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2026年河南省驻马店市遂平县一模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）
A. B. C. D.
2.国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（）
A. B. C. D.
4.2025年国庆中秋假期，宁德文旅热度再创历史新高．全市累计接待游客约为540万人次，实现旅游收入约为41亿元．全市各项旅游收入整理后绘制成如图所示的扇形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（）
A. “酒店住宿”收入约为0.656亿元
B. “A级景区”的旅游人数约为64.8万人
C. “其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍
D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是12°
5.长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了80hm2长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律.如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　）
A. 当t=2s时，v=20m/s B. 当t=2s时，h=20m
C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加1s,h的增加量相同
7.如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率 低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率 ．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率 与洒水量 （单位： ）近似地满足二次函数关系 （ 为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.如图,ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,B=.E为AC边上的动点,F,G为AD上的动点,且FG的长为定值(FGA. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式组的解集为 .
12.随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为 ．
13.彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是 ．
14.如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
15.如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.计算、解方程：
(1) 计算：．
(2) 解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下：
球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球
人数
结合调查信息，回答下列问题：
(1) 统计表中， ， ；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为 ；
(2) 试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数；
(3) 该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率．
18.(本小题9分)
如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且．
(1) 求反比例函数的解析式：
(2) 若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标；
(3) 当时，请根据图象直接写出的取值范围．
19.(本小题10分)
如图，一位探究爱好者利用无人机测量建筑物的高度．无人机飞行至点处，测得正前方水平方向与建筑物的顶端的仰角为，继续沿垂直方向飞行至点处，测得该建筑物顶端的仰角为．已知无人机在点处距离地面的垂直高度为50米，且无人机与建筑物的水平距离为40米（无人机近似看作一个点），请根据提供的信息解决下列问题（结果保留整数）．
(1) 求建筑物的高度；
(2) 若无人机从点处水平飞行至点处，此时测得建筑物的顶端的仰角为，求的长．（参考数据：，）
20.(本小题10分)
2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件．
(1) 求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
(2) 经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？
21.(本小题9分)
海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位： m）与距离起跳点的水平距离（单位： m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面．
(1) 求这次表演时，海豚运动路线的解析式；
(2) 如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值；
(3) 为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围．
22.(本小题9分)
【问题初探】
(1) 在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
(2) 【类比分析】张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．
(3) 【学以致用】如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值： ．
23.(本小题10分)
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
(1) 特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
(2) 若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】-2＜x＜1
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】/
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．

17.【答案】【小题1】



【小题2】
解：（人）；
【小题3】
解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下：
红1 红2 红3 绿1 绿2
红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2）
红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2）
绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2）
绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1）
∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况，
∴被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率为．

18.【答案】【小题1】
解：在直线中，当时，，
点的坐标为，
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
点是线段的中点，
设点的坐标为，
则，
解得：，
点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数解析式得：，
解得：，
反比例函数解析式为：；
【小题2】
解：联立，
解得：或，
，
如图，设，
由面积公式可得：，
即，
解得：或，
或；
【小题3】
解：由图可知，不等式的解集为：或．

19.【答案】【小题1】
解：由题意得，在中，，米，，
∴（米），
∴（米），
答：建筑物的高度约为119米．
【小题2】
解：如图，延长交于点，
则，
∴四边形是矩形，
∴米．
由题意知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
即约为13米．

20.【答案】【小题1】
解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为；
【小题2】
解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元．

21.【答案】【小题1】
解：由题意得，抛物线过点，，
得，
，
；
【小题2】
解：点的坐标为，则点的坐标为，
设点的坐标为，点在抛物线上，
则，
，
；
【小题3】
解：抛物线对称轴为直线，
分两种情况：
①当在对称轴左侧时，
若点经过抛物线，即纵坐标为3，则，
解得，（舍去），
则，
②当在对称轴右侧时，若
点经过抛物线，即纵坐标为3，则
解得（舍去），，
当点经过抛物线，即纵坐标为1，则，
解得（舍去），，
则，
综上所述，的取值范围为或．

22.【答案】【小题1】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
如图，过点作，，垂足分别为，，
，
又平分，，
，，
在四边形中，，
又，
，
又，
，且，，
，
；
【小题3】
8

23.【答案】【小题1】
证明：如图1，分别连接OE、OF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD
∴OE=OF=OA
∴点O即为△AEF的外心．
【小题2】
①猜想：外心P一定落在直线DB上．证明如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA．
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA（AAS），
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上
②为定值2
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y－1，
∵BC// DA，
∴△GBP≌△MDP，
∴BG=DM=x，
∴CG=1－x，
∵BC// DA，
∴△GBP∽△NDM
∴，即，
∴x＋y=2xy，
∴，即=2．

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