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杭州二中 2025 级高一下数学周末练 3
一、单选题
1、在 中，若点 是 边上靠近点 的三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
2、已知平面向量 满足 ， ， ，则 的值是_____( )
A. B. 7 C. D. 10
3、已知向量 满足 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
4、如图， 中， ， ， 是 边中垂线上任意一点，则 的值是 ( )
A. 1 B.
C. 2 D. 4
5、已知圆 的半径为 13， 和 是圆 的两条动弦，若 10, ,则 的最大值是 ( )
A. 17 B. 20
C. 34 D. 48
6、在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的形状为 ( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
7、在等腰 中， ，若点 为 的垂心，且满足 ， 则 的值为 ( )
A. B. C. D.
8、在 中， 所对的边分别为 ，已知 且 ，若 面积为 4，则 ( )
A. 2
B. C. D.
二、多选题
9、已知 是复数，且 为纯虚数，则 ( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为
10、在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 有最大值 D.
11、正方形 的边长为2, 在 上,且 ,如图,点 是以 为直径的半圆上任意一点， ，则 ( )
A. 最大值为 B. 最大值为 1
C. 最大值是 D. 的最大值为
三、填空题
12、已知 是方程 的一个根，则 _____.
13、如图，为了测量河对岸 两点之间的距离，在河岸这边取点 ，测得 ,设 在同一个平面内，试求 ， 两点之间的距离为_____；
14、已知 为 的外心，若 ，则 的最大值为_____.
四、解答题
15、(1)计算: ;
(2)已知 ，求 的模.
16、如图，在平行四边形 中， ， ， 为 中点， 且 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 的取值范围.
17、在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
18、在 中，角 的对边分别为 . 且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值.
19、若三角形 内一点 满足 ，则称 为三角形 的布洛卡点， 为三角形 的布洛卡角. 已知 ， ， 分别为三角形 三个内角 ， 所对的边,点 为三角形 的布洛卡点, 为三角形 的布洛卡角.
(1)若 ，足 ，求三角形 的布洛卡角的余弦值值；
(2)若三角形 的面积为 .
①证明: ；
②当 ， 时，求面积 的大小.
杭州二中 2025 级高一下数学周末练 3
一、单选题
1、在 中，若点 是 边上靠近点 的三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
如图,
.
故选: .
2、已知平面向量 满足 ，则 的值是_____▲_____
A. B. 7 C. D. 10
【答案】
由于 ,所以 ,又因为 ,故 . 所以有 .
故选:
3、已知向量 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
由模长公式 ,
由夹角公式 .
故选:
4、如图， 中， ， ， 是 边中垂线上任意一点，则 . 的值是 ( )
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】
设 中点为 (如图所示)，
则 ，
所以
又 ,所以 ,
又因为 ,
所以
.
故选: .
5、已知圆 的半径为 13， 和 是圆 的两条动弦，若 ， ， 则 的最大值是 ( )
A. 17 B. 20 C. 34 D. 48
【答案】
设 是圆的圆心,连接 ,作 ,垂足分别为 , ,
则 分别是 的中点,由勾股定理得 ,
故 ,
当 反向时等号成立,
所以 的最大值是 34 .
故选:
6、在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的形状为 ( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】
由正弦定理可得 ,
所以 ,
即 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以 .
故选: .
7、在等腰 中， ，若点 为 的垂心，且满足 ， 则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】
如图，在等腰 中，找底边 的中点 ，
作 交点 即为垂心,
以 为原点建立平面直角坐标系，
设 ,故 ,
故 ,
故 ,
设 ,故 ,则 ,
故 ,
又 ,故 ,而 ,则 ,解得 ,
故 ,故 ,解得 ,可得 ,
易得 ,可得 ,可得 ,解得
由三线合一性质得 平分 ,故 ,而 ,
由二倍角公式得 ，故 ，故 正确.
故选:
8、在 中， 所对的边分别为 ，已知 且 ,若 面积为 4,则 ( )
A. 2
B. C. D.
【答案】
因为 .
所以
所以
所以 .
由正弦定理可得: ，又 ，所以 .
因为 面积为 4，所以 ①
由余弦定理可得: ，
所以: ②
① ②可得: ，即 .
所以 .
故选:
二、多选题
9、已知 是复数，且 为纯虚数，则 ( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为
【答案】
由题意设 ,
则 .
因为 为纯虚数,
所以 ,且 ,即 ,且 .
因此 ,故选项 正确; ,所以故选项 正确;
因为 在复平面内对应的点为
所以 在复平面内对应的点不在实轴上,故选项 错误;
因为 表示圆 上的点到点 的距离,
且最大距离为 ,故选项 正确.
故选: .
10、在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 有最大值 D.
