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平面直角坐标系 平面直角坐标系与图形面积问题
专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形顶点的坐标分别为，，．
(1)求三角形的面积；
(2)若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为三角形面积的，求点P的坐标．
2．已知三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三角形是由三角形ABC平移得到的．
(1)分别写出点B，的坐标；B________，________；
(2)若是三角形ABC内部的一点．则平移后的三角形内的对应点的坐标为________．
(3)求三角形ABC的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．平移三角形，使点A与原点O重合，此时点B的对应点为，点C的对应点为．
(1)请你写出一种由三角形得到三角形的平移方式：_____________________；
(2)画出平移后的三角形，并写出平移后点B、C的对应点的坐标；
(3)求平移后的三角形的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上．如果点A坐标是，点C坐标是．
(1)求点B和点D的坐标；
(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；
(3)如果点Q以每秒个单位长度的速度在长方形的边上从点A出发到点C停止，沿着的路径运动，那么当点Q的运动时间分别是1秒和4秒时，三角形的面积各是多少？请你分别求出来．
5．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接．
(1)求a，b的值；
(2)求三角形的面积；
(3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，．
(1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标；
(2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________；
(3)求四边形的面积．
7．如图，在边长为1的正方形网格中，，，．
(1)平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，则点D的坐标为______；
(2)线段AB平移至线段CD处所扫过的面积为______；
(3)平移线段AB，使其两端点都在坐标轴上，则平移后点A的坐标为______．
8．如图，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到．
(1)画出平移后的；
(2)写出三个顶点的坐标；
(3)已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求点P的坐标．
9．在平面直角坐标系内，已知A（2x，3x+1）．
（1）点A在x轴下方，在y轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求x的值；
（2）若x=1，点B在x轴上，且S△OAB=6，求点B的坐标．
10．如图，已知点，，，，，，三点在同一条直线上，求三角形的面积．
11．已知：在平面直角坐标系中，，，．
(1)求的面积；
(2)设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
(1)求，的值及；
(2)若点在轴上，且，试求点的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键．
（1）分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，根据割补法可直接进行求解；
（2）由（1）可得，进而的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，然后可得或，最后问题可求解．
【详解】（1）解：分别过点A、C作x轴平行线，分别过点B、C作y轴平行线，相交于点E、F、D，如下图：
，，，
；
（2）解：设点，由题意得：，
∴的面积以点C的纵坐标的绝对值为高，为底，即，
∴或，
∴点P的坐标为或．
2．(1)，
(2)
(3)7
【分析】（1）根据点B，在坐标系内的位置可直接得到答案；
（2）由，可得平移方式为：先向左平移了5个单位，再向上平移了4个单位，而是三角形ABC内部的一点，所以按相同的平移方式进行了平移，从而可得答案；
（3）利用割补法可得三角形的面积等于长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由点B，在坐标系内的位置可得：，．
故答案为：，
（2）解：由，可得平移方式为：先向左平移了5个单位，再向上平移了4个单位，
是三角形ABC内部的一点，所以按相同的平移方式进行了平移，
∴的坐标为：．
（3）解：
【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，平移的坐标变化规律，掌握“平移的坐标变化规律”是解本题的关键．
3．(1)将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度
(2)见解析，，
(3)
【分析】本题考查图形的平移和三角形面积的计算．
（1）根据点A平移到到点O的平移方式即可解答；
（2）根据平移的规律确定点的对应点，然后再顺次连接即可完成作图；最后直接确定点的坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式以及割补法求解即可．
【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为，
∴将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度．
故答案为：将三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度（不唯一）．
（2）解：如图：三角形即为所求．，．
（3）解：．
4．(1)点B的坐标是，点D的坐标是
(2)，，，
(3)，
【分析】本题考查的是坐标与图形的变化，掌握平行于坐标轴的点的坐标特点和平移与坐标变化的规律是解题的关键．
（1）根据平行于坐标轴的点的坐标特点即可求得答案；
（2）根据平移与坐标变化的关系即可求得答案；
（3）根据运动时间求得三角形的高，然后根据公式计算即可．
【详解】（1）解：∵点A坐标是，点C坐标是，
∴点B的坐标是，点D的坐标是．
（2）解：∵将这个长方形向下平移2个单位长度，
