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平面直角坐标系 坐标规律的探究 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，一个动点按如图所示的方向在第一象限内运动，每次运动1个单位长度，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，……，那么第20次运动到（ ）
A． B． C． D．
2．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）……根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为_______．
9．如图，在平面直角坐标系中，一动点按如图所示的方式运动，从点开始第一次跳动至点，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，…，则第次跳动到达的点的坐标为________．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数且），则称点是点A的“级关联点”．例如：点的“4级关联点”的坐标为，即．
(1)点的“3级关联点”的坐标为_______；
(2)若的“级关联点”坐标为，求的值；
(3)若点的“级关联点”位于坐标轴上，求点的坐标．
12．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)；
(2)求点的坐标；
(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．
13．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）；
(2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？
14．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______．
(2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______；
(3)的面积为______
15．在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，．
(1)依次写出的值；
(2)计算的值；
(3)计算的值．
16．【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
，，，，，…．
【归纳·应用】
(1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______；
(2)若点的坐标为，求n的值．
17．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ．
(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C C A D D A
1．B
【分析】观察图形的变化规律，找到利并利用规律来求解．
【详解】观察点的变化发现：当动点运动到（1，1），（2，2）（3，3）（4，4）（n，n）点时，依次是第2次，第6次，第12次，第20次，第n(n+1)次．
∴第20次运动到（4，4）点．
故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化规律，解答本题的关键是结合图形找出坐标的移动规律，从移动规律中计算其纵坐标和横坐标的变化从而计算第20次的坐标．
2．C
【分析】本题考查点的规律探究，观察可知，点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，据此进行求解即可．
【详解】解：观察可知：点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，
∵，
∴经过第99次运动后，动点的横坐标为，纵坐标为2，即；
故选C．
3．C
【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可；由题意易知半圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动一周所需4秒，进而问题可求解．
【详解】解：由题意，半圆的周长为个单位长度，
∴点在一个半圆上运动时间为2秒，
∴
∴的横坐标为，纵坐标以为一个循环节进行循环，
∵，
∴第2025秒时，点的坐标是；
故选C．
4．A
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据已有点的坐标得到点的纵坐标每6个点一个循环，横坐标为，进行求解即可．
【详解】解：，，，，，，，…
观察可知：的纵坐标以2，2，0，每6个点一个循环，横坐标为，
∵，
∴点的横坐标为2025，纵坐标为0，即；
故选A．
5．D
【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．
根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第203圈后的第5个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标．
【详解】解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第203圈的第5个单位长度的位置，
即点的坐标为．
故选：D．
6．D
【分析】由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用5除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【详解】解：经过6次反弹后动点回到出发点．
，
当点第次碰到长方形的边时为第个循环的第3次反弹，
点的坐标为．
故选D．
7．A
【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，，…
观察可知：每4个点为一组，
点，，，．
，
点的纵坐标是0，横坐标是，
点的坐标为．
故选A．
8．（7，6）
【分析】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第22个点的坐标．
【详解】解：由题意可得，
横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，横坐标为奇数时，点的运动方向是从上往下，偶数时，从下往上，
∵22=（1+2+3+4+5+6）+1，
∴第22个点的坐标为（7，6），
故答案为：（7，6）
【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．
9．
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．
由题意知，动点经过4次跳动为一个循环，即第次跳动到达，由，可知在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同，由题意知，，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，动点经过4次跳动为一个循环，
∴第次跳动到达，
∵，
∴在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同，
由题意知，，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限，
因为，，，…，
∴，
当时，，
所以点的坐标为．
故答案为：．
11．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形、坐标规律、一元一次方程的应用等知识点，掌握“a级关联点”的定义以及分类讨论思想成为解题的关键．
（1）根据“3级关联点”的定义求解即可；
（2）根据“级关联点”的定义求得m、n的值，然后代入求解即可；
（3）先求出，然后再分点Q在x、y轴上两种情况求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
∴．
故答案为：．
（2）解：根据题意可得，，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵点在坐标轴上，
∴若点在轴上，则，解得：，
∴，
∴；
若点在轴上，则，解得：，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
12．(1)2，0；5，1；7，0
(2)
(3)向上
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．
（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案；
（3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴，，，，
∴，，，
故答案为：2，0；5，1；7，0；
（2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现．
，
的纵坐标为1，横坐标为，
．
（3），
∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上．
13．(1)，
(2)小正方形675个，大正方形675个
【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；
（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．
【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为，
∴各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴各点的横坐标依次大3，
∴，，
即，，
故答案为：；；
（2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形，
∴直角三角形的直角边长度是1米，
∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米），
∵，
∴需要小正方形675个，大正方形675个．
答：小正方形675个，大正方形675个．
14．(1)，，48
(2)，
(3)
【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．
（1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可；
（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可；
（3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可．
【详解】（1）解：、、．
的横坐标为：，纵坐标为：3．
故点的坐标为：．
又、、．
的横坐标为：，纵坐标为：0．
故点的坐标为：．
的面积为
故答案为：，，48；
（2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3．
故的坐标为：，
由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0．
故的坐标为：；
故答案为：，；
（3）解：的坐标为：，的坐标为：，
的面积为．
故答案为：．
15．(1)分别为1，，，3，3，
(2)1
(3)1002
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
（1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可；
（2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可；
（3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果．
【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出：
、、、、、的值分别为：1，，，3，3，；
（2）；
；
；
（3）；
；
．
16．(1)；
(2)1012
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）根据图形写出坐标即可；
（2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，点的坐标为，
点的坐标为；
故答案为：；．
（2）解：，，，，，
且，，，，依此类推，
，即，
点的坐标为，
，解得．
17．(1)
(2)
【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键．
（1）根据规律直接写出结论；
（2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴的横坐标为：，纵坐标为：4，
∴点的坐标为：．
又∵，，，，
∴的横坐标为：，纵坐标为：0，
∴点的坐标为：．
故答案为：；
（2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4．
故的坐标为：．
由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0．
故的坐标为：．
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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