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8.4　乘 法 公 式
第1课时　完全平方公式
掌握完全平方公式的结构特征，并能正确地运用该公式进行计算．
建议用时：15分钟
1 (2025苏州工业园区期中)计算(x＋2)2的结果是(　　)
A. x2＋4 B. x2＋4x＋4 C. x2－4 D. x2－4x＋4
2 下列式子中，能用完全平方公式计算的是(　　)
A. (3a－2b)(－2b－3a) B. (3a＋2b)(－3a－2b)
C. (3a＋2b)(－2a－3b) D. (3a－2b)(3a＋2b)
3 (2025常州天宁期中)若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值为(　　)
A. －6 B. 6 C. 12 D. －12
4 (2025无锡梁溪月考)已知(a＋b)2＝9，ab＝，则(a－b)2的值为(　　)
A. 16 B. 9 C. 3 D. 1
5 (2025扬州江都期中)计算：(－x＋y)(x－y)＝________．
6 (教材P39 练习T4变式)填空：
(1) (a－3b)2＝a2＋________＋9b2;
(2) 4x2＋________＋1＝(2x＋________)2.
7 (2025南京鼓楼月考)已知x2－2x＝2，则代数式(x－1)2＋2 022＝________．
8 计算：
(1) (2x＋1)2－(2x)2; (2) (a－2)2－(2a－1)(a－4).
9 (教材P38 例2变式)用完全平方公式简便计算：
(1) 1022；　　　　　　　(2) 9992；　　　　　　　(3) (20)2.
建议用时：20＋5分钟
10 (2025南京玄武期中)两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的(　　)
A. 和 B. 差 C. 积 D. 商
11 (2025扬州邗江期中)已知(x－5)2＋(x－7)2＝30，则(x－6)2的值为(　　)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
12 (2025泰州海陵期中)若(2x＋m)2＝4x2＋4mx＋1，则m＝________．
13 (2025宿迁沭阳期中)简便计算：422－42×24＋122＝________．
14 (2025南京鼓楼月考)如图，长方形ABCD的周长为16，分别以长方形ABCD的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积之和为18，则长方形ABCD的面积是________．
15 计算：
(1) 3(x＋1)2－2(x－1)2; (2) (3a－b＋c)2.
16 (2025宿迁宿城月考)已知x＋y＝3，(x＋3)(y＋3)＝20.求：
(1) xy的值；
(2) (x－y)2的值．
17 若x，y满足x2＋y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
(1) (x＋y)2；
(2) x4＋y4；
(3) x－y.
第2课时　平方差公式
掌握平方差公式的结构特征，并能正确地运用该公式进行计算．
建议用时：15分钟
1 (2025无锡滨湖期中)计算(a＋b)(－a＋b)的结果是(　　)
A. a2－b2 B. b2－a2 C. －a2－2ab＋b2 D. －a2＋2ab＋b2
2 (2025苏州姑苏月考)下列式子中，能用平方差公式计算的是(　　)
A. (－x＋5)(x－5) B. (－x＋5)(－x－5)
C. (x＋5)(x＋5) D. (x＋5)(－x－5)
3 (2025镇江扬中期末)若(－x＋y)(　　)＝x2－y2，则(　　)内填的是(　　)
A. －x－y B. －x＋y C. x－y D. x＋y
4 (2025无锡梁溪月考)如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，则由图形的变化过程可以验证下列等式成立的是(　　)
A. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 B. a(a＋b)＝a2＋ab
C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D. (a－b)(a＋b)＝a2－b2
5 (教材P41 练习T3变式)填空：
(1) (________)(3x＋4)＝16－9x2 ; (2) (________)(5－x)＝25－x2.
6 (2025 苏州相城月考)已知i2＝－1，则(1＋2i)(1－2i)＝________．
7 (2025扬州高邮月考)已知x＋y＝4，x－y＝7，则x2－y2＝________．
8 (2025徐州沛县期中)已知一个长方体游泳池的长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，深为(2a－3b)m，则这个游泳池的容积是________m3.
