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北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 强化训练
【题型1】线段垂直平分线的性质
【典例】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A.到三边距离相等 B.到三顶点距离相等 C.不在第三边的垂直平分线上 D.以上都不对
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
【强化训练2】如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=，则BE两点间的距离是（ ）
A.4 B. C. D.3
【强化训练3】点P在线段MN的垂直平分线上，PN=7cm，则PM= ．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，求PA＋PB的最小值.
【强化训练5】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系 并加以证明．
【题型2】线段垂直平分线性质与全等三角形
【典例】如图所示，直线DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A.ED=CD B.∠DAC=∠B C.∠C＞2∠B D.∠B+∠ADE=90°
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【强化训练3】如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
【强化训练5】如图，已知在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.
求证：(1)BF＝CG；
(2)AF＝ (AB＋AC)．
【题型3】线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
【典例】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【强化训练1】如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【强化训练2】已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示．
（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条件）
（2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由．
解：（1）添加条件：______；
（2）说明：
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE＝3AE.
【题型4】线段垂直平分线的判定
【典例】如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
【强化训练1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【强化训练2】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD垂直平分EF.
【强化训练3】在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．
【题型5】线段垂直平分线的性质与判定
【典例】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【强化训练1】下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
【题型6】尺规作图——作线段的垂直平分线
【典例】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【强化训练1】如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
【强化训练2】为进一步打造“宜居城市”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
【强化训练3】为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示）， 请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:不写作法，保留作图痕迹．北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 强化训练（参考答案）
【题型1】线段垂直平分线的性质
【典例】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A.到三边距离相等 B.到三顶点距离相等 C.不在第三边的垂直平分线上 D.以上都不对
【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，OC，∵O为△ABC两边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB=OC，OA=OC，∴OA=OB=OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等．三角形的三个角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A，C，D错误，只有选项B正确．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
【答案】A
【解析】连接OA、OB，如图，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°．
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=70°，
∴∠OBC+∠BCO=110°-70°=40°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=20°．
【强化训练2】如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=，则BE两点间的距离是（ ）
A.4 B. C. D.3
【答案】C
【解析】连接BE，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=．
【强化训练3】点P在线段MN的垂直平分线上，PN=7cm，则PM= ．
【答案】7cm
【解析】由线段垂直平分线的性质可得PM=PN=7(cm)．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，求PA＋PB的最小值.
【答案】解 如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴PA＋PB＝PA＋PC≥AC，
∴当点P与点E重合时，即PA＋PB＝AC＝4时，取最小值，∴PA＋PB的最小值是4.
【强化训练5】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系 并加以证明．
【答案】解 AB+BD=DE．证明：∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC．又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=EC．∵AC+CD=AB+BD，∴EC+CD=AB+BD．
即AB+BD=EC+CD=DE．
【题型2】线段垂直平分线性质与全等三角形
【典例】如图所示，直线DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A.ED=CD B.∠DAC=∠B C.∠C＞2∠B D.∠B+∠ADE=90°
【答案】D
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∴∠B=∠BAD，
∠ADE=∠BDE．
∴∠B+∠ADE=90°．
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
【答案】D
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【答案】B
【强化训练3】如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【答案】50
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，
∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴EB=EA，∠BED=∠AED=90°，
∴Rt△BDE≌Rt△ADE，
∴∠B=∠BAD，
∵∠CAD=2∠DAB，
且∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
∴4∠B=90°，
∴∠B=22.5°．
【强化训练5】如图，已知在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.
求证：(1)BF＝CG；
(2)AF＝ (AB＋AC)．
【答案】证明　(1)连接BE，CE(图略)．
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BAE=∠CAE，∠AFE=∠AGE=90°，
又∵AE=EA，∴△AFE≌△AGE，
∴EF＝EG.
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC.
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)．
∴BF＝CG.
(2)∵BF＝CG，
∴AB＋AC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG.
由(1)得EF＝EG，
△AFE≌△AGE，
∴AF＝AG.
∴AF＝ (AB＋AC)．
【题型3】线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
【典例】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【答案】A
【解析】连接BD，如图所示，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝×(180°－120°)＝30°，
∴∠ABD＝30°，∴∠CBD＝90°，
∴CD＝2BD，∴CD＝2AD，
∴AC＝AD＋CD＝AD＋2AD＝3AD，
又AC＝6(cm)，∴AD＝2(cm)．
【强化训练1】如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵点B在AD的垂直平分线上，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D＝15°，
∴∠ABC＝∠BAD＋∠D＝30°，
∵∠ACD＝90°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8.
【强化训练2】已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示．
（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条件）
（2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由．
解：（1）添加条件：______；
（2）说明：
【答案】解 (1)∠A=30°.
(2)理由:∵∠A=30°,∠C=90°，
∴BC=AB．
由题意可知△CBE≌△DBE，
∴BC=BD,即BD=AB,
∴D为AB的中点.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE＝3AE.
【答案】证明　∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠DAC＝60°.
∴AB＝2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE.
∴AB＝4AE，∴BE＝3AE.
【题型4】线段垂直平分线的判定
【典例】如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
【答案】A
【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．
【强化训练1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【答案】C
【解析】可添条件为PO⊥AB才能说直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
∵PO⊥AB，
∴∠POA=∠POB=90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO=BO，
∴直线l是AB的垂直平分线．
【强化训练2】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD垂直平分EF.
【答案】证明 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．又AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上．同理，点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【强化训练3】在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．
【答案】证明　因为AD垂直平分BC，
所以BD＝DC，AB＝AC.
又AB＋BD＝DE，
所以AC＋DC＝DE.
又DE＝DC＋CE，
所以AC＝CE.
所以点C在线段AE的垂直平分线上．
【题型5】线段垂直平分线的性质与判定
【典例】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD，Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（∠ADB+10°）=2×（×80°+10°）=100°.
【强化训练1】下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理，
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合判定定理，是正确的；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合判定定理，是正确的；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合判定定理，是错误的；所以正确的是①②③，共3个．
【强化训练2】如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
【答案】证明　∵AB=AD，BC=DC，
∴A、C两点在BD的垂直平分线上，
即AC是BD的垂直平分线，
∴BE=DE．
【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）证明 连接OA，如图，
∵AC=BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．
（2）解 ∵CA=CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF=23°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=23°，
∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，
∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE=44°-23°=21°．
【题型6】尺规作图——作线段的垂直平分线
【典例】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
【解析】根据作图过程可知EB=EC，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴EA=EB，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④．
【强化训练1】如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
【答案】C
【解析】由作图可知，CD垂直平分AB，
∴EA＝EB，OA＝OB，EO⊥AB，
∴根据已知条件不能得到OA和OE的关系．
【强化训练2】为进一步打造“宜居城市”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
【答案】解 作出音乐喷泉M的位置如图：
【强化训练3】为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示）， 请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:不写作法，保留作图痕迹．
【答案】解 本题即为：已知A，B，C三点不在同一直线上，求作一点P，使PA＝PB＝PC. 作法是作出任意两条线段的垂直平分线，交点就是点P.

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