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浙江省杭州市钱塘区文海中学九年级2025年中考三模数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·钱塘模拟）计算的结果等于（　　）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】直接利用有理数的加法法则进行求解.
2．（2025·钱塘模拟）有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从上面看有3列，左侧一列有2行，中间和右侧两列各有1行，
故选B.
【分析】
从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
3．（2025·钱塘模拟）电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：因为 亿 ，所以亿．
故答案为：B．
【分析】本题考查科学记数法表示较大数，核心是掌握科学记数法形式（， 为整数 ），通过单位换算、确定 和 的值来解题。先将“亿”转化为具体数字，再把该数字改写成科学记数法形式，关键是确定 （满足 ）和 （小数点移动位数 ）.
4．（2025·钱塘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故答案为：．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025·钱塘模拟）已知关于 x 的方程有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个同号的实数根，
∴
解得：，
∵有两个同号的实数根，
∴两根之积，
∴的取值范围是，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根.据此得，然后由两根同号得到，即可求解.
6．（2025·钱塘模拟）如图，绕着点旋转，得到，与相交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵旋转的性质，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出，然后由旋转的性质得到，从而得到．
7．（2025·钱塘模拟）如图，，两点在边上，，两点在边上，并且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形外角性质得到，同理依次求出，，的度数即可.
8．（2025·钱塘模拟）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故选：D．
【分析】
平均数是一组数据的总和与样本容量的商；中位数是指把一组数据按照从小到大顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据；方差是指一组数据中每个数据与平均值差的完全平方的平均值．
9．（2025·钱塘模拟）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
点位于第一象限，点位于第三象限，
；
当时，，
点，位于第一象限，
，
，故A错误；
B、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，
点，位于第三象限，
，
，故B错误；
C、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
点位于第四象限，点位于第二象限，
，
当时，，
，
，故C错误；
D、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，位于第二象限，
，
，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小；当时，函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，据此逐项进行判断求解即可.
10．（2025·钱塘模拟）如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（　　）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，则，得到，然后根据等边三角形的性质以及轴对称的性质得到，，，于是证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而设，则，进而表示出，，据此可求出与之间的数量关系，于是得，最后求比即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·钱塘模拟）"服务社会，提升自我。"宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了"交通秩序维护"小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是　 　
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况，
所以，恰好是一男一女的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率．先画出树状图，据此可找出基本事件的个数，再找出恰好是一男一女的事件的个数，再利用概率公式进行计算可求出答案．
12．（2025·钱塘模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接利用提公因式法进行分解因式即可．
13．（2025·钱塘模拟）已知 = ，则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴3（a+b）=4（a﹣b），
∴7b=a，
∴ = = ，
故答案为： ．
【分析】利用比例的性质：两内项之积等于两外项之积，可推出a=7b，再代入求值。
14．（2025·钱塘模拟）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使．过点C作，垂足为点F，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质结合垂直的概念可利用一线三垂直全等模型证明，则CF=AB，再利用勾股定理即可．
15．（2025·钱塘模拟）如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长，表盘的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设钟表的中心为点，连接，
根据题意可得：点在上，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
表盘的半径长为，
故答案为：．
【分析】设钟表的中心为点，连接，根据题意得到点在上，，然后由圆周角定理可得，根据切线的性质可得，接下来根据含30°的直角三角形的性质得，最后利用勾股定理求出，即可得表盘的半径长.
16．（2025·钱塘模拟）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为　 　．
【答案】或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当时，如图①，连接，过点E作，垂足为G，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴平分，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图②，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点落在上，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或3，
故答案为：或3.
【分析】分两种情况讨论：①当时，连接，过点E作，垂足为G，根据菱形的性质、平行线的性质得，，根据折叠的性质，利用邻补角得，然后求出，，，利用含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，接下来求出，根据等腰三角形的判定得，从而得，进而得；②当时，连接，根据菱形的性质得，从而得证是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，，根据折叠的性质得，，于是得证是等边三角形，得，可求出，得点落在上，接下来求出，得，最后得.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025·钱塘模拟）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后进行加法运算即可；
（2）先计算算术平方根、立方根和去绝对值符号，然后进行加减运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·钱塘模拟）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
得：，
解得：
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：∵，
∴两边同时乘以，得，
解得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解二元一次方程组，由①+②求出x的值，然后将x的值代入①求出y的值，据此即可求解；
（2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后对所求的方程的解进行检验即可.
