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21.2.3 三角形的中位线
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握三角形中位线的概念及三角形中位线的定理；
2 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
知识回顾
边
角
对角线
A
B
D
C
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
判定
性质
三角形的中位线定理
一
概念学习
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线.
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
问题4：
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
问题3：如何证明你的猜想？
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为 （　　）
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在 ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于 （　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
C
练一练
证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点，
∴ DE 为△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DE = BC.
∵ CF = BC，
∴ DE = FC．
例1 如图，等边△ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF = BC，连接 CD 和 EF．
(1) 求证：DE = CF；
(2) 求 EF 的长.
典型例题
探究新知
证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD//CF，
又D是 AB的中点，
∴DF=BC， DF//BC ．
又DE = DF
∴DE//BC，DE = BC
归纳总结
A
B
C
D
E
符号语言：∵ 在△ABC中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC，DE = BC
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
归纳小结
几何语言：
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∴DE∥BC，且 DE = BC .
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的
每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
提示：
二、三角形的中位线与平行四边形的综合运用
例3 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
典例精析
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
归纳
2.如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC＇，连接CC＇，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE=BE，BC＇=2，则AD的长为　3　．
感受中考
【解答】解：由题意可得，
△DCA ≌△DC＇A，OC= OC＇，∠COD=∠C＇OD=90°，
∴点O为CC＇的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC＇的中位线，
∴ ，OD∥BC＇，
∴∠COD=∠EC＇B=90°，
∵AE=BE，BC＇=2，
∴OD=1，
跟踪训练2　如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF.
(1)求证：DE=CF；
证明　∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC.
∵CF=BC，
∴DE=CF.
跟踪训练2　如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF.
(2)求EF的长.
解　∵DE∥CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC=.
课堂小结
1.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离为
A.18 m　　　　B.24 m　　　　C.36 m　　　　D.54 m
课堂练习
解析　∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴根据三角形的中位线定理，得AB=2DE=36(m).
√
A
小结
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

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