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课时作业9　函数的应用
基础巩固
1.(2025浙江杭州期末)函数f(x)=ln x+x-7的零点所在的区间为(　　)
A.(3,4) B.(4,5)
C.(5,6) D.(6,7)
2.(2024浙江7月学考)甲某全年交税额为5 617.19元,则他的交税等级为(　　)
交税等级 全年应纳税所得额 税率(%) 速算扣除数
1 不超过36 000元的部分 3 0
2 超过36 000元至144 000元的部分 10 2 520
3 超过144 000元至300 000元的部分 20 16 920
4 超过300 000元至420 000元的部分 25 31 920
5 超过420 000元至660 000元的部分 30 52 920
6 超过660 000元至960 000元的部分 35 85 920
7 超过960 000元的部分 45 181 920
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函数f(x)=e2x+e-2x-4(ex+e-x)+2b有且只有一个零点,则实数b的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2025浙江7月学考)设函数y=3x+x,y=log3x+x,y=x3+x的零点分别为x1,x2,x3,则下列说法中正确的是(　　)
A.x1C.x25.(多选)已知函数f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.f[f(1)]=-3
B.f(x)的值域为R
C.方程f(x)=k最多只有两个实数解
D.方程f[f(x)]=0有5个实数解
6.用“二分法”求方程x3+x-4=0在区间(1,2)内的实根,首先取区间中点x=1.5进行判断,那么下一个取的点是x=　　　　　.
7.已知a是正实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则a的取值范围是　　　　　.
8.设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+的零点x0;
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]的最大值为-2,求实数a的值.
9.某乡镇以“共富果园”为目标,促进农业产业高质量发展,经调研发现,某特色果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=另肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果树的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)写出f(x)关于x的函数解析式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该果树的单株利润最大 最大利润是多少
能力提升
10.设定义域为R的函数f(x)=
则关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是(　　)
A.b<0且c>0 B.b>0且c<0
C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0
11.考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,碳14的半衰期为5 730年,≈1.166 5,以此推断水坝建成的年份大概是公元前(　　)
A.3500年 B.2900年
C.2600年 D.2000年
12.(多选)(2024浙江台州高一期末)已知函数f(x)=则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)在(0,+∞)内单调递增
B.函数f(x)的值域为[-1,+∞)
C.方程f(x)=f(f()有两个不同的实根
D.不等式f(f(x))<0的解集为()∪(2,8)
13.已知f(x)=x+-10是定义在(0,+∞)内的函数,则函数f(x)的零点是　　　　　;若方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　　.
14.为了预防某病毒,某中学对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比,药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=()x-a(a为常数),根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室
15.某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位:时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内
16.某夜市的一位文化工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(按30天计),每件的销售价格f(x)(单位:元)与时间x(单位:天)(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系满足f(x)=10+(k为常数,且k>0),日销售量g(x)(单位:件)与时间x的部分数据如下表所示:
x 15 20 25 30
g(x) 105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为M(x)(单位:元),且第15天的日销售收入为1 057元.
(1)求k的值.
(2)给出以下四种函数模型:
①g(x)=ax+b;
②g(x)=a|x-m|+b;
③g(x)=a·bx;
④g(x)=a·logbx.
请你根据上表中的数据,从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.
(3)利用问题(2)中的函数g(x),求M(x)的最小值.
参考答案
基础巩固
1.C　解析 易知函数f(x)=ln x+x-7在(0,+∞)上单调递增,且f(3)=ln 3+3-7=ln 3-4<0,
f(4)=ln 4+4-7=ln 4-3<0,
f(5)=ln 5+5-7=ln 5-2<0,
f(6)=ln 6+6-7=ln 6-1>0,
即f(5)f(6)<0,所以函数的零点所在的区间为(5,6).
故选C.
2.B　解析 因为36 000×3%=1 080<5 617.19<144 000×10%-2 520=11 880,
所以可知交税等级为2.故选B.
3.B　解析 函数的定义域为R,
因为f(-x)=e-2x+e2x-4(e-x+ex)+2b=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
因为函数有且只有一个零点,
所以f(0)=2-4×2+2b=0,解得b=3.故选B.
4.B　解析 设f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,因为函数y=3x,y=x在R上为增函数,故函数f(x)在R上为增函数.
因为f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,所以x1∈(-1,0).
因为函数y=log3x,y=x在(0,+∞)上均为增函数,故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,
因为g()=log3=-1+=-<0,g(1)=log31+1=1>0,
所以x2∈(,1).
由题意知+x3=x3(+1)=0,解得x3=0.
因此,x15.ABD　解析 f[f(1)]=f(ln 1-2)=f(-2)=-3,故A正确.f(x)=0等价于故x=-3或x=e2,故方程f(x)=0有2个实数解,下面考虑f[f(x)]=0的解,令t=f(x),则f(t)=0的解为t=-3或t=e2,再考虑f(x)=-3或f(x)=e2的解,即故x=-2或x=0或x=-1-或x=或x=,共5个不同的解,故D正确.f(x)的图象如图所示.
