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七年级数学（人教）下册单元培优练习卷
第八单元 实数
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1．若，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
2．估算在哪两个整数之间（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
3．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值
4．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．3
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．是的一个平方根
C．一定没有平方根 D．的立方根是4
7．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
8．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（ ）
A． B． C． D．
10．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
11．若，则一定是（ ）
A．最小，最大 B．最小，a最大
C．最小，a最大 D．最小，最大
12．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个底面是边长为的正方形的长方体铁块拴住，完全滚入盛满水的溢水杯中，并测得溢出的水的体积为．若长方体的高是，且正整数满足，则正整数的值是___________．
14．计算：______．
15．若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________．
16．请你写出一个无理数a，使得，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）．
解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题8分）计算：
；
．
（本题8分）已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．求的平方根．
19．（本题8分）把下列各数填在相应的大括号内：，0，，，314，，0.55，，，，1.262662666…（相邻两个2之间6的个数逐次加1），
有理数集合：{______}；
无理数集合：{______}；
负数集合：{______}；
非负整数集合：{______}；
20．（本题12分）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长；
（2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度．
21．（本题10分）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到）
22．（本题12分）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数．
实数的值是 ；
求的值；
数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根．
23．（本题14分）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”．
证明：11是一个3阶“汇和数”；
证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”；
请在以下两个问题中任选一个解决：
①请判断：505是“汇和数”并说理；
②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”．
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七年级数学（人教）下册单元培优练习卷
第八单元 实数
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1．A
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴的算术平方根为．
2．C
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴值是在5和6之间，
3．D
【详解】解：设，则原方程变为．
∵一个数的立方根等于它本身的数是、、．
∴分三种情况讨论：
①当时，，解得．
②当时，，解得．
③当时，，解得．
∴的值为、、，共3个不同值．
∴甲、乙两人的说法都不对．
4．B
【详解】解：当，取算术平方根，可得：，
是有理数，
再取的立方根，
又是有理数，
再取的算术平方根，
的算术平方根是是无理数，
.
5．C
【详解】解：∵，
∴，
∴序列每3项循环一次：．
∵，余数为0，
∴.
6．B
【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误；
选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确；
选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误；
选项D，∵，而的立方根为，∴D错误.
7．A
【详解】解：∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴的最小值为3，
∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴，
∴的最小值为．
8．D
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的对角线长为，
设点A表示的数为x，
则：，
解得，
即点A表示的数为；
点B表示的数为y，
则：，
解得．
9．B
【详解】解：∵，，
∴，即，
∴大正方形与小正方形的边长之比.
10．D
【详解】解：∵；，即；；；
∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是.
11．A
【详解】
可取，那么
最小，最大．
12．C
【详解】解：由题意得：，，
由于x和y为两个连续正整数，，
∴，，
∴
∴的算术平方根为4.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．4
【详解】解∶根据题意，得，
解得，
∵，
∴，即，
又，
∴．
14．/
【详解】解：
．
15．
【详解】解：∵式子有意义，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵4的平方根为，
∴的平方根是 ．
16．（答案不唯一）
【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（1）解：
．
（2）
．
18．
解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，即，
因此，，，，
∴，
的平方根为．
19．
解：
有理数集合：，0，314，，0.55，，；
无理数集合：，，，1.262662666…（相邻两个2之间6的个数逐次加1）；
负数集合：，，，；非负整数集合：0，314，．
20．
解：（1）设大正方形的边长为x，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
答：大正方形的边长为4；
（2）设小长方形的对角线的长度为m，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
答：小长方形的对角线的长度为．
21．
解：∵m为，大理石的密度为，，
∴米，
∴这个大理石球的半径是米．
22．
（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴
；
（3）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴的算术平方根为．
23．
（1）证明：，且，
是一个3阶“汇和数”；
（2）证明：若n是一个k阶“汇和数”，
不妨设，，
则，
且，
故是阶“汇和数”；
，
且，
故是阶“汇和数”；
（3）①解：505是“汇和数”
理由：由（1）知11是“汇和数”，
由（2）知是“汇和数”，
是“汇和数”，
由（2）知是“汇和数”，
，，，，
是“汇和数”；
②证明：设，，
，
，
是一个阶“汇和数”．
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