（1）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
19．（2025·钱塘模拟）某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
【答案】解：∵，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴隧道的长为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据平行线的性质得，在和中，解直角三角形得的长，最后作差即可得到的长．
20．（2025·钱塘模拟）放暑假期间学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．本学期开学初，小李同学随机调查了部分同学暑假在家做家务的总时间．被调查的每位同学暑假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五组：，，，，．将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，扇形统计图中的值是 ；
（2）请你根据上图信息补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时？
【答案】（1）50，32
（2）补全条形统计图如下：
．
（3）解：（名），
答：估计该校有1008名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的学生总人数为（名），
，
则，
故答案为：50，32．
（2）解：组的学生人数为（名），
组的学生人数为（名），
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用组人数及百分比可得本次调查的学生总人数；再利用组的人数除以调查的学生总人数即可得的值；
（2）先利用调查的学生总人数乘以组学生人数所占的百分比可得组的学生人数，再利用调查的学生总人数减去其他四组的人数可求出组的学生人数，据此补全条形统计图即可；
（3）利用样本估计总体，即由该校学生总人数乘以暑假在家做家务的总时间不低于20小时的学生所占百分比即可得．
（1）解：本次调查的学生总人数为（名），
，
则，
故答案为：50，32．
（2）解：组的学生人数为（名），
组的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（名），
答：估计该校有1008名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（2025·钱塘模拟）图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
【答案】（1）；
（2）
①尺规作图如图所示，
②；
（3）MN＝3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
；
（2）
②平分，，，
，
又，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
【分析】
（1）先利用勾股定理斜边AC的长，再利用等面积法求出MN即可；
（2）①先利用尺规作图作的平分线交AB于点N，再过点N作AC的垂线交AC于点M即可；
②先由角平分线的性质定理可得NB=NM，再利用HL证明，则CM=CB=8，再设，则，，再利用由勾股定理列方程并求解即可；
（3）同理可先作的平分线交BC于点N，再过点N作AC的垂线段NM即可，再参照上述方法求解即可．
22．（2025·钱塘模拟）甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；
（2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？
【答案】（1）解：设甲车所行使路程与时间的函数关系式为，
把，代入函数关系式，得，
解得：，
∴甲车所行使路程与时间的函数关系式为，
根据函数图象可知，点表示两车在途中第二次相遇，点的横坐标为6，
∴，
∴，
∴（千米），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程为240千米；
（2）解：设线段对应的函数关系式为，
把，代入函数表达式，得，
解得：，
∴线段对应的函数关系式为，
∵点的横坐标为4.5，
∴，
∴，
∵线段表示乙车因故停车检修，
∴交点的纵坐标为60，
把代入中，有，
解得：，
∴，
∵交点表示第一次相遇，
∴（小时），
∴甲车出发1小时，两车在途中第一次相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出甲车所行使路程与时间的函数关系式，根据函数图象可知，点表示两车在途中第二次相遇，从而求出点的坐标，进而得解；
（2）先利用待定系数法求出线段BC对应的函数关系式，从而得点坐标，进而得点坐标，据此即可计算两车在途中第一次相遇时甲的出发时间.
（1）解：设甲车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣120；
由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y＝60×6﹣120＝240，
∴F（6，240），
故两车在途中第二次相遇时它们距目的地的路程为480﹣240＝240（千米）；
（2）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2，
把（6，240）、（8，480）代入，得，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝120x﹣480，
则当x＝4.5时，y＝120×4.5﹣480＝60．
可得：点B的纵坐标为60，
∵线段AB表示因故停车检修，
∴交点P的纵坐标为60，
把y＝60代入y＝60x﹣120中，
有60＝60x﹣120，
解得x＝3，
则交点P的坐标为（3，60），
∵交点P表示第一次相遇，
∴甲车出发的时间为：3﹣2＝1（小时）．
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该二次函数的表达式．
（2）若该函数图象的顶点在轴上，求证：．
（3）在（1）的条件下，若点在该二次函数图象上，且在第三象限，若点的纵坐标大于，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数图像的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数 图象的顶点在轴上，
∴函数与轴只有一个交点，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：由（1）得二次函数的表达式为，
∴当时，有，
解得：，，
∴二次函数与轴的交点坐标为，，
当时，有，
∴二次函数与轴的交点坐标为，
当时，有，
解得：，，
∵点的纵坐标大于，
∴点的横坐标的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）首先根据对称轴求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先得到函数与轴只有一个交点，转化为一元二次方程根的问题，得到，然后求出，据此即可得证结论；
（3）首先求出二次函数与轴的交点坐标，然后求出当时，，，最后根据题意求解即可．
（1）∵二次函数，对称轴为直线
∴
∴
∴
∵二次函数过点
∴
∴
∴二次函数的表达式为；
（2）∵若该函数图象的顶点在轴上，
∴函数与x轴只有一个交点
∴
∴
∴；
（3）∵二次函数的表达式为
∴当时，
解得，
∴二次函数与x轴的交点坐标为，
当时，
∴二次函数与y轴的交点坐标为
当时，
解得，
∵点的纵坐标大于，
∴点的横坐标的取值范围为或．
24．（2025·钱塘模拟）如图1，已知是的直径，弦于点，点是延长线上的点，连结交于点，连结．
（1）求证：．
（2）已知，
①若点是弧的中点，求的长．
②如图2，与交于点，设，求关于的函数表达式．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴；
②如图，连接，，过点作于，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
设，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理及直径所对的圆周角是直角得，由圆周角定理得，最后进行等量代换即可得证结论；
（2）①如图，连接，，，根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，，然后得到，结合圆周角定理进行等量代换得，最后根据等腰三角形的判定得到；
②连接，，过点作于，由直径所对的圆周角是直角及平行线判定得，由平行线性质及圆周角定理得，然后得，由勾股定理得，得，接下来设，根据平行线分线段成比例即可得出结果．
（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①如图所示，连接，，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵点是弧的中点
∴
∴
∵
∴
∴；
②连接，，过点P作，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
设，
∵，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区文海中学九年级2025年中考三模数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·钱塘模拟）计算的结果等于（　　）
A． B．3 C． D．7
