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2026年四川泸州初中学业水平适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.年，我国人工智能核心产业规模超过万亿元，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3.下图是一张长方形纸片，用其围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是（）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱锥
4.若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，，点在上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别．其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到”的卡片有1张，写有“成”的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张．随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（）
A. B. C. D.
7.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.菱形的面积为10，点分别为的中点，则四边形的面积为（ ）
A. B. 4 C. 5 D. 6
9.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10.小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11.如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，点M为的中点，连接．若的半径为3，则长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
12.已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
14.若方程的两个根是和，则的值为 ．
15.某球员在罚球线上投篮的结果如下：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 24 60 78 102 123 151 252
估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为 ．（结果保留小数点后一位）
16.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受拉力成正比．一根弹簧原长，挂上的钩码后长度为，挂上的钩码时，弹簧的长度为 ．
17.在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
18.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题11分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题15分)
学校准备购买一批课外读物．为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我最喜爱的课外读物类型”作了一次抽样调查．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：
(1) 这次被调查的学生共有多少人？
(2) 学校计划购买课外读物1200册，根据样本数据，估计学校购买多少册科普类读物比较合理？
(3) 已知甲、乙、丙、丁四位同学最喜爱文学类课外读物，其中甲、乙为男同学，丙、丁为女同学，学校决定从这四位同学中任选两名同学进行访谈，用列表或画树状图的方式求恰好选中一男一女的概率．
21.(本小题12分)
“绿水青山就是金山银山”，某林场计划购买A，B两种树苗．已知购买2株A种树苗、3株B种树苗共需130元；购买3株A种树苗、1株B种树苗共需90元．
(1) 求A，B两种树苗每株各多少元？
(2) 据了解，A，B两种树苗的成活率分别为，，现计划购买两种树苗共100株．若要求这批树苗的总成活率不低于，且购买总费用最少，求 A种树苗最多购买多少株？此时购买两种树苗的总费用最少为多少？
22.(本小题12分)
某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观．某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动－测量梨树的高度．如图，梨树生长在一斜坡上方的平地上．在斜坡底部点处测得梨树顶端点的仰角为，在斜坡点处测得点的仰角为，斜坡长度为26米，坡度（图中各点均在同一平面内）．
(1) 求坡上平地离水平地面的高度；
(2) 求梨树的高度．（参考数值：，，结果保留1位小数）
23.(本小题12分)
如图，直线与轴，轴分别交于两点，点在直线上，且位于第二象限，．过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于第三象限的点，连接，的面积为6．
(1) 求值和点的坐标；
(2) 如图，点是直线上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标．
24.(本小题12分)
如图，在中，，点是边上一点，（点不与点，点重合），以为直径的分别交，于点，连接交于点，交于点，连接，且．
(1) 求证：是的切线；
(2) 已知，，求的长．
25.(本小题15分)
已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）．
(1) 如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式；
(2) 如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标；
(3) 若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】
14.【答案】2025
15.【答案】0.5
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】解：原式
．

19.【答案】解：
．
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
解：这次被调查的学生共有（人）；
【小题2】
解：组的人数有（人）；
∴，
∴估计学校购买180册科普类读物比较合理；
【小题3】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女的有8种情况，
∴恰好选中一男一女的概率为：．

21.【答案】【小题1】
解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，
根据题意，可列方程组，
解得，
∴A种树苗每株20元，B种树苗每株30元．
【小题2】
解：设购买A种树苗m株，则购买B种树苗株，
根据题意，可列不等式，
解得，
购买两种树苗的总费用，
∵，
∴W随m的增大而减小，
又∵，
∴当时，W取得最小值，最小值（元），
∴A种树苗最多购买40株，此时购买两种树苗的总费用最少为2600元．

22.【答案】【小题1】
解：过点作于点，
∵，
∴，
∴设，则，
又米，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴米，
所以，坡上平地离水平地面的高度为10米；
【小题2】
解：延长交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴,
∴；
∴，
由（1）知，
∴，
又，
在中，，
∴，
∴，
解得：（米）．

23.【答案】【小题1】
解：∵直线与轴，轴分别交于两点，
∴，，
作于点，
∵轴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵的面积为6，
∴，
解得，
∵点位于第三象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
【小题2】
解：∵，，
∴，，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或．

24.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵是的直径，
∴是的切线；
【小题2】
解：连接，如图
∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，
又，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得（负值已舍去），
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：把代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小题2】
解：设直线的解析式为，
把代入解析式得，
∴，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴，
∴，
，

若是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，，
解得（不合题意，舍去），，
此时点的坐标为；
②当时，，
解得或，
此时，点的坐标为或；
③当时，，
解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去），
此时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或；
【小题3】
解：由题可知，抛物线的对称轴为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵，，都有，
∴当对称轴在y轴左侧，即时，
，
解得，
∴此时；
当对称轴在y轴右侧，即时，
，
解得，
∴；
当时，
抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为，
∵抛物线开口向下，
∵，，则，，
∴
故此情况不符合题意，
综上所述，的取值范围为或．

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