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(共23张PPT)
第19章 四边形
19.2.1.2平行四边形的性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握两条平行线之间的距离的概念
01
会进行相关的证明和计算
02
在活动中，发展学生的探究意识和合作交流的习惯，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力
03
02
复习旧知
1. 什么是点到直线的距离？
2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？
02
创设情境
如图，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A'BC面积相等吗？ 为什么？
03
新知探究
如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.
那么AB＝CD吗？
解：
∵ l1 ∥ l2，AB∥CD
∴AB=CD
∴四边形ABDC是平行四边形
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
推论1：
03
新知探究
如图，直线l1∥l2，点A，C在直线 l1 上,若AE⊥l2，CF⊥l2，垂足分别为点E，F. 则AE=CF
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.于是，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离.
如图，线段AE的长度就是直线l1和直线l2之间的距离.
03
新知探究
两条平行线中，一条直线上任意一点另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
由 AE＝CF 你得出什么结论？
两条平行线之间的距离处处相等.
推论 2：
两条平行线之间的距离
03
新知探究
(1)当两条平行线确定后，两条平行线之间的距离是一定值，不随垂线段位置的变化而改变.
(2)两条平行线之间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可以灵活选择位置.
强调：
03
新知探究
思考
两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
距离 概念和性质 图形
两点之间的距离
点与直线的距离
两条平行线的距离
A
B
B
A
a
A
B
a
b
两点之间线段最短
连结两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
点到直线的距离，垂线段最短
两条平行线中，一条直线上的任一点到另一条直线的距离
两条平行线之间的距离处处相等
03
新知探究
例1 如图，在 ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离.
∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4.
A
D
B
C
E
F
03
新知探究
∴∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2.
∴BE=AE.
∴2AE2=16.
∴AE=2.
同理：AF=.
∴直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线DC之间的距离为.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　C　）
A. l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B. CE＝FG
C. 线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D. AB＝CD
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，已知AD∥BC. 若点A到BC的距离是2 cm，BC＝4 cm，则△BCD的面积为（　B　）
A. 8 cm2 B. 4 cm2 C. 2 cm2 D. 1 cm2
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3. 如图，两平行铁轨之间的枕木长度都相等，其中蕴含的数学道理是 .
4.在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD
之间的距离为 .
夹在两条平行线之间的平行线段相等　
　
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.已知：如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC.请写出BE与BC之间的数量关系，并证明你的结论.
解：BE＝2BC.
证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴AD＝CE. ∴CE＝BC.
∴BE＝2BC.
05
课堂小结
平行四边形
的性质
两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离；
平行线间的距离
平行线间的距离的性质
如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等. 即：平行线间的距离处处相等．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是(　　)
A．2 cm B．6 cm C．4 cm或8 cm D．8 cm
2.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，已知AB＝6，∠ABC＝30°，则直线l1、l2间的距离为(　　)
A.6 B.3 C.2 D.
C
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为边AB上一动点，以PA，PC为邻边作 PAQC，则对角线PQ的最小值为________cm.
4.如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段 的长度
2
AP
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，求两平行线AD与BC间的距离．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
过点P作PM⊥AD于M，
延长MP交BC于N，如图所示．
∵PM⊥AD，AD∥BC，∴PN⊥BC.
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，∴PM＝PE＝2.
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PN⊥BC，∴PN＝PE＝2.
∴MN＝PM＋PN＝2＋2＝4.