9 利用平方差公式计算下列各式：
(1) x(x－1)－(x－)(x＋); (2) (2x＋y)(2x－y)＋(x－y)2；
(3) (a－1)(a＋1)(a2＋1); (4) (2x＋3)2(2x－3)2.
建议用时：25＋5分钟
10 (2024镇江润州期末)下列乘法公式的运用中，正确的是(　　)
A. (－4a＋5)(4a－5)＝16a2－25 B. (－2a－3)2＝4a2－12a＋9
C. (－a＋5)(－a－5)＝a2－25 D. (3a＋5)(－3a－5)＝9a2＋30a＋25
11 (2025苏州昆山月考)已知a＋b＝6，则a2－b2＋12b的值为(　　)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
12 (2025泰州海陵月考)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫作“幸福数”，例如：因为32－12＝8，所以8为“幸福数”，则下列数中是“幸福数”的为(　　)
A. 42 B. 68 C. 126 D. 32
13 (2025苏州工业园区月考)计算：2 024×2 026－2 0252＝________．
14 (2025常州钟楼月考)将20 cm长的一段铁丝分成两段，每一段都围成一个正方形，若这两个正方形的面积之差是5 cm2，则这两段铁丝的长分别为________．
15 (2025盐城大丰月考)若N＝2×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)，则N的值为________．
16 用简便方法计算：
(1) 204×196；　　　　　　(2) －10×9；　　　　　　(3) 99×100.
17 (2025扬州高邮期中)已知多项式M＝(x＋2)2＋(2－x)(2＋x)－2.
(1) 化简多项式M；
(2) 若(x＋1)2－x2＝5，求多项式M的值．
18 (2025宿迁宿城期末)【发现】比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除．
【验证】(1) 82－32＝________＝________×5；
(2) 设奇数为2n＋1，试求证：比2n＋1大5的数与2n＋1的平方差能被5整除；
【延伸】(3) 请利用整数k证明：比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5.
第3课时　乘法公式的综合应用
灵活运用完全平方公式和平方差公式进行较复杂的多项式乘多项式计算．
建议用时：15分钟
1 (2025扬州江都期中)若为了运用平方差公式计算(x＋3y－z)(x－3y＋z)，则下列变形中正确的是(　　)
A. [x－(3y＋z)]2 B. [(x－3y)＋z][(x－3y)－z]
C. [x－(3y－z)][x＋(3y－z)] D. [(x＋3y)－z][(x－3y)＋z]
2 (2025常州月考)下列各式中，运算结果为a2－16b2的是(　　)
A. (－4b＋a)(－4b－a) B. (4b－a)(－4b－a)
C. (－4b＋a)(4b－a) D. (4b＋a)(4b－a)
3 计算(xy－1)2－(xy－1)(xy＋1)的结果是(　　)
A. 2xy－2 B. －2xy＋2 C. 2 D. －2
4 计算(x＋3)2－(2＋x)(2－x)－2x2的结果是(　　)
A. 6x＋5 B. 5 C. －2x2＋6x＋5 D. －2x2＋5
5 计算：(x＋2)2－(x＋1)(x－1)＝________．
6 (2025扬州仪征期中)若(x＋3)(x2＋9)(x－3)＝xn－81，则n＝________．
7 计算：(3x＋1)(3x－1)(9x2－1)＝________．
8 计算：
(1) (2x－1)2－(2x＋3)(2x－3); (2) (2x＋y)(2x－y)＋(2x＋y)2；
(3) (x＋3)2(x－3)2; (4) 4(x－2)2＋3(x＋2)2－(7x2＋30).
(5) (2a－b－3)(2a＋b－3); (6) 3(x＋y)(x－y)－(2x＋y)(－2x＋y).
