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第二十一章四边形　
21.2.2　平行四边形的判定
初中数学人教版（2024）八年级下册
学习目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.(重点)
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.(难点)
课堂引入
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
(1)∵AB∥CD，　　　　　　，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵AB=CD，　　　　　　，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(3)如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？
知识精讲
知识点一 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
归纳：
例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
探究新知
如图，沿△ABC 的中位线DE，DF，EF剪出四个小三角形．将它们叠合在一起，能完全重合吗？
能
A
E
D
B
F
C
中位线 DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？
探究新知
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
求证：
如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点.
D
E
跟踪训练1　(1)已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是
A.AB∥CD，AB=CD
B.AB∥CD，BC∥AD
C.AB∥CD，BC=AD
D.AB=CD，BC=AD
√
(2)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC.求证：四边形BFCE是平行四边形.
证明　∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB，
在△ACE和△DBF中，
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形.
归纳
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理3：
数学语言：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC , OB=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
跟踪训练2　如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕l交CD边于点E，连接BE.求证：四边形BCED'是平行四边形.
证明　由题意得∠DAE=∠D'AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠AD'E，
∵DE∥AD'，∴∠DEA=∠EAD'，
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，
∴∠DAD'=∠DED'，
∴四边形DAD'E是平行四边形，∴DE=AD'.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴CE∥D'B，CE=D'B，
∴四边形BCED'是平行四边形.
课堂小结
反思感悟
当已知一条对角线被另一条对角线平分时，只需证明两条对角线互相平分，即可证明该四边形是平行四边形.
跟踪训练2　如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在OA，OC的延长线上，连接BE，DE，BF，DF，并且AE=CF，则四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解　四边形BFDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO+AE=CO+CF，
即EO=FO.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
D
探究新知
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，AB=CD 且 AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
探究新知
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC 和△CDA中，
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB= CD,
练习
1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行.
2.如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.
求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF.
又∵ ∠AEF=∠CFE=90°，
∴ AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
2.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线. 求证：四边形AFCE是平行四边形.
D
C
B
A
E
F
分析：已知AF∥CE，利用定义法来证明FC∥AE 进而证明平行四边形；也可通过两组对角分别相等来证明平行四边形.
又∵ AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AD∥BC,
∴ ∠DFC=∠FCB,∠DAE=∠AEB,
∴ ∠AFC=∠AEC,
D
C
B
A
E
F

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