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21.2.1平行四边形及其性质
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握两条平行线之间的距离的意义；
2 能熟练运用两条平行线之间的距离的意义去解题.
知识回顾
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
平行四边形的定义：
平行四边形的性质：
O
B
A
C
D
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AO=CO，BO=DO
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
在△OAB 和△OCD 中，
∴△OAB ≌△OCD （ASA）.
∴OA = OC，OB = OD.
∠1 = ∠2，
AB = CD，
∠3 = ∠4.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
小 结
例 2 如图，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
[选自教材P44]
【思路分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
思考
　　不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
　　∴AD∥BC，AB∥CD．
　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
　　∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．
A
B
C
D
　　∴ ∠B＝∠D．
　　同理可证明∠A＝∠C．
　　符号语言：
　　∵四边形 ABCD 是平行四边形，
　　∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
A
B
C
D
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等．
新知
A
B
C
D
O
知识点二 平行四边形的面积
例2 如图，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及　ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，
又 ∵OA=OC，∴OA= AC=3， S ABCD=BC AC=8×6=48.
例3 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
A
B
C
D
O
F
E
M
N
证明：如图所示，连接AC.
A
B
C
D
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
∵ AB // CD，AD // BC ∴ ∠1=∠4， ∠2=∠3.
又 AC是△ABC 和△CDA的公共边，
∴AB=CD， AD=BC， ∠ABC= ∠ADC.
∵ ∠BAD= ∠1+∠2， ∠BCD = ∠3+∠4，
∴ ∠BAD= ∠BCD.
∴△ABC≌△CDA.
A
B
C
D
性质1 平行四边形的对边相等.
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC，AB=CD.
性质2 平行四边形的对角相等.
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C ， ∠B= ∠D.
如图，在 □ ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14，△AOD
的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
∵ AB=CD，BC=BC，BD – AC=14 – 8 = 6，
∴△DBC 的周长较长，长 6.
△ABO 与△ADO 的周长呢？
归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.
周长探索
如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过
点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
【思路分析】
△AOE ≌△COF
OE = OF
综合探索
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
归纳
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
变式
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
随堂练习1
1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证:∠ADE = ∠CBF.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴△ADE=∠CBF.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E = ∠C = 65°.
1.如图1,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( ) A.10 B.14 C.20 D.22
2.如图1,在□ABCD中,下列结论中错误的是(　　)
A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD C.AO=CO D.AC⊥BD
3.如图1,在□ABCD中,AC=24,BD=38,AB=m,则m的取值范围是( )
A.24＜m＜39 B.14＜m＜62 C.7＜m＜31 D.7＜m＜12
B
D
B
C
D
A
O
图1
C
4.如图2,□ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点O与AD,BC分别相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
C
A
D
C
B
F
E
O
图2
5.如图,平行四边形ABCD的面积为20,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF,则图中阴影部分的面积为____.
6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3,AD=5,则BD的长是_____.
5
A
E
F
D
O
C
B
A
D
O
C
B
平行四边形的性质
概念
性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
①对边相等.
②对角相等.
③对角线互相平分.
课堂小结
拓展提升
1.如图，□ABCD中，BC=7，BD=10，AC=8，则△AOD的周长为______.
A
B
C
D
O
16
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=CB，OA=OC，OB=OD,
∴AD=7，OA=4，OD=5,
∴△AOD的周长为OA+AD+OD=16.
2.已知□ABCD的周长为60 cm，两邻边AB，BC的长的比为3：2，求AB的长 .
A
B
D
C
解：∵在□ABCD的对边相等,□ABCD的周长为60 cm.
∴AB + BC=30 cm.
∵AB：BC=3：2，即AB=1.5BC.
则1.5BC + BC=30 , 解得 BC=12 (cm).
∴ AB=1.5×12=18 (cm).
3.如图， □ABCD中，∠ADC=119°，BE ⊥DC于点E，DF⊥BC于点 F，BE与DF相交于点H，则∠BHF= 度.
A
B
C
D
H
E
F
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC.
∵DF⊥BC，
∴ ∠ADF= 90°.

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