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苏科版（2024）八年级下册 第8章 四边形 单元测试
一、选择题
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　）
A. B. C. D.
3.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α
4.已知 ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　）
A.50° B.65° C.115° D.130°
5.数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　）
A.甲和乙的折法都正确
B.只有甲的折法正确
C.只有乙的折法正确
D.甲和乙的折法都不正确
6.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定 ABCD为菱形的是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.下列说法正确的是（　　）
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.平行四边形一定是轴对称图形
8.用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A.3个 B.4个 C.3或4个 D.2或3个
9.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是近AB上的一个动点（不与A、B重合）连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：
甲：对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
乙：若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
丙：若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
丁：若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．
以上所有正确说法的序号是（　　）
A.甲、丙、丁正确，乙错误
B.甲、乙、丙、丁都正确
C.甲、乙、丙正确，丁错误
D.甲、乙、丙错误，丁正确
10.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
11.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF＝3，则EF的长是（　　）
A. B. C. D.
12.如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　．
14.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　．
15.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形．
16.如图，点M在线段AB上，且AB＝7、AM＝4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN的最小值是 　　．
17.邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值　　　　　　．
三、解答题
18.如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．求证：∠AEF＝∠AFE．
19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OA＝OC，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.证明：平行四边形是中心对称图形．
21.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长．
22.点E、F分别在正方形ABCD的边BC、AB所在直线上，点M在直线DE上，且DM＝EF，EF⊥DE，MN⊥直线BC，垂足分别是E、N．
（1）当点E在边BC上时，如图①，求证：MN+BE＝CD；
（2）当点E在BC的延长线上时，如图②；当点E在CB的延长线上时，如图③，请直接写出线段MN，BE，CD之间的数量关系，不需要证明．
苏科版（2024）八年级下册 第8章 四边形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
【答案】C
【解析】因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直．
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：C．
2.如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，32+42＝52，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
B．由题意可知，四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD是矩形；
C．由题意可知，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
D．由题意可知AD∥BC，不能判定四边形ABCD是矩形．
故选：D．
3.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α
【答案】B
【解析】如图：
∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形，
∴∠B＝∠EHG＝90°，
∵∠1是△EBH的一个外角，
∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°，
∴∠2＝∠EHG﹣∠3
＝90°﹣（α﹣90°）
＝180°﹣α，
故选：B．
4.已知 ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　）
A.50° B.65° C.115° D.130°
【答案】C
【解析】在 ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝130°，
∴∠A＝∠C＝65°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝115°，
故选：C．
5.数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　）
A.甲和乙的折法都正确
B.只有甲的折法正确
C.只有乙的折法正确
D.甲和乙的折法都不正确
【答案】A
【解析】甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB∠EAD＝45°；
乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'（∠DAC+∠BAC）90°＝45°；
故选：A．
6.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定 ABCD为菱形的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝3，
∴ ABCD为菱形，
故A不符合题意；
∵由OB＝AB＝3不能证明AB＝BC＝3，
∴OB＝AB＝3不能判定 ABCD为菱形，
故B符合题意；
∵∠B＝70°，∠BCA＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣70°﹣55°＝55°，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，
故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
故D不符合题意，
故选：B．
7.下列说法正确的是（　　）
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.平行四边形一定是轴对称图形
【答案】C
【解析】∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
故A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，
∴一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，
∴对角线相等的菱形是正方形，
故C符合题意；
平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，
故D不符合题意，
故选：C．
8.用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A.3个 B.4个 C.3或4个 D.2或3个
【答案】D
【解析】三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；

