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2025-2026学年吉林省长春四十五中九年级（下）大练习数学试卷（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.2026年全国普通高校毕业生规模预计为1270万人.其中“1270万”用科学记数法表示为（　　）
A. 1.27×108 B. 12.7×106 C. 1.27×107 D. 0.127×108
3.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. a-b＞0 B. a+b＞0 C. ab＞0 D.
4.下列运算正确的是（　　）
A. a2+a3=a5 B. a2 a3=a5 C. （2a2）3=8a8 D. a4÷a=a4
5.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为α，梯子底端到墙的距离AC为1米，则梯子AB的长度是（　　）
A. sinα米
B. cosα米
C. 米
D. 米
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=104°，则∠ABC为（　　）
A. 110°
B. 128°
C. 130°
D. 108°
7.如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线PQ交AB于点D，则BD长在（　　）
A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.多项式x（a-b）+y（b-a）分解因式的结果是 .
10.将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，AB为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接BC、BD，则∠CBD的度数为 °.
11.若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 .
12.现把若干张长方形餐桌按如图方式进行拼接.那么需要多少张餐桌拼在一起可坐70人用餐？若设需要这样的餐桌x张，可列方程为 .
13.“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m-8的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是 .
14.如图，正方形EGHF的一边在△ABC的边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上，若△AEF、△BGE、△CHF的面积分别为4、6、3.给出下面四个结论：①△ABC的面积为24，②AE：EB=2：3，③EG=BG，④正方形EGHF的面积为12.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
先化简，再求值：（a+2）（a-2）+a（1-a），其中a=+4.
16.(本小题7分)
小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字.若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖.用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率.
17.(本小题7分)
2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日.为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分.其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？
18.(本小题7分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：四边形AECF是平行四边形.
19.(本小题7分)
如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：
（1）图中字母a的值为______；
（2）若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积．
20.(本小题7分)
人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力.某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高，现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组.A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：
49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，
84，84，84，87，87，88，92，93，96，99.
九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据为：88，88，85，88，88，84，85，87.
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
八年级 79 a 84
九年级 79 88 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由.（一条理由即可）
21.(本小题7分)
如图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中△ABC的边BC上确定一点D，连结AD，使△ABD∽△CBA；
（2）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使S△ABE=2S△ACE；
（3）在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结BF，使tan∠ABF=1.5.
22.(本小题9分)
已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点，
【建立模型】（1）如图1，连接BE，DE，判断BE与DE的数量关系______；
【模型应用】（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB=4，则BF的长为______.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作PQ⊥AC交AB边于点Q.将△APQ绕点P顺时针旋转90°得到△A′PQ′.
（1）直接写出线段AB的长______；
（2）当点B落在线段A′Q′上时，求AP的长；
（3）设△A′PQ′与△ABC重叠部分为四边形且面积为1时，求AP的长；
（4）若直线A′Q′将△ABC分为两部分，当其中一部分为轴对称图形时，直接写出CQ′的长.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx-3（b是常数）经过点（3，0）.点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0），点B的坐标为（1-m,2m-1）.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，以AC、CB为邻边作 ACBD.
①当m=2时，求△ABD的面积；
②当线段AD被y轴分成1：2的两部分时，求m的值；
③若m＜1，当抛物线在 ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】（a-b）（x-y）
10.【答案】81
11.【答案】m＞9
12.【答案】4x+2=70
13.【答案】
14.【答案】②③④
15.【答案】解：原式=a2-4+a-a2
=a-4，
当a=+4时，原式=+4-4=．
16.【答案】解：列表如下：
6 7 8
6 （6，6） （6，7） （6，8）
7 （7，6） （7，7） （7，8）
8 （8，6） （8，7） （8，8）
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字的结果有：（6，8），（7，7），（8，6），共3种，
∴小淇参加这个抽奖活动中奖的概率为=．
17.【答案】解：设九年级代表队答对了x道题，
根据题意得：5x-2（20-x）=86，
解得x=18，
答：九年级代表队答对了18道题．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
19.【答案】80
20.【答案】84;84.5;40 2）九年级学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由如下：
八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数
21.【答案】解：如图①，AD即为所求；
由勾股定理可得：AB2=22+12=5，BC2=25，AC2=42+22=20，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°=∠ADB，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）如图②，AE即为所求；
由图可知：△GBE∽△HCE，
∴==2，
∴SABE=2SACE；
（3）如图③，BF即为所求；
结合图形和勾股定理得：AF==，AB==，
由（1）知：∠A=90°，
∴tan∠ABF===1.5．
22.【答案】BE=DE ①△FBG是等腰三角形；②
23.【答案】5 或 CQ′的长为1或
24.【答案】y=x2-2x-3 ①S△ABD=6；②或m=-2；③或0＜m＜1
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