由图象可得f(x)的值域为R,故B正确.当-46.1.25　解析 令f(x)=x3+x-4,当x=1时,x3+x-4=1+1-4=-2<0,当x=1.5时,x3+x-4=1.53+1.5-4=0.875>0,所以方程x3+x-4=0在区间(1,1.5)内有实根,所以下一个取的点是1.25.
7.[1,+∞)　解析 f(x)=2ax2+2x-3-a图象的对称轴为直线x=-.
①当-≤-1,即0②当-1<-<0,即a>时,需解得a≥1,
∴实数a的取值范围是[1,+∞).
8.解 ∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(-x)+f(x)=0,
∴a·2-x-2-x+a·2x-2x=0,
即(a-1)·(2-x+2x)=0,
∴a=1.
令g(x)=2x-2-x+=0,
则2·+3·(2x)-2=0,
∴(2x+2)·(2×2x-1)=0,又2x>0,
∴x=-1.
∴函数g(x)的零点为-1.
(2)h(x)=a·2x-2-x+4x+2-x,
x∈[0,1],令2x=t∈[1,2],
h(x)=H(t)=t2+at,t∈[1,2],对称轴t=-,
①当-,即a≥-3时,
H(t)max=H(2)=4+2a=-2,
∴a=-3;
②当-,即a<-3时,
H(t)max=H(1)=1+a=-2,
∴a=-3(舍).
综上,实数a的值为-3.
9.解 (1)由已知f(x)=18W(x)-20x-10x=18W(x)-30x
=
=
即f(x)=
(2)由(1)得当0≤x≤2时,f(x)=90x2-30x+450=90(x-)2+447.5;
当x=2时,f(x)max=750;
当2能力提升
10.C　解析 设f(x)=t如下图,
由函数图象得:
(1)当t>0时,方程f(x)=t有不同的实数解4个;
(2)当t=0时,方程f(x)=t有不同的实数解3个;
(3)当t<0时,方程f(x)=t没有实数解.
所以,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是方程x2+bx+c=0有两个根,其中一个根等于0,另一个根大于0.此时应b<0且c=0.
11.B　解析 根据题意设原来的量为1,经过t年后则变成1×55.2%=0.552,可得1×(=0.552,两边取对数,可得=log0.50.552,即t=5 730×log0.50.552=5 730×≈4 912,又由4 912-2 010+1=2 903,所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选B.
12.BC　解析 作出函数f(x)=的图象,如图所示,可知A错误,B正确;
对C,∵f(f())=f(2)=0,∴f(x)=f(f())=0有两个不同实根,C正确;不等式f(f(x))<0,设f(x)=t,即f(t)<0,由f(t)<0得13.2,8　20　解析 由题意可知,令f(x)=x+-10=0,即x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,故函数在(0,+∞)内的零点为2和8;方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,方程|f(x)|=m(m>0)即|x+-10|=m,x∈(0,+∞),即|x2-10x+16|=mx,当f(x)≥0即x2-10x+16≥0时,方程可转化为x2-10x+16=mx,即x2-(10+m)x+16=0;当x2-10x+16<0时,方程可转化为x2-10x+16=-mx,即x2-(10-m)x+16=0.故要有四个实数根,则两种情况都有两个不同的实数根,不妨设x1,x4为x2-(10+m)x+16=0的两根,则x1+x4=10+m,则x2,x3为x2-(10-m)x+16=0的两根,则x2+x3=10-m,则x1+x2+x3+x4=10-m+10+m=20.
14.解 (1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx,且1=0.1k,解得k=10,又由1=()0.1-a,解得a=0.1,
所以y=
(2)令()x-0.1<0.25,即()2x-0.2<,得2x-0.2>1,解得x>0.6,
即至少需要经过0.6 h后,学生才能回到教室.
15.解 (1)因为a=,则f(x)=+2≥2.
当f(x)=2时,log25(x+1)-=0,得x+1=2=5,即x=4.
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
(2)设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=
显然g(t)在[0,a]上是减函数,在(a,1]上是增函数,则f(x)max=max{g(0),g(1)},因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在内.
16.解 (1)因为第15天的日销售收入为1 057元,
所以M(15)=f(15)g(15)=(10+)×105=1 057,
解得k=1.
(2)由表中的数据知,当时间x变化时,g(x)先单调递增后单调递减.
而函数模型①g(x)=ax+b;③g(x)=a·bx;④g(x)=alogbx都是单调函数,
所以选择函数模型②g(x)=a|x-m|+b.
由解得
所以日销售量g(x)与时间x的变化关系为g(x)=-|x-20|+110(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知g(x)=-|x-20|+110=
所以M(x)=f(x)g(x)=
即M(x)=
当1≤x≤20,x∈N*时,M(x)=10x++901≥2+901=961,
当且仅当10x=,即x=3时,等号成立.
当20961.