两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；

故选：D．
9.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是近AB上的一个动点（不与A、B重合）连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：
甲：对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
乙：若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
丙：若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
丁：若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．
以上所有正确说法的序号是（　　）
A.甲、丙、丁正确，乙错误
B.甲、乙、丙、丁都正确
C.甲、乙、丙正确，丁错误
D.甲、乙、丙错误，丁正确
【答案】A
【解析】如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，
故选项甲正确；
如图2，
当CE⊥AB时，点E不在边AB上，故选项乙错误．
如图3，
当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项丙正确．
由丙知，若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝90°，
∴若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形，故选项丁正确．
故选：A．
10.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
【答案】A
【解析】如图，连接DK，DN，
∵∠KDN＝∠MDT＝90°，
∴∠KDM＝∠NDT，
∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM＝S△DNT，
∴S四边形DMNT＝S△DKNa，
∴正方形ABCD的面积＝4a+b＝a+b．
故选：A．
11.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF＝3，则EF的长是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
由折叠可知，∠ACB＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACF，而AF＝3，CE平分∠ACD，
∴AF＝CF＝3，∠ACB＝∠ACF＝∠FCD＝30°，
∴DFCF，
∴EF＝DF，
故选：A．
12.如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，AD＝1，AH＝2，
∴DH，
∴BF+DE最小值为．
故选：C．
二、填空题
13.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　．
【答案】4
【解析】∵S＝ah，S＝12，h＝3，
∴a＝4．
∴△ABE的平移距离为4．
故答案为：4．
14.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　．
【答案】2 mm
【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C，
，
∴∠ACB＝90°，
∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°，
∴∠ABC＝45°，
∴AC＝AB sin∠ABC＝2（mm），
故答案为：2 mm．
15.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】∥
【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：∥．
16.如图，点M在线段AB上，且AB＝7、AM＝4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN的最小值是 　　．
【答案】2.4
【解析】如图，作MA'⊥MA于M，且使得MA'＝MA．
∵四边形MNFE是正方形，
∴∠FMN＝90°，MF＝MN．
∴∠FMA'+∠A'MN＝90°．
又∠AMA'＝90°，
∴∠AMF+∠FMA'＝90°．
∴∠AMF＝∠A'MN．
在△MAF和△MA'N中，
，
∴△MAF≌△MA'N（SAS）．
∴AF＝A'N．
∴AF+BN＝A'N+BN．
又当点N在线段A'B上时A'N+BN最小，即点N在线段AB上，
∴当MN⊥AB时，MN的值最小．
此时，MN2.4．
故答案为：2.4．
17.邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值　　　　　　．
【答案】或
【解析】①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∴DF＝CE＝a﹣2，
∵四边形GCEH为菱形，
∴GC＝CE＝a﹣2，
∴DG＝FH＝2﹣（a﹣2）＝4﹣a，
∵四边形DGJI为菱形，
∴DI＝DG＝4﹣a，
∴IF＝a﹣2﹣（4﹣a）＝4a﹣6，
∵四边形IJHF为菱形，
∴IF＝HF，即4﹣a＝4a﹣6，
解得：a；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∴DF＝CE＝a﹣2，
∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
∴DI，
∴a﹣2，
解得：；
综上：a的值为或．
故答案为：或．
三、解答题
18.如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．求证：∠AEF＝∠AFE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OA＝OC，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20.证明：平行四边形是中心对称图形．
【答案】证明：如图所示，平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴B与D，A与C都分别关于点O对称，
∴绕点O旋转180度，平行四边形ABCD能够与自身重合，
∴平行四边形ABCD是中心对称图形．
21.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形AECF为正方形，
∴AE＝CF＝AF＝EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，DA＝CB，
∴DA﹣AF＝CB﹣EC，
∴DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）；
（2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，
∴AE BC＝20，AD＝BC＝5，
∴AE＝4，
∵四边形AECF为正方形，
∴AF＝AE＝4,
∴DF＝AD﹣AF＝5﹣4＝1．
22.点E、F分别在正方形ABCD的边BC、AB所在直线上，点M在直线DE上，且DM＝EF，EF⊥DE，MN⊥直线BC，垂足分别是E、N．
（1）当点E在边BC上时，如图①，求证：MN+BE＝CD；
（2）当点E在BC的延长线上时，如图②；当点E在CB的延长线上时，如图③，请直接写出线段MN，BE，CD之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）证明：当点E在边BC上时，如图①，
过M点作MG⊥DC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴∠1+∠2＝90，
∴∠DEF＝90°，
∴∠2+∠3＝90，
∴∠1＝∠3，
又∵∠MGD＝∠B＝90°，DM＝EF，
∴△DGM≌△EBF（AAS），
∴DG＝EB，
∵MG⊥DC，MN⊥BC，∠C＝90°，
∴∠MGC＝∠MNC＝∠C＝90°，
∴四边形GMNC是矩形，
∴MN＝GC，
∴MN+BE＝GC+DG＝CD．
（2）解：当点E在BC的延长线上时，如图②，
延长DC，过M点作MG⊥DC的延长线于G点，
则四边形MNCG是矩形，
∴MN＝CG，
∵∠DCE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠1+∠2＝90，∠2+∠3＝90，
∴∠1＝∠3，
∵∠DGM＝∠EBF＝90°，DM＝EF，
∴△DGM≌△EBF（AAS），
∴DG＝EB，
∵DG＝DC+CG，
∴EB＝DC+MN．
当点E在CB的延长线上时，如图③，
过D点作DG⊥MN于G点，
则四边形GDCN是矩形，
∴DC＝GN，
∵∠N＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠MEF＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠MGD＝∠EBF＝90°，MD＝EF，
∴△MGD≌△EBF（AAS），
∴MG＝EB，
∵MN＝MG+GN，
∴MN＝BE+DC．

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