建议用时：20＋5分钟
9 (2025宿迁宿城期中)在多项式4x2＋1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可能是(　　)
A. 4x B. 2x C. －4x D. 4x4
10 (2025南京江宁模拟)下列式子中，运算结果最小的是(　　)
A. 2002＋1 B. 199×201 C. 1992＋2×199＋1 D. 2012－2×201＋1
11 若M＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)，N＝(a＋1)2(a－1)2，其中a≠0，则M，N的大小关系是(　　)
A. M>N B. M12 (2025扬州仪征期中)已知小刚将(2 025x＋2 022)2展开后得到ax2＋bx＋c，将(2 024x＋2 023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 4 049 D. －4 049
13 (2025苏州昆山期末)将4个数a，b，c，d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，上述记号叫作2阶行列式．若＝8，则x＝________．
14 (2025泰州姜堰月考)若a2＋ab＝17＋m，b2＋ab＝8－m，则a＋b＝________．
15 (2025南京秦淮期末)若x＋y＝m，x－y＝n，则xy＝________．(用含m，n的式子表示，结果需化简)
16 已知a，b满足|a2＋b2－8|＋(a－b－1)2＝0.
(1) 求ab的值；
(2) 先化简，再求值：(2a－b＋1)(2a－b－1)－(a＋2b)(a－b).
17 (2025南京秦淮月考)将完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若a－b＝3，ab＝1，求a2＋b2的值．
解：因为a－b＝3，ab＝1，所以(a－b)2＝9，2ab＝2，所以a2＋b2－2ab＝9，2ab＝2，所以a2＋b2＝11.
根据上述方法，解决下列问题．
(1) 若2m＋n＝5，4m2＋n2＝13，则mn＝________；
(2) 若m满足(m－2 023)2＋(m－2 024)2＝2 025，求(m－2 023)(2 024－m)的值．
微专题2　乘法公式的灵活运用
类型一：运用乘法公式的变形求代数式的值
1 (1) 先化简，再求值：(－3x＋y)(－y－3x)－(2x－3y)2，其中x＝2，y＝－1；
(2) 若有理数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9，求a2＋b2－ab的值．
2 (2025连云港海州期中)如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
图1 图2 图3
(1) 观察图2，直接写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的关系为________________；
(2) 利用(1)的结论和公式变形，解决下列问题．
①已知x＋y＝7，xy＝6，则x－y＝________；
②已知(2 024－x)(x－2 025)＝－6，求(2 024－x)2＋(x－2 025)2的值；
(3) 将两个正方形ABCD，AEFG按如图3所示的方式摆放，边长分别为x，y，若x2＋y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积．
类型二：运用乘法公式进行简便运算
3 用简便方法计算：
(1) 102×98；　　　　(2) 1012＋992；　　　　(3) 2022＋202×196＋982.
类型三：运用乘法公式解决整除问题
4 (2025镇江丹徒期末)已知整式A＝2t＋3，B＝2t－3，t为任意有理数．
(1) A·B＋13的值可能为负数吗？请说明理由；
(2) 请通过计算证明：当t是整数时，A2－B2的值一定能被24整除．
5 【发现】任意三个连续偶数的平方和是4的倍数．
【验证】(1) 22＋42＋62的结果是4的多少倍？
(2) 设三个连续偶数的中间一个数为2n，写出它们的平方和，并说明是4的倍数；
【延伸】(3) 设三个连续奇数的中间一个数为2n＋1，写出它们的平方和，它是12的倍数吗？若是，请说明理由；若不是，写出被12除的余数．
类型四：运用乘法公式解决最值问题
6 (2025扬州期末)先阅读下面的例题，再按要求解答问题．
求代数式x2＋6x＋10的最小值．
解：根据题意，得x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1.
因为 (x＋3)2≥0，所以(x＋3)2＋1≥1，所以x2＋6x＋10的最小值是1.
