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课时作业11　三角函数的图象与性质
基础巩固
1.函数f(x)=2cos2x-1的最小正周期为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
2.(2025浙江阶段练习)下列直线为函数f(x)=sin(x+)图象的对称轴是(　　)
A.x=0 B.x= C.x= D.x=-
3.已知函数f(x)=2cos(2x-),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的一个零点为 D.f(x)在[]上的最小值为1
4.“φ=kπ+(k∈Z)”是“函数f(x)=cos(ωx+φ)是奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.将函数y=sin(2x+)的图象经过怎样平移后,所得的图象关于点(-,0)成中心对称(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
7.已知函数f(x)=tan x-ksin x+2(k∈R),若f()=-1,则f(-)=(　　)
A.0 B.1 C.3 D.5
8.(多选)设f(x)=sin(2x-),则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.x=是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在()内单调递增
D.f(x)向右平移个单位长度后为一个偶函数
9.(2024浙江杭州高二检测)设ω>0,若函数f(x)=cos ωx在区间[0,]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是　　　　　　.
10.已知函数f(x)=sin(2x+)在[,m)内既有最大值又有最小值,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.
11.已知函数f(x)=2sin(2x+).
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数f(x)在[0,m]上的值域为[-2,],求实数m的取值范围.
12.已知函数f(x)=2sin(2x+)+a+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1,且x∈[-π,π]的x的取值集合.
能力提升
13.(多选)函数f(x)=3sin(2x+φ)的部分图象如图所示,则在下列选项中正确的有(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f()是f(x)的最小值
C.f(x)在区间[0,]上的值域为[-]
D.把函数y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,可得到函数y=3sin 2x的图象
14.已知函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)在[0,π]上的值域为[-1,],则ω的取值范围为　　　　　.
15.已知函数f(x)=3sin(2x+),x∈R.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)当016.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[-]时,不等式|f(x)-m|≤1有解,求实数m的取值范围.
参考答案
基础巩固
1.A　解析 因为f(x)=2cos2x-1=cos 2x,所以T==π.故选A.
2.A　解析 函数f(x)=sin(x+)=-cos x,
其图象的对称轴为直线x=kπ,k∈Z,所以直线x=0是函数f(x)=sin(x+)图象的一条对称轴.故选A.
3.D　解析 函数f(x)=2cos(2x-),周期为T==π,故A错误;函数图象的对称轴为2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,故x=不是图象的对称轴,故B错误;函数的零点为2x-=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以不是零点,故C错误;当x∈[]时,2x-∈[0,],所以≤cos(2x-)≤1,即1≤2cos(2x-)≤2,所以f(x)min=1,故D正确.
4.C　解析 若f(x)=cos(ωx+φ)是奇函数,则f(0)=cos φ=0,φ=+kπ,k∈Z.所以“φ=kπ+(k∈Z)”是“函数f(x)=cos(ωx+φ)是奇函数”的充要条件,故选C.
5.B　解析 设将函数y=sin(2x+)的图象向左平移φ个单位长度,得y=sin(2x+2φ+)的图象,因为该图象关于点(-,0)成中心对称,所以2×(-)+2φ+=kπ,k∈Z,则φ=,k∈Z,当k=0时,φ=-.故应将函数y=sin(2x+)的图象向右平移φ=个单位长度,故选B.
6.C　解析 在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示.
由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点.
7.D　解析 ∵f()=tan-ksin+2=-1 tan-ksin=-3,∴f(-)=tan(-)-ksin(-)+2=-tan+ksin+2=5.故选D.
8.AC　解析 选项A,由题意T==π,A正确;选项B,f()=sin()=0,所以x=不是图象的对称轴,B错误;选项C,令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,所以f(x)在()内单调递增,C正确;选项D,g(x)=sin[2(x-)-]=sin(2x-),所以g(-x)≠g(x),即平移后不是偶函数,D错误.故选AC.
9.[3,5)　解析 因为函数f(x)=cos ωx在区间[0,]上有且仅有2个零点,且当x=0时,ω·0=0,
所以≤ω·,解得3≤ω<5.
10.(,π]∪(,+∞)　解析 令t=2x+,x∈[,m),所以t∈[,2m+),所以f(x)=sin t,t∈[,2m+).因为函数f(x)=sin(2x+在[,m)内既有最大值又有最小值,所以2m+<2m+,即m>11.解 (1)由题意可知,f(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-],k∈Z.
(2)因为x∈[0,m],所以2x+∈[,2m+],
令t=2x+,即t∈[,2m+],
画出y=2sin t在[0,3π]的图象如下.
因为f(x)在[0,m]上的值域为[-2,],
所以≤2m+,解得≤m≤,
即实数m的取值范围为[].
12.解 (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)因为当x=时,f(x)取得最大值,
即f()=2sin+a+1=a+3=4,解得a=1.