【答案】
由 及正弦定理 得: ,
对于 正确;
对于 错误;
对于
,其中锐角 由 确定,
因此 有最大值 正确；
对于 ,而 ,当且仅当 时取等号,
则 ,
两边平方得: ，又 ，
化简得: ,且 ,解得 ,
所以 ,即 成立, 正确.
故选:
思路点睛: 处理三角形中的边角关系时, 一般全部化为角的关系, 或全部化为边的关系. 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理, 出现边的二次式一般采用到余弦定理.
11、正方形 的边长为2， 在 上，且 ，如图，点 是以 为直径的半圆上任意一点， ，则 ( )
A. 最大值为 B. 最大值为 1
C. 最大值是 D. 的最大值为
【答案】
以线段 所在直线为 轴,线段 的中垂线为 轴,建立平面直角坐标系, 如图,
,设
则 ，由 ，
得 ,则 ,解得 ,
对于 ,其中锐角 由 确定,
,则当 时, 错误;
对于 ,当且仅当 时取等号, 正确;
对于 ,其中锐角 由 确定,
,则当 时, 取得最大值 正确;
对于 ,则
,而 ,当 时, 取得最大值为 错误.
故选:
三、填空题
12、已知 是方程 的一个根，则 _____.
【答案】 0
由 是方程 的一个根,得 是该方程的另一根,
则 ,解得 ,
所以 .
故答案为: 0
13、如图，为了测量河对岸 两点之间的距离，在河岸这边取点 ，测得 ,设 在同一个平面内,试求 两点之间的距离为_____；
【答案】
在 中， ，则 ，
其中
,
由正弦定理,得 ,
在 中, ,则 ,
又 ,则 ,
又 ,
在 中,由余弦定理,得
所以 .
故答案为:
14、已知 为 的外心，若 ，则 的最大值为_____.
【答案】
依题意 两边同时乘以 得:
即 ,
,
即 ,
即 ,而 ,
则
又 ,
.
故 的最大值为 ,
故答案为:
四、解答题
15、(1)计算: ;
(2)已知 ，求 的模.
【答案】 .
(1) 原式
(2) ,
的模为 .
16、如图，在平行四边形 中， ， ， 为 中点， 且 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 的取值范围.
【答案】
(2)
(1) 解: 在平行四边形 中, ,
，
建立如图坐标系，
则 ， ， ， ，
为 中点,故 ,
,故 ,
,
,
所以 ,
;
(2)解:由(1)可知， ， ，
所以 ,
所以 ,
当 时， 的最大值为 ，当 时，最小值为 -6 .
所以 ;
17、在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)10
(1) 由 ，正弦定理可得 ，
因为 ,所以 ,两边同时除以 得 ,
得 .
(2) 由 ，得 .
因为 且 ，所以 .
再由 ,得 ,即 .
由余弦定理: ,得 .
因此 的周长为 .
18、在 中，角 的对边分别为 . 且满足 .
(1)求角 的大小；
( 2 )若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值.
【答案】
(2)
(3)
(1) 由 ,得 ,则 ,即 ,
而 ,所以 .
(2)由等面积法得: ，即 ， 因此 ,在 中,由余弦定理得 , 即 ,所以 .
(3) 由 平分 ,得 ,
在 中,设 ,则 ,
在 中，由正弦定理，得 ，则 ，
在 中，由正弦定理，得 ，则 ，
得 ,故有 .
在 中，由正弦定理，得 ，则 ，
得 代入 (*) 式,可得 ,即 .
由基本不等式,得 ,解得 ,当且仅当 时取“=”.
于是, . 即 的面积的最小值为 .
思路点睛:解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用, 遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题.
19、若三角形 内一点 满足 ，则称 为三角形 的布洛卡点， 为三角形 的布洛卡角. 已知 分别为三角形 三个内角 ， 所对的边,点 为三角形 的布洛卡点, 为三角形 的布洛卡角.
(1)若 ，足 ，求三角形 的布洛卡角的余弦值值；
(2)若三角形 的面积为 .
①证明: ；
② 当 时，求面积 的大小.
【答案】
(2)①证明见解析；② .
(1) 设 ,则 ,令 ,
在 中由余弦定理可得 ,
同理在 中有 ,
即 ,可得
两式相减可得 ,解得 .
(2)①由图可得 ，
则要证等式右边等于 ，
由余弦定理, ,
同理可得: ， .
则要证等式右边等于 左边；
②先证:在三角形中， ，当且仅当三角形为等边三角形取等号.
由海伦公式, ,其中 .
则 .
故所证不等式等价于证明:
即证: ,
即证: ,
注意到 ,
则
注意到
,则 ,
即 ,当且仅当三角形 为等边三角形时取等号.
当 时,由①, ,由以上证明不等式取等条件可得, 此时三角形 为等边三角形,则 .

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