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(共18张PPT)
第12讲
三角恒等变换
数 学
实战演练 明方向
教材核心知识 课标要求
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换
二倍角的正弦、余弦、正切公式
知能构建 强技能
实战演练 明方向
考向1　 利用三角恒等变换给角求值
典例1(1)(多选)下列等式成立的是(　　)
A.sin26°-cos26°=cos 12° B.sin 6°-cos 6°=-sin 39°
C.4sin 15°sin 75°=1 D.=1
BCD
解析 (1)sin26°-cos26°=-cos 12°,A错误;
sin 6°-cos 6°=sin(6°-45°)=-sin 39°,B正确;
4sin 15°sin 75°=2sin 30°=1,C正确;
=tan(60°-15°)=tan 45°=1,D正确,故选BCD.
-4
(3)(1+tan 18°)(1+tan 27°)= _______.
2
解析(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°·tan 27°=1+tan 45°(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2.
考向2　 利用三角恒等变换给值求值
典例2(1)(2025浙江杭州期中)若α为第二象限角,且sin α=,则sin 2α=(　　)
A.- B. C.- D.
C
解析 (1)由α为第二象限角,且sin α=,可得cos α=-=-=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××(-)=-.
故选C.
(2)若sin(-α)=,则sin(+2α)=　　 .
解析 由题意,根据诱导公式可得sin(+2α)=cos[-(+2α)]=cos(-2α),
cos(-2α)=1-2sin2(-α)=1-2×()2=,即sin(+2α)=.
归纳总结分析已知角与所求角之间的关系,需要从和差角、二倍角与特殊角的和差角度等入手,再应用诱导公式把所求角转化为已知角及特殊角,在过程中要根据角所在象限来选择三角函数的符号.
考向3　 利用三角恒等变换给值求角
典例3 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别为.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解 (1)由已知条件即三角函数的定义可知cos α=,cos β=,因为α为锐角,则sin α>0,从而sin α=.同理可得sin β=,
因此tan α=7,tan β=.所以tan(α+β)==-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1,
又因为0<α<,0<β<,故0<α+2β<,
所以由tan(α+2β)=-1得α+2β=.
考向4　 三角函数式的化简与证明
考向5　 辅助角公式的运用
典例5(1)已知函数f(x)=3cos x+4sin x,当tan x=　　 时,函数f(x)取得最大值.
解析 f(x)=3cos x+4sin x=5sin(x+φ),其中φ满足sin φ=,cos φ=,
当sin(x+φ)=1,即x+φ=2kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值.
∴φ=2kπ+-x(k∈Z),
∴sin φ=cos x,cos φ=sin x,即cos x=,sin x=,
∴tan x=.
(2)若函数f(x)=asin x-bcos x在x=处取到最小值-2,则常数a,b的值分别为　　　　　.
-,1
解析 f(x)=asin x-bcos x=sin(x+φ),其中φ满足sin φ=,
cos φ=,f(x)=asin x-bcos x在x=处取到最小值-2,
则解得
归纳总结利用辅助角公式,可以把形如asin x+bcos x的函数化为sin(x+φ),其中辅助角φ满足sin φ=,cos φ=,或tan φ=;如果化为余弦,则为cos(x-φ),其中辅助角φ满足sin φ=,
cos φ=,或tan φ=,特别要注意辅助角φ的意义.课时作业12　三角恒等变换
基础巩固
1.(2024浙江7月学考)已知sin θ+cos θ=1,则sin 2θ=(　　)
A.-1 B.1 C. D.0
2.已知α∈(0,2π),且cos α=cos,则α=(　　)
A. B.
C. D.
3.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴正半轴重合,它的终边经过点P(-4,3),则sin(+α)·cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
4.已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
5.设a=cos 7°-sin 7°,b=,c=,则有(　　)
A.cC.a6.函数f(x)=cos 2x-6cos(+x)的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.
7.(2025浙江温州三模)已知tan(θ+)=2,则tan θ=(　　)
A.3 B.2 C. D.
8.(多选)已知函数f(x)=sin x-cos x,则(　　)
A.f(x)的值域为[-]
B.点(,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在区间[]上是增函数
D.若f(x)在区间[-a,a]上是增函数,则a的最大值为
9.(2024浙江杭州高一期末)已知sin(α-β)·cos α-cos(α-β)sin α=,β是第三象限角,则sin(β+)=　　　　　　.
