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高2026届高三年级质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
B
B
0
A
G
ABC
B
ABD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.B【解析】A=(-1,3),AnB=11,2.
28【标1：=2-2.g+号
~了+1，复数x所对应的点位于第二象限
3.D【解析】a+b=(3,4+t),3a-b=(5,12-t),由题知3(12-t)=5(4+t),解得t=2.
4c【架折1音-a+6j(日+-5+老=5+2化日-9，当诅仅当。写b-号时取等
5A【解析】设a+g=0,则cs0=写，6m(2a-君)=5n(20-月》=-6m20=1-2cs0-子
6
6
6c【解析1当a-21得a-1≥3时.0，-05-20品当=1中
5-2n2n-5
17结合函数y=2的图象知，4=3最大，义4>1，枚第4项为最大项
一2
02
7.C【解析】由圆的性质知OPLPC,故点P的轨迹是以OC为直径的圆位于圆C内部的一段圆弧，
以0优为直径的周的为老款：-+-多'-1，
设此圆与圆C的两个交点为M、N,OC中点为D,则1CD川=1DM1=ICM1=1,
∠MDC=子∠DN-,则孤v的长度为1-
8.C【解析1Hf(x)+f(x+4)=0得代x+8)=-f(x+4)=f代x),∴代x)的周期为8，
Hf代x+1)为偶函数知f代1-x)=f代1+x),故y=f代x)的图象关丁x=1对称，
∴.f8)=f0）=f(2)=2,f4)=-f0)=-2,f(6)=-f2)=-2,
∴.f2)+2f4)+3f6)+4f8)=0.5f10)+6f12)+7f(14)+8f(16)=0,…,
营2)-2550)-50，欧使三2)>50，必有>25，
m22)-复2)=25x2+26×(-2)<0,
22)=22)=25×2+26×(-2)+27×(-2)<0,224)=0,
82)=2958)=29×2>50,故n的最小值为29.
数学试题参考答案第1页{共8页)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9.ABC【解析】详见选择性必修三教材第112页.
10.BG【解析】中过点作圆的切线段等长可知，1=a+五=1，所以A错误；
再由圆台测面积公式(r1+2)=(a+)=T,所以B止确；
梯形屮，H勾股定理得，2=(a+b)2=(a-b)2+(2R)2,求得ab=R2,所以C正确；
圆台休积：V-gr(云+62+aw)·2R=3[(a+b)2-ab]·2圆-3[1-ad]·2a,
令x=vade(0,2),则V=3m(1-)2x=子(x-,
2
求宁得=子π(1-3)>0在(0，)城立，
.(x),无最大值
1.ABD【解析1h题总-号，2=a2+,可很e=片号A止确，
如图，设M为△AF,F2的内心，△AF,F2的内切圆与三边切于点P,Q,R,
.2a=IAFI-1AF2I=(1AQ+1QF1)-(IARI +IRF21)=10FI-IRF2I =IPF I-IPF2I,
IPF I IPF2I =2c,
.IPF I=c-a,IPFl =c+a,
设∠AF1F2=2∠MF1F2=2x,∠AF2F=2∠MF2F1=2B,
∴.r1=|MP|=|F,Pl·tamc=IPf2I·tnB,即r1=(c-a)·tan=(c+a）·tnB,
由6=号，tma=m8,B正输：
9
8
1
1
rh=(c-a）·tna=5w·tna=5a心tana=8,
直线1的斜率为m20-格.C标误：
设N为△ABF2的内心，⊙N与△ABF2三边切于点I,J,R,
2a=IBFI-IBF2I =1BI+TFI-IBJI -IJF,I=IIFI-IJF2I
=IMI+AFI-1J21=AKI +AFI-IKF21,
又2a=|AF2I-IAF,I=|AKI+IKF2I-|AF,I,两式相加可行|AKI=2a,
:∠MK=∠BE,=a+B.2=IK1=IAKItan∠NMK=2aian(x+B),
1=(c-a）·tan&-4.tan&=4.tna(1-tanotan B2
r2 2atan(a+B)5 tan(a+B)5 tan a +tan B
代人amB=号ana得，-专(9-4uaa）,
4
265N
2。-号e得amu-0子e(治D正流
lan 2g=
T2
数学试题参考答案第2页{共8页)重庆市南开中学高 2026届高三年级质量检测（七）
数学试题
2026.3
注意事项:
1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题
卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ,则
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ,则在复平面内,复数 所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 ,若 ,则实数
