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(共25张PPT)
21.2.2平行四边形的判定
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握判定
平行四边形的方法.
2.掌握平行四边形的判定方法与性质的综合运用.
任务一：探究平行四边形的判定定理,掌握判定平行四边形的方法.
活动1：小组合作先完成下列任务，再整理归纳得出的结论.
(1)回顾平行四边形的定义与性质定理，写出性质定理所对应的逆命题.
(2)在写出的逆命题中任意挑选一个进行验证.（写出已知、求证、画出图形
再进行证明）
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逆命题:
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
1
4
2
3
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
D
C
例1 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
知识点：平行四边形的判定
新知探究
思路1:条件中已有AB//CD,只需证明AD//BC即可；
思路2:条件中已有AB=CD,只需证明AD=BC即可.
证明：连接AC,
∵ AB//CD,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=CD,BC=AD,
A
B
C
D
1
2
∴ BC=AD.
两组对边分别相等
证明：连接AC,
∵ AB//CD ,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD//BC .又∵ AB//CD,
A
B
C
D
1
2
∴ ∠ACB=∠CAD,
两组对边分别平行
探究新知
如图，沿△ABC 的中位线DE，DF，EF剪出四个小三角形．将它们叠合在一起，能完全重合吗？
能
A
E
D
B
F
C
中位线 DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？
探究新知
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
求证：
如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点.
D
E
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F. 求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO.
∴△DOF≌△BOE(AAS).
∴ AB∥CD， OD = OB.
∴ OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
1. 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
同例1 易证明 OE = OF 还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
总结
议一议
归纳
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理3：
数学语言：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC , OB=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
探究新知
【知识延伸】
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
A
B
C
D
E
F
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
D
1.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
拓展提升
要判定该四边形是平行四边形，已知AD=BC ，可证AB=CD，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA可得.
证明：∵BC⊥AC , AD⊥AC ,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴ AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.

A
B
C
D
∴ ∠ACB=∠CAD=90°.
又∵ BC=AD , AC=CA,
解：分别作出AC，BC边上的中点D ， E，连接DE.
D
E
测量出DE的长度，则AB之间的距离是2DE.
在△ABC中，DE是中位线，
A
B
C
根据：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

3.如图，已知 E，F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 的三等分点，CE，CF 的延长线分别平分 AB，AD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
证明：连接AC交BD于点O，连接AE，AF.
∵点G是AB的中点，BE=EF,
∴GE是△ABF的一条中位线，
∴GE∥AF，即CE∥AF，
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)∵AB∥DC，∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
9
例2　如图，已知E，F是四边形ABCD对角线上两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，试说明四边形ABCD为平行四边形．
解：由AF＝CE，得AE＝CF.
又∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠DFC＝∠BEA.
又∵DF＝BE，
∴△CDF≌△ABE(SAS)，
∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，
例题与练习
∴CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
例3　如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构造命题．以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
解：以①②作为条件构成的命题是真命题．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，
∴OB＝OD.
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴△AOB≌△COD(ASA)，

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