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21.2.1平行四边形及其性质
知识回顾
前面我们学行四边形的哪些知识点？
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
性质1：平行四边形的对边相等。
性质2：平行四边形的对角相等。
A
B
C
D
O
在平行四边形中你还能找到其他性质吗？
如图，在 □ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？你能证明发现的结论吗？
A
B
C
D
O
观察与度量
探究
[选自教材P43]
探索新知
我们猜想，在□ ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
知识精讲
知识点一 平行四边形的定义
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD记
作 ABCD ( 要注意字母顺序).
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
语言表述：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
K
解：∵DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即 AEKG, ABHG,
AEFD, GKFD, BEKH, CHKF, BEFC,
CDGH, ABCD.
针对练习
1.如图， ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(　　)
A．13
B．14
C．15
D．18
D
距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？
点与点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
有什么特点？
利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点.
a
b
c
d
A
B
D
C
再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
AD = 2.7cm
BC = 2.7cm
相等
探究新知
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别
联系 连接两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．
例题练习
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.
求证∠B=∠C.
【分析】由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
B
C
A
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
【例2-1】如图,在 ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求BC.CD.AC.OA的长.以及 ABCD的面积．
A
B
C
D
O
【例2-2】如图,平行四边形ABCD中,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若平行四边形ABCD的周长为48,DE=5,DF=10,求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x,则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
【归纳】已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
A
F
D
C
B
E
A
D
B
C
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等.
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
你能证明这些猜想吗？
A
D
B
C
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
A
B
C
D
E
F
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质）
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）
在△AOE和△COF中，
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF （ASA ）
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）
如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过
点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF.
综合探索
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
点击打开几何画板演示
归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
E
F
O
　　例2　如图，在 ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F．求证 AE＝CF．
A
B
C
D
E
F
　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
　　∴AD＝CB，∠A＝∠C，
　　∵DE⊥AB，BF⊥CD，
　　∴∠AED＝∠CFB ＝90°．
　　∴△AED≌△CFB （AAS）．
　　∴AE＝CF．
　　DE＝BF 吗？
　　相等，理由如下：
　　如图，直线 a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点，AB 和 CD 相等吗？为什么？
问题
　　∵AB∥CD，AC∥BD，
　　∴AB＝CD（平行四边形的性质）．
　　∴四边形 ABDC 是平行四边形（平行四边形的定义）．
A
C
B
D
a
b
c
d
　　两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
反思感悟
过平行四边形一个内角的角平分线交平行四边形的对边或对边的延长线围成一个等腰三角形，从而得到的两条线段相等.
跟踪训练3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC=　　 .
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB.
∴∠DEA=∠EAB，
∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB=∠DAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=DE，
∵AD=3，AB=5，
∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2.
2
拓展提升
1.如图，□ABCD中，BC=7，BD=10，AC=8，则△AOD的周长为______.
A
B
C
D
O
16
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=CB，OA=OC，OB=OD,
∴AD=7，OA=4，OD=5,
∴△AOD的周长为OA+AD+OD=16.
∴AE=CF.
A
B
D
C
E
F
2.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,
∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA,
∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD,CF=BC,
3.有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60 ,AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm,∠D的度数是60 .
平行四边形的性质
概念
性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
①对边相等.
②对角相等.
③对角线互相平分.
课堂小结

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