请利用上述方法，解答下列问题．
(1) 代数式y2＋10y＋27的最小值为________；
(2) 若代数式x2＋2kx＋7的最小值是6，则k＝________；
(3) 判断代数式8－m2＋4m有最大值还是最小值，并求出该最值；
(4) 已知a，b为任意值，试比较4a2＋b2＋11与12a－2b的大小关系，并说明理由．
8．4　乘 法 公 式
第1课时　完全平方公式
1. B　2. B　3. D　4. C　5. －x2＋2xy－y2
6. (1) (－6ab)　(2) 4x　1(答案不唯一)
7. 2 025
8. 解：(1) 4x＋1　(2) －a2＋5a
9. 解：(1) 1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404.
(2) 9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000＋1＝998 001.
(3) (20)2＝(20＋)2＝202＋2×20×＋＝420.
10. A　11. B　12. ±1　13. 900　14. 23
15. 解：(1) x2＋10x＋1　(2) 9a2＋b2＋c2－6ab－2bc＋6ac
16. 解：(1) 因为x＋y＝3，(x＋3)(y＋3)＝20，
所以xy＋3(x＋y)＋9＝20，
所以xy＋3×3＋9＝20，所以xy＝2.
(2) 由(1)知，xy＝2.
因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，x＋y＝3，
所以(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×2＝9－8＝1.
17. 解：(1) 因为x2＋y2＝8，xy＝2，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝8＋2×2＝12.
(2) 因为x2＋y2＝8，xy＝2，
所以x4＋y4＝(x2＋y2)2－2x2y2＝82－2×22＝56.
(3) 因为x2＋y2＝8，xy＝2，
所以(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝8－2×2＝4，
所以x－y＝±2.
第2课时　平方差公式
1. B　2. B　3. A　4. D　5. (1) 4－3x　(2) 5＋x
6. 5　7. 28　8. (16a4－81b4)
9. 解：(1) －x＋　(2) 5x2－2xy　(3) a4－1
(4) 16x4－72x2＋81
10. C　11. D　12. D　13. －1　14. 12 cm和8 cm
15.
16. 解：(1) 39 984　(2) －99　(3) 9 999.96
17. 解：(1) M＝(x＋2)2＋(2－x)(2＋x)－2＝x2＋4x＋4＋4－x2－2＝4x＋6.
(2) 因为(x＋1)2－x2＝5，
所以x2＋2x＋1－x2＝5，
所以2x＋1＝5，解得x＝2，
将x＝2代入M，得M＝4×2＋6＝14.
18. (1) 解：(8＋3)×(8－3)　11
(2) 证明：根据题意，得(2n＋6)2－(2n＋1)2＝(2n＋6＋2n＋1)(2n＋6－2n－1)＝5(4n＋7).
因为n为整数，所以5(4n＋7)是5的倍数，
所以比2n＋1大5的数与2n＋1的平方差能被5整除．
(3) 证明：设任意一个整数为k，则比k大5的数为k＋5，
所以(k＋5)2－k2＝(k＋5＋k)(k＋5－k)＝10k＋25＝10k＋20＋5＝10(k＋2)＋5.
因为k为整数，所以10(k＋2)＋5被10除余5，
所以比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数为5.
第3课时　乘法公式的综合应用
1. C　2. B　3. B　4. A　5. 4x＋5　6. 4
7. 81x4－18x2＋1
8. 解：(1) －4x＋10　(2) 8x2＋4xy　(3) x4－18x2＋81　(4) －4x－2　(5) 4a2－12a＋9－b2
(6) 7x2－4y2
9. B　10. B　11. A　12. C　13. 2　14. ±5　15.
16. 解：(1) 因为|a2＋b2－8|＋(a－b－1)2＝0，
所以a2＋b2－8＝0，a－b－1＝0，
所以a2＋b2＝8，a－b＝1，
所以(a－b)2＝1，即a2＋b2－2ab＝1，
所以8－2ab＝1，所以ab＝.