10.(2025浙江台州二模)已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　.
11.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P(-,-).
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
12.在平面直角坐标系中,角α与角β的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的正半轴.若点P()在角α的终边上,将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边OQ重合.
(1)直接写出β与α的关系式;
(2)求cos(α+β)的值.
能力提升
13.(2024浙江嘉兴模拟预测)已知sin(α+β)=3cos(α-β),tan αtan β=-,则tan α+tan β=(　　)
A.- B.-5
C. D.12
14.(多选)如图,已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,点C(xC,yC)是射线OM与单位圆O的交点,则(　　)
A.xM=coscos B.yM=(sin α+sin β)
C.yC=cos D.sin(sin α+sin β)
15.已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)=　　　　　.
16.已知0<α<,-<β<0,tan α=7,sin β=-.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求tan(α-2β)的值,并确定α-2β的大小.
参考答案
基础巩固
1.D　解析 因为sin θ+cos θ=1,两边平方可得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1,
即1+sin 2θ=1,解得sin 2θ=0.故选D.
2.D　解析 由cos α=cos得,α=2kπ±,∵α∈(0,2π),∴α=,故选D.
3.A　解析 sin(+α)·cos(-α)=sin α·cos α=×(-)=-,故选A.
4.A　解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
5.A　解析 a=cos 7°-sin 7°=sin 23°,b==tan 24°,c==sin 22°,∴c6.B　解析 ∵f(x)=cos 2x-6cos(+x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin x-)2+,∴当sin x=1时,f(x)max=5,故选B.
7.C　解析 tan(θ+)==2,解得tan θ=.故选C.
8.ABD　解析 因为f(x)=sin x-cos x=sin(x-),所以函数的值域为[-],故A正确;又因为f()=sin()=0,所以点(,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心,故B正确;当x∈[]时,x-∈[0,π],由正弦函数的性质可知函数在[0,π]不单调,故C错误;由-≤x-,可得-≤x≤,即函数f(x)=sin(x-)在[-]上单调递增,又因为f(x)在区间[-a,a]上是增函数,所以a≤,即a的最大值为,故D正确.故选ABD.
9.　解析 由题可得,sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin [(α-β)-α]=sin(-β)=.
因为β为第三象限角,所以sin β=-,cos β=-,
所以sin(β+)=sin βcos+cos βsin
=(-)×(-)+( -)×(-)=.
10.-　解析 由cos α+cos β=,sin α+sin β=,平方可得,cos2α+2cos αcos β+cos2β=,sin2α+2sin αsin β+sin2β=,两式相加得,2+2cos αcos β+2sin αsin β=,
所以cos αcos β+sin αsin β=-,
即cos(α-β)=-.
11.解 (1)由角α的终边过点P,
得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.
(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,
由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-或cos β=.
12.解 (1)由题意可得β=α+.
(2)∵P(),∴cos α=,sin α=,
∴cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-,
sin 2α=2sin αcos α=2×.
∵β=α+,∴cos(α+β)=cos(2α+)=cos 2α·cos-sin 2α·sin=-=-.
能力提升
13.C　解析 因为tan αtan β=-,所以=-,即sin αsin β=-cos αcos β.
又sin(α+β)=3cos(α-β)=3cos αcos β+3sin αsin β,
所以sin(α+β)=3cos αcos β+3×(-cos αcos β)=cos αcos β,
所以tan α+tan β=.故选C.
14.AB　解析 已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,对于选项A,xM=(cos α+cos β)=×2cos·cos=coscos,即选项A正确;对于选项B,yM=(sin α+sin β),即选项B正确;对于选项C,由题意可得∠COx=+α=,则yC=sin,即选项C错误;对于选项D,取α=,β=,则sin=sin=-(sin α+sin β)=×()=,此时sin(sin α+sin β),故D错误.故选AB.
15.-　解析 已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则4×+2×=1,
整理得2cos 2α+cos 2β=2,
故4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β=4, ①
4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=0, ②
①+②得4+4(cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β)+1=4,
故cos(2α+2β)=cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β=-.
16.解 (1)∵0<α<,由
∴sin α=,cos α=,
又-<β<0,sin β=-,∴cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-.
(2)由(1)可知,tan β=-,∴tan 2β==-,
∴tan(α-2β)==-1,
∵0<α-2β<,∴α-2β=.

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