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四川省成都市第七中学初中学校2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．的绝对值是( )
A． B．10 C． D．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
4．点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一组数据6，2，9，3，8则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
6．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
7．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为3
B．该函数图象的对称轴为直线
C．该函数图象开口向上
D．当时，函数值随的增大而减小
二、填空题
9．若，则的值为_____．
10．当______时，分式与分式的值相等．
11．物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________．
12．不透明的袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为________．
13．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为__．
三、解答题
14．计算及解不等式组
(1)计算：；
(2)解不等式组：．
15．教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
17．如图，是的直径，弦于点，连接、，过点作的切线，与的平分线交于点，与交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求和的长．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、
(1)求点的坐标及反比例函数的关系式；
(2)如图2，若过点的直线交轴正半轴于点，交反比例函数的图象于点，
①若，求的面积；
②在①的条件下，反比例函数的图象上有一动点，若点的横坐标为，且点关于直线的对称点为，当为直角三角形时，求点的横坐标的值．
四、填空题
19．满足不等式的整数的值是________．
20．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
21．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为，则这个“莱洛三角形”的面积是________．（结果保留根号和）
22．如图，四边形中，对角线与交于点，，，，，则______．过点作交的延长线于点，则______．
23．定义：若点（为常数，且在函数的图象上，则称为的倍关联点．如：点，都是函数：的倍关联点．
（1）若点是函数：的倍关联点，则点的坐标为________；
（2）函数与函数：交于点、两点，且有、两个倍关联点，则的面积为________．
五、解答题
24．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个．乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
25．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，与轴负半轴交于点．
(1)求抛物线解析式和点的坐标；
(2)连接，，过点的直线交抛物线于另一点，当时，求点的坐标；
(3)过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在中，，点为内一点，连接，以为斜边构造直角，使，且，点在直线的上方，连接、，与交于点
(1)如图1，若，
①求的值；
②如图2，，当点为的三个内角的角平分线交点时，求的值；
(2)如图3，若，，当、、共线时，探究当为何值时，是以为腰的等腰三角形．
参考答案
1．A
解：因为为负数，
所以的绝对值为，
故选A．
2．D
解：根据主视图的定义可知，从正面看，从左往右分别有个小正方形．
故选D．
3．D
解：A．与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B．，故错误，不符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，故正确，符合题意；
故选：D．
4．D
解：∵点，
∴关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为，
∴点关于原点的对称点的坐标为．
故选D．
5．C
解：这组数据按大小顺序排列：2，3，6，8，9，排在最中间的数据是6，
所以其中位数是6，
故选：C．
6．B
解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴．
7．C
解：设该店有房客人，客房间，依题意得：
，
故选：C．
8．A
解：∵，，
∴抛物线开口向下，故C错误；
对称轴为直线，故B错误；
函数有最大值，最大值为 ，故A正确；
当时，随增大而增大，故D错误．
故选A．
9．
解：∵，， ，
，
解得，．
∴．
故答案为：．
10．
解：根据题意得：
去分母得：2-x=3（x+1），
解得：x=
经检验x=是原分式方程的解，
故答案为：．
11．
解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了．
故答案为：．
12．/
解：由概率计算公式可得，摸到绿球的概率为．
13．3
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝5，
在Rt△ADE中，AD＝＝3，
在Rt△ADC中，AC＝＝3．
故答案为：3．
14．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：，
由①得，
由②得，
∴解集为．
15．(1)，
(2)见解析
(3)人．
（1）解：随机抽取部分学生的总人数为（人），
∴，
即，
“羽毛球”对应扇形的圆心角为，
故答案为：，
（2）随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）（人）
答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人．
16．6.3cm
解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中，，，
∴（cm），∠ABG=30°，
∵，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中，，∠BCF=70°，
∴（cm），
∴CD=FG=（cm），
即点到的距离为6.3cm．
17．(1)见解析
(2)，
（1）证明：是的切线，
，
，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
．
18．(1)，反比例函数的关系式是
(2)①②或
【详解】（1）将代入一次函数，得
，解得，
故．
将代入反比例函数，得
，解得，
∴反比例函数关系式为．
联立方程，得
，即，解得．
对应，故．
（2）①设直线解析式为．
把代入，得，
∴，
∴直线解析式为，
令，得，即（时）．
与反比例函数联立，得，
整理得，即．
解得，，
∴，
故．
∴．
因为在左侧，在右侧时（），
∵，
∴，即，，
∴，解得，
∴，．
此时直线方程为．
如图，过点D作轴交直线于点F，则，
∴，
．
②由①知．
反比例函数上点，其中．
点关于直线的对称点为．
∴
分三种情况讨论直角三角形：
若，则，即
代入化简得，
因式分解为，在内无解．
若，则，即
代入化简得，
因式分解为，在内得．
若，则，即
代入化简得，
解得，其中满足．
经检验，和均使三角形构成直角三角形．
∴或．
19．或或
【分析】估算下的大小，即可得出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
又∵为整数，
∴，
∴或或．
20．-3．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
21．/
解：如图，作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，
由题意可知，，
∴这个“莱洛三角形”的面积是．
故答案为：．
22．
解：如图，作于点，的延长线于点，作的平分线交于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
如图，延长交的延长线于点，作交的延长线于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴由上可知，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23． 或
解：（1）设点的坐标为，
将代入，得，
，
解得，
∴点的坐标为或；
（2）由题意可知，点、在直线上，
联立方程，
解得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，即，
∴，
联立方程，
解得或，
∴点的坐标为，
联立方程，
解得或，
∴点的坐标为，
如图，过点作轴的平行线，交于点，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
点到的距离为，点到的距离为，
∴．
24．（1）购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）至多需要购买25个甲种笔记本．
解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a＋5（35 a）300，
解得：a25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
25．(1)
(2)
(3)当时，为定值
（1）解：将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
∴点；
（2）解：令时，，
∴点
设过点的解析式为，得
解得，
∴直线的解析式为．
当时，，
设直线的解析式为，且经过点，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
将两个函数解析式联立，得，
解得，
则，
∴点；
（3）解：设点，
设直线的解析式为，
将点E的坐标代入，得，
∴．
当时，，
∴点，则；
设直线的解析式为，
将点F的坐标代入，得，
∴．
当时，，
∴点，则，
∴．
设直线的解析式为，
将两个函数解析式联立，得
，
则，
即，
∴，
∴，
所以当时，为定值．
26．(1)①；②2
(2)或
（1）解：①∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点作交于点，
由①得，和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的三个内角的角平分线交点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
∵，
∴，即，
解得（舍去负值），
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∴，
∴，
设，则，，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴或，
①当时，作于点，如图：
则，，
∵、、共线，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去负值），
∴；
②当时，
则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去负值），
∴；
∴综上，当为或时，是以为腰的等腰三角形．

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