解：
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十九章
课标要求 1.了解多边形的概念及顶点、边、内角、外角、对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式；了解四边形的不稳定性 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系 3.探索并证明平行四边形的性质定理（对边相等、对角相等、对角线互相平分）和判定定理（一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分） 4.探索并证明矩形（四个角是直角、对角线相等）和菱形（四条边相等、对角线互相垂直）的性质定理及判定定理。 5.理解正方形既是矩形又是菱形，掌握其包含关系 6.理解两条平行线之间距离的概念，能度量平行线之间的距离；探索并证明三角形的中位线定理。
内容分析 本章内容分为三大板块：多边形的内角和（含外角和、对角线）、平行四边形（含性质与判定）、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）教材遵循“一般 → 特殊”的认知规律。通过类比三角形的研究方法（概念、性质、判定）来学习四边形，将多边形内角和问题转化为三角形问题；将平行四边形问题转化为三角形全等问题来解决，先从一般的多边形入手，研究内角和公式；然后聚焦到平行四边形这一特殊四边形；最后通过对角、边、对角线的“特殊化”，引出矩形、菱形、正方形。
学情分析 学生已经系统学行线的性质和判定、三角形的性质及全等三角形的判定与性质。这为证明平行四边形性质（如利用平行线证角相等，利用全等证边相等）打下了坚实基础。八年级学生已经具备一定的观察、操作和独立思考能力，对生活中的几何图形有好奇心，喜欢动手实践（如拼图、测量）。但学生的思维习惯还不够完善，对于几何证明的书写格式和逻辑严密性（如步步有据）往往掌握不到位，需要规范训练。
单元目标 （一）教学目标 1.掌握多边形内角和定理( 2) 180 及外角和360 并能运用公式进行边数、角度等相关计算。 2.掌握平行四边形的定义，能准确表述平行四边形的三条性质定理（对边相等、对角相等、对角线互相平分）。 3.掌握平行四边形的三种主要判定方法（一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分），并能根据条件灵活选择判定方法。 4.理解两条平行线之间距离的概念，会度量并运用平行线间距离处处相等解决问题。 5.掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定。明确矩形、菱形、正方形与平行四边形之间的从属关系，能借助包含关系简化推理过程。能够综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决较复杂的几何证明与计算问题。 6.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），并能运用该定理进行证明与计算。 （二）教学重点、难点 重点： 平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形的性质与判定；三角形中位线定理。 难点： 1. 灵活选择判定方法证明四边形是平行四边形或特殊平行四边形； 2. 区分矩形、菱形、正方形的判定条件，理解它们之间的包含关系； 3. 综合运用全等三角形、平行线、四边形知识进行较复杂的几何证明与计算。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数19.1 多边形219.2 平行四边形519.3特殊的平行四边形5
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1多边形 (第一课时) 1.理解多边形、凸多边形、正多边形的概念，能准确说出多边形的顶点、边、内角、外角、对角线； 2.掌握多边形内角和定理的推导过程，能运用内角和公式 ( 2) 180 进行简单计算 3. 经历从三角形内角和推导多边形内角和的过程，体会“分割转化”的数学思想1.能独立推导出多边形内角和公式，理解“从同一顶点出发作对角线”的分割方法； 2.能正确运用公式：已知边数 ，准确计算内角和；已知内角和，正确求解边数n 3.能尝试用不同的分割方法（如内部取点）推导内角和，并比较其异同任务一：情境导入，概念辨析与图形识别 任务二：小组合作，内角和公式的探究与推导 任务三：例题讲解，巩固多边形内角和19.1多边形 (第二课时)1.理解多边形外角、外角和的概念，掌握多边形外角和定理（任意多边形的外角和等于 360 ）； 2.理解正多边形的概念，掌握正多边形每个内角、每个外角的计算方法； 3. 能综合运用内角和、外角和公式解决与正多边形相关的计算问题。1. 能用自己的语言表述多边形外角和定理的内容； 2. 能运用外角和定理进行简单计算（已知边数求外角和、已知外角求边数） 3.能灵活选择内角和或外角和公式解决正多边形问题，体会两种路径的等价性。任务一：外角概念的建立与定理探究 任务二：正多边形的概念与计算 任务三：综合应用与拓展19.2.1平行四边形的性质(第一课时)1.理解平行四边形的定义（两组对边分别平行），能用符号语言表示平行四边形； 2. 掌握平行四边形的性质：对边相等、对角相等、邻角互补； 3.能运用平行四边形的性质进行简单的几何证明与计算。1.能准确说出平行四边形的定义，能用“□ABCD”正确表示； 2. 能独立表述平行四边形的三条性质（对边相等、对角相等、邻角互补）； 3.能运用三角形全等的方法证明平行四边形的性质；任务一：概念建立与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解，利用性质解决问题 19.2.1平行四边形的性质(第二课时)1.理解两条平行线之间距离的概念，掌握平行线间的距离处处相等 2.通过“平行线间的距离处处相等”的探究，体会从特殊到一般的研究方法1.能准确说出两条平行线之间距离的定义（一条直线上任意一点到另一条直线的距离）； 2.能证明并理解“平行线间的距离处处相等”； 3.能运用距离相等解决实际问题（如等底等高的平行四边形面积相等）。