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2026 定海三校联考初中毕业生第一次学科素养数学质量监测 空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐 人，则空余两辆车；若车乘
注意事项： 坐 人，则有 人步行，问人与车各多少？设有 人， 辆车，可列方程组为（ ）
1．全卷共三大题，24小题，共 8页。满分 120分，考试时间 120分钟。
2．全卷分卷 I（选择题）和卷 II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答。卷 I的答案必须用 2B铅笔填涂；卷 II的答 A． B． C． D．
案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上。
3．考试时不能使用计算器。
第 I 卷（选择题） 7．在平面直角坐标系 中，四个点的坐标分别为 ， ， ， ．若
一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
一次函数 的图象经过上述四个点中的三个点，则 的值为（ ）
1．有理数 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．2026 8．如图，在矩形 中，对角线 与 交于点 O，点 E在 边上，连接 交 于点 F．若 ，
2．如图是一个由 5个大小相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
9．如图，在 中，已知 ， ， ． 把 以点 B为中心逆时针旋转，使点 C
3．截止到 2025年 2月 15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到 112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（ ） 旋转至 边延长线上的 处，那么 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”
A． B． C． D．
的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正
面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（ ） 10．如图，矩形 和正方形 面积相等，点 B在边 上，点 G在 上， 交 于 M点， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车
A． B． C． D．
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第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本题有 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
18．在用配方法解方程 时，小颖的解法如图：11．分解因式： ______．
12 第一步：移项，得 ．．观察 ， ， ， ， ，根据这些代数式的变化规律，可得第 2026个代数式是__________．
第二步：配方，得 ，
13．一组数据 1，2， 的平均数为 3，另一组数据 ， ，1，2， 的唯一众数为 ，则数据 ， ， ，1，2，4
即 ．
的中位数为________．
14．如图，正五边形 的边长为 2， 经过点 ，则阴影部分扇形的 的长为_____． 第三步：两边开平方，得 ．
第四步：所以，
请回答：
(1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
15．若 x，y为实数，且 ，则 _____．
16．如图， 内接于 ， 是 上一点， ，连接 交 于 ， 平分 ， ，
，则 ___________．
19．已知，如图， 于点 于点 ．
三、解答题（本题有 8 小题，第 17～21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，第 24 题 12 分，共
(1)求证： ；
72 分）
(2)求证： ．
17．计算： ．
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20．4月 18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的 2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在我国不夜城长 21．周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面 PQ切摩天轮 于点 A，小明在
沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度， 摩天轮上 M处时发现，小亮在 A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面 B处排队，若 为摩天轮
为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校 的直径，请解决以下问题．
3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科
普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)求证： 平分 ；
(2)若摩天轮的直径 为 ，且小明到地面的高度 为 ，求小亮与小明之间的距离是多少？
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次抽样共调查了________名学生，m的值为________；
(2)补全条形统计图；
(3)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
22．发展共享单车服务有力地推动了绿色出行．图 1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图 2是其示意图，
其中 ， 都与地面 l平行，车轮半径为 ， ， ，坐垫 E与点 B的距离 为 ．
(1)求坐垫 E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫 E到 的距离调整为人体腿长的 0.8时，骑行比较舒适．小明的腿长约为 ，现将坐垫 E
调整至骑行舒适高度位置 ，求 的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
）
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（4）在【归纳探究】中，一段 200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，
至少要在这一段路上建造___________________个路灯．
23．
24．问题提出
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 的影
子为 ，小明（ ）站在路灯旁边，影子为 ．经测量， 长 2米， 长
(1)如图①， 为 上一点，连接 、 ，当 时， __________ ．
0.5米，小明的身高为 1.5米．
问题探究
(2)如图②，在边长为 6的等边 中， 为 的中点， 为 边上任意一点，连接 ，并作 ，
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻， 使得 的一边与 交于点 ，试求出 的最大值．
小明站在 G点处，其影子顶部与路灯 的影子重合，测得小明的影子 的长为 问题解决
4.5米．小明从点 G出发，前行 12米走到 E点，此时他正好可以在平面镜上的 C点 (3)如图③，四边形 为某美食商业区的平面示意图，其中 ， ， ， ．
看到路灯的顶端 A点，测得小明到平面镜上 C点的距离为 1米，小明的身高为 1.5 经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片
米．（忽略小明眼睛到头顶的距离） 三角形区域用于美食烹饪表演．
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如 方案：在 上选取一点M， 上选取一点 ，连接 、 、 ，构造 ．已知点 为美食商业区的出
下： 入口， ，设 ．
高度/米 4 6 8 10 （i）求 与 之间的函数关系式．
照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点 与点 的距离足够远，请你根据需求计
照明范围/ 算出当 最大时 的面积．平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等）
同学们搜集了一则材料：
根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在 10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯 的高度：____________________．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯 的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为 x）与照明亮度的平方（设为 y）的关系式．
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参考答案
一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选、错选，均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A C B D C D A
二、填空题（本题有 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11． 12． 13． /
14． 15．4 16．10
三、解答题（本题有 8 小题，第 17～21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12
分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．
解：原式
．
18．（1）解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
（2）解：
或
∴ ， ．
19．（1）证明：连接 ，如图所示：
在 和 中，
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，
，
；
（2）证明：由（1）可知： ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
20．（1）解：这次调查的学生人数为 （人）；
D类的人数为 （人）．
，
∴ ．
（2）解∶补图如下∶
（3）解： （名）
21．
（1）证明：如图所示，连接 ，
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∵ 切 于 ，
∴ ．
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：∵ 直径，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
22．（1）解：如图 2，过 E点作 于 F点，
∵ ， ，
∴在 中， ， ， ，
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∴ ，
∵车轮半径为 ，
∴坐垫 E到地面的距离为 ；
（2）解：∵小明的腿长约为 ，
∴坐垫 到 的距离调整为人体腿长的 0.8时，
如图 3，过 作 于 G点，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
23．解：（1）由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 米，
故答案为： 米；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
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由题意可得 米， 米， 米，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
（3）由表格数据得 ，
∴ ，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为 ；
（4）∵ ，
∴高度为 米， 米， 米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵ ，
∴高度为 米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为 （米），
，则至少需要 个路灯．
24．（1）解： ，
，
， ，
，
，
，
．
（2）解： 是等边三角形， ，
， ．
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，
，
，
．
设 ，则 ，
为 的中点，
，
，整理得 ，
当 时， 有最大值，最大值为 3，即 的最大值为 3．
（3）解：（i）如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，过点 作 ，
根据题意可知， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
．
设 ．
，
，
整理得 ．
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（ii）如图，过点 作 的垂线，与 的延长线交于点 ，与 交于点 ．
由（i）可知， ，
当 时， 取得最大值为 ，
即当 时， 有最大值为 ，
，
设 ， ，
，
，
，
．
，
，
， ，
， ，
，
∴当 最大时， 的面积为 ．
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