(2) 根据题意，得 (2a－b＋1)(2a－b－1)－(a＋2b)(a－b)＝(2a－b)2－12－(a2－ab＋2ab－2b2)＝4a2－4ab＋b2－1－a2＋ab－2ab＋2b2＝3a2＋3b2－5ab－1＝3(a2＋b2)－5ab－1.
当a2＋b2＝8，ab＝时，原式＝3×8－5×－1＝.
17. 解：(1) 3
(2) 因为(m－2 023)－(m－2 024)＝1，
所以[(m－2 023)－(m－2 024)]2＝1，
所以(m－2 023)2＋(m－2 024)2－2(m－2 023)·(m－2 024)＝1.
因为(m－2 023)2＋(m－2 024)2＝2 025，
所以2 025－2(m－2 023)(m－2 024)＝1，
所以(m－2 023)(m－2 024)＝1 012，
所以(m－2 023)(2 024－m)＝－1 012.
微专题2　乘法公式的灵活运用
1. 解：(1) 原式＝－(y－3x)(y＋3x)－(2x－3y)2＝－y2＋9x2－4x2＋12xy－9y2＝5x2＋12xy－10y2.
当x＝2，y＝－1时，原式＝5×22＋12×2×(－1)－10×(－1)2＝20－24－10＝－14.
(2) 因为(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9，
所以ab＝＝＝－2，
所以a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3×(－2)＝7.
2. 解：(1) (m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
(2) ①±5
②因为(2 024－x)(x－2 025)＝－6，
所以(2 024－x)2＋(x－2 025)2＝[(2 024－x)＋(x－2 025)]2－2(2 024－x)(x－2 025)
＝(－1)2－2×(－6)＝1＋12＝13.
(3) 因为BE＝2，所以x－y＝2.
由图易得S△CDF＝x×2＝x，S△BEF＝×2y＝y，
所以S阴影＝S△CDF＋S△BEF＝x＋y.
因为x2＋y2＝34，所以(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝34－2xy＝4，所以xy＝15，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝34＋2×15＝64，
所以x＋y＝8(负值舍去)，
所以阴影部分的面积为8.
3. 解：(1) 9 996　(2) 20 002　(3) 90 000
4. (1) 解：A·B＋13的值不可能为负数．理由如下：
根据题意，得A·B＋13＝(2t＋3)(2t－3)＋13＝4t2－9＋13＝4t2＋4.
因为4t2≥0，所以4t2＋4＞0，
所以A·B＋13的值不可能为负数．
(2) 证明：根据题意，得A2－B2＝(2t＋3)2－(2t－3)2＝24t.
因为t是整数，所以24t一定能被24整除，
所以当t是整数时，A2－B2的值一定能被24整除．
5. 解：(1) 因为22＋42＋62＝4＋16＋36＝56＝4×14，
所以22＋42＋62的结果是4的14倍．
(2) 根据题意，设三个连续的偶数分别为2n－2，2n，2n＋2，其中n是整数，
则(2n－2)2＋(2n)2＋(2n＋2)2＝4n2－8n＋4＋4n2＋4n2＋8n＋4＝12n2＋8＝4(3n2＋2)，
所以三个连续偶数的平方和是4的倍数．
(3) 根据题意，设三个连续的奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3，其中n是整数，
则(2n－1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2＝4n2－4n＋1＋4n2＋4n＋1＋4n2＋12n＋9＝12n2＋12n＋11＝12(n2＋n)＋11，
所以(2n－1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2不是12的倍数，被12除的余数是11.
6. 解：(1) 2　(2) ±1
(3) 根据题意，得8－m2＋4m＝－(m2－4m＋4)＋8＋4＝－(m－2)2＋12≤12，
所以8－m2＋4m有最大值12.
(4) 4a2＋b2＋11＞12a－2b.理由如下：
因为4a2＋b2＋11－(12a－2b)＝4a2－12a＋b2＋2b＋11＝(2a－3)2＋(b＋1)2＋1≥1，
所以4a2＋b2＋11＞12a－2b.

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