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湘教版·初中数学·八年级下册·第一章
课时二
1.6.2 菱形的判定
平行四边形 定义
性质
判定
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
对边平行且相等
邻角互补
对角相等
对角线互相平分
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
观察判定与性质、定义有什么联系？
矩形 定义
性质
判定
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
具有平行四边形的所有性质
四个角是直角
对角线相等
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
观察判定与性质、定义有什么联系？
回顾反思 类比猜想
你能根据菱形的定义与性质猜想出菱形的判定条件？
菱形 定义
性质
　
判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等　
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
A
B
C
D
根据定义 获得定理
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC，点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点.
（1）求证：四边形 ADEF 是菱形.
（2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长.
【选自教材P38 习题1.6 第3题】
当堂练习
（1）证明：∵ D，E，F 分别是 AB， BC， AC 的中点，
∴ DE， EF 是△ABC 的中位线.
∴ DE // AC， DE = AC， EF // AB， EF = AB.
∴四边形 ADEF 是平行四边形.
又∵AB =AC，∴ DE = EF. ∴ □ ADEF 是菱形
(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
（2）解： 若AB =12 cm，则 EF = AB = 6 cm.
∴菱形ADEF 的周长为 4EF = 4×6= 24（cm）.
用4支长度相等的笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？ 为什么？
活动二：探究菱形判定性质1
推理论证 获得定理
如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明：在四边形ABCD中
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
平行四边形的判定定理1：
四边形ABCD
A
B
C
D
2. 如图，把等腰三角形 ABC 绕底边 AC 的中点 O 旋转180°，得到△CDA，试问： 四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？
【选自教材P38 习题1.6 第5题】
解：是菱形.
理由：∵△CDA 是 △ABC 的像，
∴ AB = CD， AD = BC.
又∵△ABC 为等腰三角形，∴AB =BC，
∴ AB = BC = CD = DA，
∴四边形 ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
当堂练习
菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
活动二：探究菱形判定性质2
推理论证 获得定理
如图2，在□ ABCD中，AC与BD互相垂直，垂足为点O，
求证：□ ABCD是菱形
证明：因为□ ABCD
所以AD=BC AB=CD
因为直线AC是线段BD的垂直平分线.
所以AD=AB
于是AD=AB=BC=CD
因此□ ABCD是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
例3 如图，在□ ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
因此 AB = AD = 5 .
解 因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以△DAO 是直角三角形，∠DOA=90°，
即 DB⊥AC.
于是□ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
又因为 AD = 5，满足 AD2 = OA2 + OD2，
推理论证 获得定理
菱形 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质 具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角　
菱形的四条边都相等　
判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A. 对角线相等且互相垂直
B. 对角线相等且互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直平分
D
随堂练习
5. 如图，在□ ABCD 中， 对角线 AC， BD相交于点 O，
添加下列条件不能判定 □ ABCD 是菱形的是（ ）
A. AC⊥BD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
C
随堂练习
知识迁移与应用
由线段BD垂直平分AC，可以得出哪些线段相等？
由线段垂直平分线的性质可知，BA＝BC，DA＝DC；
由线段BD平分AC可知，OA＝OC.
能否证明△AOB≌△COD
可以，因为∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC，所以△AOB≌△COD.
线段AB，BC，CD，DA是否相等？
相等，由△AOB≌△COD可知，AB＝CD.
又因为BA＝BC，DA＝DC，所以AB＝BC＝CD＝DA.
例1：如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2。
求证：四边形ABCD是菱形。
课堂小结
菱形的判定
定义法
判定定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四边相等的四边形是菱形。
运用定理进行计算和证明
下课
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