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第10讲
三角函数的概念与诱导公式
数 学
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教材核心知识 课标要求
任意角的概念和弧度制 借助单位圆理解三角函数的定义,能画出三角函数图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.理解同角三角函数的基本关系式
弧度与角度的互化
任意角的正弦、余弦、正切的定义
同角三角函数的基本关系式
诱导公式
知能构建 强技能
1.象限角
使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
3.弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是
正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
8.诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α — —
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
实战演练 明方向
考向1　 三角函数定义
ABD
(2)(2025浙江金华期末)在平面直角坐标系中,角θ的终边经过点P(1,1),
则sin θ·cos θ=　　　　　.
考向2　 扇形弧长、面积公式
典例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
归纳总结当用扇形的弧长面积公式解题时,角的单位必须是弧度.
考向3　 三角函数符号的确定
典例3若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
D
解析 由α为第四象限角,可得+2kπ<α<2π+2kπ(k∈Z).
所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ(k∈Z),
此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin 2α<0.故选D.
典例4已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( 　　)
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
C
考向4　 同角三角函数的基本关系式
典例5(1)若cos α=,则=(　　)
A.±4 B.±2 C.- D.
B
解析 ∵cos α=,∴sin α=±=±.
当sin α=时,tan α=,
此时=-2;
当sin α=-时,tan α=-,此时=2.故选B.
4
考向5　 诱导公式
D
D课时作业10　三角函数的概念与诱导公式
基础巩固
1.(2024浙江高二期中)已知tan θ=-,θ∈(3π,4π),则sin θ=(　　)
A. B.- C. D.-
2.(2025浙江7月学考)已知角α的终边与单位圆交于点P(0,1),则sin+α=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.角α终边上有一点P(m,2),则“cos α=-”是“m=-”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知tan α=1,α∈(-),则α=(　　)
A. B.- C. D.-
5.已知sin(α-)=,则cos(+α)等于(　　)
A.- B. C. D.-
6.(多选)已知α是锐角,则(　　)
A.2α是第二象限角 B.sin 2α>0
C.是第一象限角 D.tan<1
7.(多选)下列不等式成立的是(　　)
A.sin 156°<0 B.cos(-450°)>0
C.tan(-)<0 D.sin>0
8.已知扇形的面积为10 cm2,该扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的弧长为　　　 cm.
9.若cos α≥,则α的取值范围为　　　　　　　　.
10.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=的值为　　　　　　　　.
11.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ的值.
12.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若-<α<,且f(α)<,求α的取值范围.
能力提升
13.已知点P(cos α+sin α,sin α-cos α)在第三象限,则α的取值范围是(　　)
A.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
B.(2kπ+,2kπ+π)(k∈Z)
C.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
D.(2kπ+,2kπ+)k∈Z)
14.(多选)下列各式中正确的是(　　)
A.tanB.tan 2>tan 3
C.cos(-)>cos(-)
D.sin(-)15.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正半轴重合,P(-)为角α的终边上的一点,角π-α的终边与单位圆交点为P'(x,y),则x-y=　　　　　.
16.已知f(x)=(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式;
(2)求f()+f()的值.
参考答案
基础巩固
1.B　解析 因为θ∈(3π,4π),tan θ=-<0,所以θ是第四象限角,
所以sin θ<0.又tan θ=-,故=-,
则cos θ=-sin θ.
因为cos2θ+sin2θ=1,代入得sin2θ+sin2θ=1,
解得sin θ=-或sin θ=(舍去).故选B.
2.B　解析 由题意,可得cos α=0,则sin(+α)=cos α=0.故选B.
3.C　解析 角α终边上有一点P(m,2),cos α==-<0,解得m=-,所以“cos α=-”是“m=-”的充要条件.故选C.
4.A　解析 ∵tan α=1,∴α=+kπ,又α∈(-),
∴α=,故选A.
5.B　解析 ∵+α=+(α-),∴cos(+α)=cos[+(α-)]=sin(α-)=.故选B.
6.BCD　解析 因为α为锐角,所以0<α<,则有0<2α<π,所以sin 2α>0成立,但2α的终边可能在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上,故选项A错误;选项B正确;因为0<,所以是第一象限角,且tan<1,故选项C和D正确.故选BCD.
7.CD　解析 sin 156°>0,cos(-450°)=cos 450°=cos 90°=0,tan(-)=tan(-)<0, sin=sin>0,故选CD.
8.2　解析 设扇形的弧长为l,半径为R,由已知可得,圆心角α=2,面积S=10,
所以有解得
9.-+2kπ,+2kπ,k∈Z　解析 由cos α≥,则α的取值范围为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.
10.-1　解析 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又因为角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.
11.解 因为θ的终边过点P(x,-1)(x≠0),所以tan θ=-.
又tan θ=-x,所以x2=1,即x=±1.
当x=1时,sin θ=-,cos θ=.
因此sin θ+cos θ=0;
当x=-1时,sin θ=-,cos θ=-,
因此sin θ+cos θ=-.
故sin θ+cos θ的值为0或-.
12.解 (1)f(α)===-sin α.
(2)由已知得-sin α<,∴sin α>-,
∴2kπ-<α<2kπ+.
∵-<α<,∴-<α<,
故α的取值范围是(-).
能力提升
13.D　解析 ∵P(cos α+sin α,sin α-cos α)在第三象限,
∴
∴∴sin α<-,
∴α∈(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).故选D.
14.AC　解析 对于A选项,tan=tan(-π)=tan(-),因为正切函数y=tan x在(-)内为增函数,且-<-,所以tan(-)cos,即cos(-)>cos(-),C选项正确;对于D选项,由于正弦函数y=sin x在(-)内为增函数,且-<-<-,所以sin(-)>sin(-),D选项错误.故选AC.
15.-　解析 角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,P(-)为角α终边上一点,则cos α=-,sin α=,角π-α的终边与单位圆的交点为P'(x,y),则x=cos(π-α)=-cos α=,y=sin(π-α)=sin α=,∴x-y=-.
16.解 (1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
f(x)===sin2x;
当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,
f(x)=
=
=
==sin2x.
综上得f(x)=sin2x.
(2)由(1)得f()+f()=sin2+sin2=sin2+sin2()=sin2+cos2=1.

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