ，
∴ 整数 的值有 4 个.
【变式训练1】（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．8个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．
将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：
，
若要的值为整数，只需为整数即可，可以是，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个，
故答案为：D．
【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（ ）
A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，
先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案.
【详解】解：∵，
∴ .
∵x和y都是正整数，
∴是正整数，
即是4或8.
当时，；
当时，.
所以y的正整数值是12或15.
故选：C.
【变式训练3】（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断．
【详解】解：，
当和时，分式的结果都等于一个整数，
观察四个选项，选项D符合题意；
故选：D．
【变式训练4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数．
【答案】1或或2或
【分析】此题考查分式的值．
先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值．
【详解】解：
∵m为整数，分式的值也为整数．
∴是整数，
∵是奇数，
∴或，
解得整数1或0或2或，
故答案为：或或2或
【变式训练5】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可．
【详解】解：分式的值为整数，
是的约数，即，，，
当时，；
当时，；
当时，，不是整数；
当时，，不是整数；
当时，，不是整数；
当时，，不是整数，
符合条件的整数为和，
它们的和为；
故答案为：．
【变式训练6】（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．
【答案】，，0，1
【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可．
【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数，
∴或或或，
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
因此，x的值为，，0，1；
故答案为，，0，1．
题型八：分式的基本性质阅读题型
（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由，得，
∴，即，
∴．
请你借鉴上面的方法解答下面的问题：
(1)已知，则的值为______，的值为______；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的求值．
（1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解；
（2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解；
（3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解
【详解】（1）解：由，得，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：由，得，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由，得，
∴，
∴，
∴．
【变式训练1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：∵，
∴，
∴．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，求分式的值；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，求分式的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键．
（1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案；
（2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案；
（3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，
∴为整数，即为整数，
又∵
∴或，
∴或；
（3）解：∵
∴
，
∴．
【变式训练2】（24-25八年级上·湖北黄石·月考）已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，进而得到，，，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
同理可得，
当时，，
∴无意义，
∴，
∴
．
【变式训练3】（25-26八年级上·吉林·期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）；
(2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势；
(3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________．
【答案】(1)减小；增大；减小
(2)，当时，随着的增大，的值随之增大
(3)2
(4)
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
（1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案；
（2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势；
（3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2；
（4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大；
，
∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小；
（2）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大；
（3）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，
当x无限增大时，则无限接近于0，
∴此时的值无限接近2；
（4）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大，
当时，，当时，，
∴当时，．
【变式训练4】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键．
（1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【详解】（1）证明：设，则，，…，，
…，
，
；
（2）解：设，则，，，
所以．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1&5.2分式的意义和基本性质八大题型（二）（一课一讲）
【浙教版】
知识点一：分式的基本性质
一、基本性质内容
分式的分子与分母同时乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示：
，
其中、、是整式，且。
二、注意事项
1.乘除的整式不能为0；
2.只能整体乘除，不能只对部分项乘除；
3.结果必须是最简分式(分子分母无公因式)。
题型一：已知代数式的值，求分式的值
（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，则___________．
【变式训练1】（25-26九年级下·广东江门·开学考试）如果，那么______．
【变式训练2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川广元·期末）已知，，则代数式_________
【变式训练4】（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知，则的值为______．
题型二：利用设“k”法进行求解
（2026八年级下·全国·专题练习）若，则______．
【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是_________________．
【变式训练2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）已知，求的值．
【变式训练3】（25-26八年级上·河北张家口·月考）阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，则，，，所以
参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【变式训练4】（2025八年级上·全国·专题练习）若，求的值．
【变式训练5】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法：
例：已知，求分式的值．
解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得
原式．
方法二：设，则，把它们代入原式，得
原式．
根据以上解题方法解答下题：
已知，试求分式的值．
【变式训练6】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求分式的值．
题型三：利用整体带入进行求解
（25-26九年级上·四川成都·期中）已知且，则_________．
【变式训练1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，那么的值是________．
【变式训练2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若，则_____ ．
【变式训练3】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值．
【变式训练4】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值．
题型四：分式求值（三元一次方程、先求倒数等）
（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，求的值．
【变式训练1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值．
【变式训练2】（25-26八年级上·福建福州·期末），，是三个互不相等且非零的实数，若，，则的值为___________．
【变式训练3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）若三个有理数a，b，c，满足，则________．
【变式训练4】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）已知，，则的值为________．
【变式训练5】（25-26八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
题型五：利用分式的基本性质判断分式值的变化
（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍
【变式训练1】（25-26八年级上·广西钦州·期末）若分式中，都扩大为原来的5倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的5倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的10倍
【变式训练2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________．
【变式训练3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________．
【变式训练4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为______．
【变式训练5】（25-26八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值_______________．
题型六：将分式的分子分母的最高次项化为正数
（25-26八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：
(1)；
(2)．
【变式训练3】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
(1)；
(2)．
题型七：使得分数的值为整数时未知数的整数值
（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练1】（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．8个
【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（ ）
A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13
【变式训练3】（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数．
【变式训练5】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________．
【变式训练6】（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．
题型八：分式的基本性质阅读题型
（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由，得，
∴，即，
∴．
请你借鉴上面的方法解答下面的问题：
(1)已知，则的值为______，的值为______；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【变式训练1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：∵，
∴，
∴．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，求分式的值；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，求分式的值．
【变式训练2】（24-25八年级上·湖北黄石·月考）已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值．
【变式训练3】（25-26八年级上·吉林·期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）；
(2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势；
(3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________．
【变式训练4】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．

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