任务一：复习导入， 点到直线的距离 任务二：平行线间距离的探究 任务三：拓展练习，综合运用平行线间的距离解决问题19.2.1平行四边形的性质(第三课时)1.掌握平行四边形对角线的性质：对角线互相平分； 2.能综合运用平行四边形边、角、对角线的性质解决相关问题 3.经历探究平行四边形对角线性质的过程，进一步体会转化思想（构造全等三角形）1. 能准确表述平行四边形对角线互相平分的性质； 2.能运用三角形全等的方法证明对角线互相平分； 3.能运用该性质进行相关计算与证明。任务一：引入课题，回顾平行四边形的性质 任务二：对角线性质的探究与证明 任务三：例题讲解，应用性质解决实际问题19.2.2平行四边形的判定(第一课时) 1.掌握平行四边形的判定方法： 2.能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是平行四边形； 3.能综合运用平行四边形的性质与判定解决简单的几何问题。1.能准确说出平行四边形的判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分性质与判定，明确判定是从“边”“对角线”的条件出发推出平行四边形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。任务一：引入课题，回顾平行四边形的性质 任务二：逆向思考，提出猜想 任务三：判定定理的证明 任务四：例题讲解，应用判定定理解题19.2.2平行四边形的判定(第二课时) 1.理解三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）； 2. 掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）； 3.能运用三角形中位线定理进行相关的计算与证明。1.能准确说出三角形中位线的定义，并能区分中线与中位线； 2.能在三角形中正确画出三条中位线； 能准确表述三角形中位线定理的内容。 3.能运用中位线定理进行相关计算任务一：概念引入与定理猜想 任务二：定理的证明 任务三：例题讲解，运用中位线定理解决问题。19.3.1矩形 (第一课时) 1.理解矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形），明确矩形是特殊的平行四边形； 2.掌握矩形的两条性质定理 3.理解并掌握直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。1.能准确说出矩形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述矩形的两条性质定理； 3.能运用矩形的性质进行相关计算与证明； 4.能准确表述直角三角形斜边中线的性质，并能运用该性质解决简单问题。任务一：概念引入与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解与综合应用19.3.1矩形 (第二课时) 1.掌握矩形的三种判定方法 2. 能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是矩形； 3.能综合运用矩形的性质与判定解决几何问题。1.能准确说出矩形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分矩形的性质与判定，明确判定是从条件出发推出矩形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。任务一：逆向思考，提出猜想 任务二：判定定理的证明 任务三：例题讲解与综合应用19.3.2菱形 (第一课时) 1.理解菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），明确菱形是特殊的平行四边形； 2.掌握菱形的两条性质定理： 3.能运用菱形的性质进行相关的计算与证明。1.能准确说出菱形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述菱形的两条性质定理； 3.能运用菱形的性质进行相关计算与证明； 4.能掌握菱形面积的两种计算方法，并能灵活运用。任务一：概念引入与性质猜想 任务二：性质的证明与应用 任务三：例题讲解，运用性质解决问题19.3.2菱形 (第二课时) 1. 掌握菱形的三种判定方法： 2. 能根据条件灵活选择判定方法证明四边形是菱形； 3. 能综合运用菱形的性质与判定解决几何问题。1. 能准确说出菱形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 2.能区分菱形的性质与判定，明确判定是从条件出发推出菱形； 3.能独立完成判定定理的证明过程。 4.能运用菱形的判定解决简单的实际问题任务一：逆向思考，提出猜想 任务二：判定定理的证明 任务三：例题讲解与综合应用19.3.3正方形 1.理解正方形的定义（有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形），明确正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形； 2.掌握正方形的性质 3.掌握正方形的三种判定方法 4.能综合运用正方形的性质与判定解决几何问题。1.能准确说出正方形的定义，并能用符号语言表示； 2.能准确表述正方形的所有性质（从边、角、对角线三个维度）； 3.能准确说出正方形的三种判定方法，并能用符号语言表达； 4.能综合运用正方形的性质与判定、平行四边形、矩形、菱形知识解决几何证明题任务一：概念引入与性质探究 任务二：判定定理的探究与证明 任务三：例题讲解与综合应用
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19.2.1.2平行四边形的性质教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 19
课题 19.2.1.2平行四边形的性质 课时 1
教材分析 本节是四边形学习的起始课，平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）是后续学习特殊平行四边形的基础。其中“对边平行”这一性质自然引出平行线间的距离，两者紧密联系——平行线间的距离处处相等，为平行四边形面积公式的推导提供了理论依据，体现了知识的内在逻辑