(3)由f(x)=2sin(2x+)+2=1,
可得sin(2x+)=-,则2x++2kπ,k∈Z或2x++2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,
又因为x∈[-π,π],可解得x=-,-,
所以x的取值集合为{-,-}.
能力提升
13.ABD　解析 函数f(x)=3sin(2x+φ)的图象过点(,3),可得3sin(2×+φ)=3,即sin(+φ)=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,∴函数解析式为f(x)=3sin(2x++2kπ)=3sin(2x+).对于A,函数的周期T==π,故A正确;对于B,f()=3sin(2×)=-3,故B正确;对于C,∵x∈[0,],∴2x+∈[],利用正弦函数的性质知sin(2x+)∈[-,1],可得f(x)=3sin(2x+)∈[-,3],故C错误;对于D,函数y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,可得到函数y=3sin[2(x-)+]=3sin 2x的图象,故D正确.故选ABD.
14.[]　解析 因为0≤x≤π,则≤ωx+≤ωπ+.又因为f(x)在[0,π]上的值域为[-1,],所以π≤ωπ+,解得≤ω≤.
15.(1)解 f(0)=3sin.
(2)解 T==π.
(3)证明 ∵0∴f(x)=3sin(2x+)∈[-,3],
即-≤f(x)≤3.
16.解 (1)由题图可得,A=2,,∴T=π=,
∴ω=2.
当x=时,f(x)=2,∴sin(2×+φ)=1,
∴φ+=2kπ+,∴φ=2kπ+,
又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).
(2)当-≤x≤时,≤2x+≤sin(2x+)≤1,1≤2sin(2x+)≤2,
∴f(x)的值域为[1,2].
又|f(x)-m|≤1可化为f(x)-1≤m≤f(x)+1,不等式有解,∴[f(x)-1]min≤m≤[f(x)+1]max,
∴0≤m≤3,∴实数m的取值范围是[0,3].(共20张PPT)
第11讲
三角函数的图象与性质
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象和性质 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(-)上的性质
周期函数
知能构建 强技能
1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R ｛x|x≠kπ+,k∈Z｝
值域 [-1,1] [-1,1] R
函数的 最值 最大值1,当且仅当x=2kπ+, k∈Z;最小值-1,当且仅当x= 2kπ-,k∈Z 最大值1,当且仅当x=2kπ,k∈Z;最小值-1,当且仅当x=2kπ-π,k∈Z 无最大值和最小值
单调性 单调递增区间 ; 单调递减区间 单调递增区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z); 单调递减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 单调递增区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π 周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为π
对 称 性 对称 中心 (kπ,0),k∈Z (kπ+,0),k∈Z (,0),k∈Z
对称轴 直线x=kπ+,k∈Z 直线x=kπ,k∈Z 无对称轴
零点 kπ,k∈Z kπ+,k∈Z kπ,k∈Z
2.周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
3.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期.
(2)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.
实战演练 明方向
考向1　 三角函数的图象
典例1已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(　　)
D
考向2　 三角函数的单调性
A
考向3　 三角函数的对称性
典例4如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
A
解析 因为函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,
所以2×+φ=kπ+,k∈Z,因此φ=kπ-(k∈Z),从而|φ|min=.故选A.
归纳总结对于三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:方法1,函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称中心横坐标可由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,图象对称轴可由ωx+φ=kπ+,k∈Z求得;函数f(x)=Acos(ωx+φ)图象的对称中心横坐标可由ωx+φ=kπ+,k∈Z求得,图象对称轴方程可由ωx+φ=kπ,k∈Z求得.方法2,若直线x=x1和(x2,0)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴和对称中心,则有f(x1)=±A,f(x2)=0.
考向4　 三角函数的周期性
C
解析 函数y=sin x,y=cos x的最小正周期是2π,y=sin的最小正周期为4π,y=tan x的最小正周期为π,故选C
C
解析 函数y=|sin|的图象如下,可观察最小正周期为2π.故选C.
归纳总结求函数的最小正周期的方法有(1)公式法:函数f(x)=Asin(ωx+φ), f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期是,函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期为;(2)图象法,函数y=|sin x|是把函数y=sin x在x轴下方的图象翻折到x轴上方,故最小正周期从2π变为π,y=|sin(x+)|的最小正周期也为π,y=|sin x+|的最小正周期仍为2π,而函数y=sin|x|不是周期函数.
考向5　 三角函数的综合性质
典例6(多选)(2024浙江7月学考)若f(x)=sin(2x-),则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象的一个对称中心是(,0)
D.f(x)在区间[]上单调递减
AC
解析 由题可得,f(x)的最小正周期为T==π,故A正确;
因为f()=sin(2×)=sin,
所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误;
因为f()=sin(2×)=sin 0=0,所以f(x)的图象的一个对称中心是(,0),
故C正确;
因为x∈[],所以2x-∈[0,].因为正弦函数在区间(-)上单调递增,
在区间()上单调递减,所以f(x)在区间[]上不单调,故D错误.故选AC.

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