∴平移后，四个顶点的坐标分别是，，，．
（3）解：∵点A坐标是，点C坐标是，点B的坐标是，点D的坐标是，
∴，．
运动时间1秒时，点Q在线段上，
三角形的面积；
运动时间4秒时，点Q在线段上，
三角形的面积．
5．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了非负性的性质、坐标与图形的性质：
（1）利用非负数的性质解答即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）由点C的纵坐标为b，可知点C的坐标为，从而轴．由得点C在点A右侧，过点B作BD⊥AC于点D．然后画出图形，根据以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍列式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，．
（2）解：由（1），得，，
∴．
（3）解：∵点C的纵坐标为b，
∴点C的坐标为，
∴轴．
∵，
∴点C在点A右侧．
如答图，过点B作BD⊥AC于点D．
∵，
∴，
即，
解得，
∴点C的坐标为．
6．(1)见解析，，，
(2)
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）由（1）得平移规律，再进行解答即可；
（3）利用梯形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求．
，，．
（2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：．
7．(1)
(2)15
(3)或
【分析】（1）根据点A与点C的坐标得出坐标变化规律，从而得到点D的坐标；
（2）根据平移的性质得出ABDC是平行四边形，根据平行四边形的面积公式列式计算即可；
（3）分两种情况：①平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上；②平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上．
【详解】（1）解：∵平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，A(2,4)，C(-3,4)，
∴坐标变化规律是：横坐标减去5，纵坐标不变，
∵B(4,1)，
∴点D的坐标为(-1,1)，
故答案为：(-1,1)；
（2）解：∵平移线段AB到线段CD，
∴ABCD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴线段AB平移至线段CD处所扫过的面积为：5×3=15，
故答案为：15；
（3）解：分两种情况：
①如果平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上，
那么坐标变化规律是：横坐标减去2，纵坐标减去1，
∵A(2,4)，
∴平移后点A的坐标为(0,3)；
②如果平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上，
那么坐标变化规律是：横坐标减去4，纵坐标减去4，
∵A(2,4)，
∴平移后点A的坐标为(-2,0)；
故答案为(0,3)或(-2,0)．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8．见解析
【分析】（1）将△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，连接各点，可以得到△A1B1C1；
（2）利用网格，找到各点横纵坐标即可找到△A1B1C1三个顶点的坐标；
（3）由于以A1、B1、P为顶点的三角形得高为4，底为B1P，利用三角形的面积公式即可求出B1P的长，从而求出B1P的长．
【详解】（1）画图如下：
（2）由图可知：A1(0，4)；B1(2，0)；C1(4，1)．
（3）∵A1O=4，三角形的面积为4，
∴×4B1P=4，
∴B1P=2，
∴P(0，0)，(4，0)．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，要注意找到关键点，将关键点平移，然后连接关键点即可．
9．（1）x=﹣1（2）点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0）
【详解】【试题分析】（1）根据题意，判断点A在第三象限，根据点A到两坐标轴的距离相等，
得2x=3x+1，解得：x=﹣1.
（2）将x=1代入A（2x，3x+1），得：A（2，4）， 设B（a，0），
列出面积方程，得：×4×|a|=6，解得：a=±3.
【试题解析】（1）∵点A在x轴下方，在y轴的左侧， ∴点A在第三象限，
∵点A到两坐标轴的距离相等，
∴2x=3x+1，解得：x=﹣1
（2）若x=1，则A（2，4）， 设B（a，0），
∵S△OAB=6，
∴×4×|a|=6，
解得：a=±3，
∴点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0）
10．
【分析】本题考查坐标与图象，利用分割法求三角形的面积即可．
【详解】解：，，
．
，，
三角形的面积
．
11．(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得的面积是解题的关键．
（1）过点向、轴作垂线，垂足分别为、，然后依据求解即可．
（2）设点的坐标为，于是得到，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）过点C作轴，轴，垂足分别为D、E．
．
（2）设点P的坐标为，则．
与的面积相等，
．
解得：或．
所以点P的坐标为或．
12．(1)，，
(2)点的坐标为或
【分析】（1）由，结合绝对值、完全平方的性质即可得出，的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值；
（2）设出点的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴；
（2）解：设点M的坐标为，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、完全平方的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值：（2）根据三角形的面积公式得出关于含绝对值符号的一元一次方程．解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的非负性求出点的坐标是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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