学情分析 学生已掌握平行线、三角形全等知识，具备观察和简单推理能力。但对平行四边形“对边平行且相等”的双重性质理解易割裂，难以建立与平行线间距离的联系。部分学生符号语言表达不规范，从直观感知到严谨证明的跨越需要教师适时引导。
核心素养目标 1.掌握两条平行线之间的距离的概念. 2.会进行相关的证明和计算. 3.在活动中，发展学生的探究意识和合作交流的习惯，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力
教学重点 掌握两条平行线之间的距离的概念
教学难点 进行相关的证明和计算
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1. 什么是点到直线的距离？ 2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？ 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 如图，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A'BC面积相等吗？ 为什么？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.那么AB＝CD吗？ 解：∵ l1 ∥ l2，AB∥CD ∴四边形ABDC是平行四边形 ∴AB=CD 推论1：夹在两条平行线之间的平行线段相等 如图，直线l1∥l2，点A，C在直线 l1 上,若AE⊥l2，CF⊥l2，垂足分别为点E，F. 则AE=CF 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.于是，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离. 如图，线段AE的长度就是直线l1和直线l2之间的距离. 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 由 AE＝CF 你得出什么结论？ 推论 2：两条平行线之间的距离处处相等. 强调： (1)当两条平行线确定后，两条平行线之间的距离是一定值，不随垂线段位置的变化而改变. (2)两条平行线之间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可以灵活选择位置. 思考 两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？ 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例1 如图，在 ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离. 解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F. ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离. ∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4. ∴∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2. ∴BE=AE. ∴2AE2=16. ∴AE=2. 同理：AF=. ∴直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线DC之间的距离为. 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　　） A. l1与l2之间的距离是线段FG的长度 B. CE＝FG C. 线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D. AB＝CD 2.如图，已知AD∥BC. 若点A到BC的距离是2 cm，BC＝4 cm，则△BCD的面积为（　） A. 8 cm2 B. 4 cm2 C. 2 cm2 D. 1 cm2 3. 如图，两平行铁轨之间的枕木长度都相等，其中蕴含的数学道理是 . 4.在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为 . 5.已知：如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC.请写出BE与BC之间的数量关系，并证明你的结论. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.平行线间的距离 2.平行线间距离的性质 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是(　　) A．2 cm B．6 cm C．4 cm或8 cm D．8 cm 2.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，已知AB＝6，∠ABC＝30°，则直线l1、l2间的距离为(　　) A.6 B.3 C.2 D. 3.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为边AB上一动点，以PA，PC为邻边作 PAQC，则对角线PQ的最小值为________cm. 4.如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是 线段 的长度 5.如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，求两平行线AD与BC间的距离．
教学反思 教学中通过活动引导学生发现性质，效果较好。但在处理“平行线间距离”与平行四边形高的关联时，部分学生理解不到位。后续应加强几何画板动态演示，让学生直观感受“夹在平行线间的垂线段处处相等”；同时注重推理过程的书写规范，为后续特殊平行四边形学习打好基础。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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