A. -2 B. C. 1 D. 2
4.设正实数 满足 ,则 的最小值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.已知 ,则
A. B. C. D.
6.已知数列 满足 ,当 时, ,则数列 的最大
项为
A.第 2项 B.第 3项 C.第 4项 D.第 5项
7.过原点 作直线交圆 于 两点,弦 的中点为
,则点 的轨迹长度为
A. B. C. D.
8.已知定义在 上的函数 满足: 为偶函数,且
,若 50,则正整数 的最小值为
A. 21 B. 25 C. 29 D. 33
二、多项选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求.全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错得 0分.
9.成对数据 和 的一元线性回归模型为 ,依据模型可建立
经验回归方程 +á,用回归方程可得到响应变量 的预测值及残差,残差是随机
误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果.对下列四幅残差
图的描述正确的是
A.图甲
显示残差的方差随观测时间变大而变大
B.图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设
C.图丙说明残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分
D.图丁说明残差与观测时间有线性相关性,故满足一元线性回归模型对随机误差的
假设
10.在一个圆台形容器内放入一个球体,该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切,轴
截面如图所示.设球心为 ,半径为 ,圆台的母线为 ,上、下底面的半径分别为
.若已知 ,则
A.
B.圆台的侧面积为
C.
D.圆台体积的最大值为
11.已知双曲线 的一条渐近线为 是
双曲线 的左、右焦点,过 的动直线 与双曲线 的左支交于点 ,与右支交于点
,点 均在 轴上方,设 与 的内切圆半径分别为 ,则
A.双曲线 的离心率为 B.
C.若 ,则直线 的斜率为 D. 的取值范围是
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12.在 中，角 的对边分别为 ，若 ， 的
面积为 ，则 _____.
13.若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为_____.
14.已知 5支球队两两之间都要进行一场比赛,任意两支球队之间的比赛都没有平局,
则有且只有 2支球队恰好获胜 3场的情况种数为_____. (用数字作答)
四、解答题:本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13分)
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期及对称中心坐标；
(2)已知 ，若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同实
根，求 的取值范围.
16. (本小题满分 15分)
已知正方形 的边长为 ，将 沿 翻折至 ，如图，在二面
角 内有一点 ，满足 ,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若二面角 大小为 ，求 与 所成角的余弦值.
17. (本小题满分 15分)
某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警.据临床数
据，其用户群体中该疾病的患病率约为 0.5%，手环单次分析会给出“预警”或
“无预警”结果，其性能如下:
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为 99% (灵敏度)；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为 5% (误报率).
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析.
(1)求此次分析触发预警的概率；
(2)记事件 为“此次分析触发预警”,事件 为“该用户确实患病”.
(i)求 ;
(ii)结合 (1)和 (2) (i)的结果,说明 与 在医学预警中的不同
含义,并分析:若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为
什么？
18. (本小题满分 17分)
已知动点 分别在直线 和 上,且 为 的
中点,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 在曲线 上， ，且 的外心 在直线 上.
(i)若直线 过点 ,求直线 的方程;
(ii)求点 到直线 距离的最大值.
19. (本小题满分 17分)
已知函数 .
(1)证明: ；
(2)已知数列 满足: ， ， .记 .
(i)证明: ;
(ii)是否存在小于 的实数 ,使得 对任意的正整数 成立 若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考数据:

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