综上所述,当x=3时,M(x)取得最小值,最小值为961.(共17张PPT)
第9讲
函数的应用
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
函数的零点与方程解的关系 结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系
函数零点存在定理 结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,了解用二分法求方程近似解具有一般性
用二分法求方程的近似解 探索用二分法求方程近似解的思路,了解用二分法求方程近似解具有一般性
函数模型的应用 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律
知能构建 强技能
1.函数的零点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.二分法的概念
(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤:
①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
②求区间(a,b)的中点c;
③计算f(c);
i.若f(c)=0,则c就是函数的零点;
ii.若f(a)·f(c)<0,则此时零点x0∈(a,c);
iii.若f(b)·f(c)<0,则此时零点x0∈(c,b).
5.函数模型
不同的函数模型有不同的性质,三种增函数的模型y=logax(a>1),y=ax(a>0),y=ax(a>1)的增长速度由慢到快,分别称之为“对数增长”“直线上升”和“指数爆炸”,要根据实际问题采集的数据选择合适的模型,并求出相应的参数.用建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:
实战演练 明方向
考向1　 函数的零点
典例1函数f(x)=log3x+x-5的零点所在的区间为(　　)
A.(2,3) B.(3,4)
C.(4,5) D.(5,6)
B
解析 f(x)=log3x+x-5在(0,+∞)内单调递增,且f(2)<0,f(3)<0,f(4)>0,故选B.
典例2设函数f(x)=4x3+x-8,在用二分法求方程4x3+x-8=0近似解的过程中,计算得到f(1)<0,f(3)>0,则方程的近似解落在区间 (　　)
A.(1,1.5) B.(1.5,2)
C.(2,2.5) D.(2.5,3)
A
解析 因为f(2)=4×8+2-8=26>0,所以方程近似解x0∈(1,2),
又因为f()=4×-8=7>0,所以方程近似解x0∈(1,),故选A.
考向2　 函数零点的个数
典例3(1)方程ln x+x=0的实数解的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
A
解析方程ln x+x=0的实数解的个数,即为方程ln x=-x的实数解的个数,即为函数y=ln x与函数y=-x图象的交点的个数,在同一坐标系中作出函数y=ln x与函数y=-x的图象(图略),只有一个交点,所以方程ln x+x=0的实数解的个数为1.故选A.
解析作出f(x)的图象,令f(x)+1=t,即f(t)=0,
由图可得t1=-2,t2=0,t3∈(1,2),
故f(x)=t-1的零点个数如下,
当t1=-2时,f(x)=-3,由图可得,有1个零点;
当t2=0时,f(x)=-1,由图可得,有2个零点;
当t3∈(1,2)时,f(x)=t3-1∈(0,1),由图可得,
有2个零点,即零点的个数是5.故选D.
D
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)+1)的零点的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
归纳总结对于复合函数的零点问题,先把复合函数分解成两个函数y=f(t),t=f(x)+1,先求出外层函数y=f(t)的零点,再把所得零点代入内层函数t=f(x)+1,根据函数y=f(x)的图象得到原方程的零点的个数.
典例4(2025浙江绍兴模拟预测)已知函数f(x)=x2+a|x|+a2-4有唯一零点,则a=(　　)
A.0 B.-2 C.2 D.±2
C
解析 函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-4=x2+a|x|+a2-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
又因为函数f(x)=x2+a|x|+a2-4有唯一零点,所以f(0)=a2-4=0,所以a=±2,
当a=2时,函数f(x)=x2+2|x|=0有唯一零点,符合题意;
当a=-2时,函数f(x)=x2-2|x|=0有零点0,±2,不符合题意.
故选C.
考向3　 函数模型
典例5中国茶文化博大精深,茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水的温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.已知在25 ℃的室温下,函数y=60×0.922 7t+25 (t≥0)近似刻画了茶水温度y(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律.为达到最佳饮用口感,刚泡好的茶水大约需要放置(　　)
(参考数据:0.922 76.7≈0.583 3, 0.922 78.7≈0.496 6)
A.5 min B.7 min C.9 min D.11 min
B
解析 由题可知,函数y=60×0.922 7t+25(t≥0),当t=6.7,y≈59.998,已经接近60,又函数y=60×0.922 7t+25(t≥0)在(0,+∞)内单调递减,则大约在7 min时口感最佳.故A,C,D错误.故选B.
典例6(2024浙江7月学考)有一支队伍长为L,以V的速度前行,传令员传令需要从排尾跑到排头,再立即返回排尾,速度为V1,若传令员回到排尾时,队伍正好前进了2L,则=(　　)
A.2 B.3 C. D.
C
解析 设总时间为t,传令员从排头到排尾所用时间为t1,从排尾到排头所用时间为t2,
所以t1=,t2=,t=,所以,
解得-V1V-V2=0,即-1=0.
由题可知V1>V>0,所以>1,所以.故选C.
归纳总结常见的函数模型为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数,要根据题意选择正确的函数模型,代入数据求出参数,再根据得到的函数模型解决实际问题.

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