2．（2025·钱塘模拟）有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·钱塘模拟）电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·钱塘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·钱塘模拟）已知关于 x 的方程有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
6．（2025·钱塘模拟）如图，绕着点旋转，得到，与相交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·钱塘模拟）如图，，两点在边上，，两点在边上，并且，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·钱塘模拟）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
9．（2025·钱塘模拟）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·钱塘模拟）如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（　　）
A． B．9 C． D．10
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·钱塘模拟）"服务社会，提升自我。"宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了"交通秩序维护"小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是　 　
12．（2025·钱塘模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·钱塘模拟）已知 = ，则 的值是　 　．
14．（2025·钱塘模拟）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使．过点C作，垂足为点F，则的长为　 　．
15．（2025·钱塘模拟）如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长，表盘的半径长为　 　．
16．（2025·钱塘模拟）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025·钱塘模拟）计算：
（1）
（2）
18．（2025·钱塘模拟）解方程：
（1）
（2）
19．（2025·钱塘模拟）某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
20．（2025·钱塘模拟）放暑假期间学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．本学期开学初，小李同学随机调查了部分同学暑假在家做家务的总时间．被调查的每位同学暑假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五组：，，，，．将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，扇形统计图中的值是 ；
（2）请你根据上图信息补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时？
21．（2025·钱塘模拟）图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
22．（2025·钱塘模拟）甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；
（2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该二次函数的表达式．
（2）若该函数图象的顶点在轴上，求证：．
（3）在（1）的条件下，若点在该二次函数图象上，且在第三象限，若点的纵坐标大于，求点的横坐标的取值范围．
24．（2025·钱塘模拟）如图1，已知是的直径，弦于点，点是延长线上的点，连结交于点，连结．
（1）求证：．
（2）已知，
①若点是弧的中点，求的长．
②如图2，与交于点，设，求关于的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】直接利用有理数的加法法则进行求解.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从上面看有3列，左侧一列有2行，中间和右侧两列各有1行，
故选B.
【分析】
从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：因为 亿 ，所以亿．
故答案为：B．
【分析】本题考查科学记数法表示较大数，核心是掌握科学记数法形式（， 为整数 ），通过单位换算、确定 和 的值来解题。先将“亿”转化为具体数字，再把该数字改写成科学记数法形式，关键是确定 （满足 ）和 （小数点移动位数 ）.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故答案为：．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个同号的实数根，
∴
解得：，
∵有两个同号的实数根，
∴两根之积，
∴的取值范围是，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根.据此得，然后由两根同号得到，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵旋转的性质，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出，然后由旋转的性质得到，从而得到．
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形外角性质得到，同理依次求出，，的度数即可.
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故选：D．
【分析】
平均数是一组数据的总和与样本容量的商；中位数是指把一组数据按照从小到大顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据；方差是指一组数据中每个数据与平均值差的完全平方的平均值．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
点位于第一象限，点位于第三象限，
；
当时，，
点，位于第一象限，
，
，故A错误；
B、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，
点，位于第三象限，
，
，故B错误；
C、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
点位于第四象限，点位于第二象限，
，
当时，，
，
，故C错误；
D、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，位于第二象限，
，
，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小；当时，函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，据此逐项进行判断求解即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，则，得到，然后根据等边三角形的性质以及轴对称的性质得到，，，于是证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而设，则，进而表示出，，据此可求出与之间的数量关系，于是得，最后求比即可.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况，
所以，恰好是一男一女的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率．先画出树状图，据此可找出基本事件的个数，再找出恰好是一男一女的事件的个数，再利用概率公式进行计算可求出答案．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接利用提公因式法进行分解因式即可．
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴3（a+b）=4（a﹣b），
∴7b=a，
∴ = = ，
故答案为： ．
【分析】利用比例的性质：两内项之积等于两外项之积，可推出a=7b，再代入求值。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质结合垂直的概念可利用一线三垂直全等模型证明，则CF=AB，再利用勾股定理即可．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设钟表的中心为点，连接，
根据题意可得：点在上，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
表盘的半径长为，
故答案为：．
【分析】设钟表的中心为点，连接，根据题意得到点在上，，然后由圆周角定理可得，根据切线的性质可得，接下来根据含30°的直角三角形的性质得，最后利用勾股定理求出，即可得表盘的半径长.
16．【答案】或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当时，如图①，连接，过点E作，垂足为G，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴平分，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图②，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点落在上，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或3，
故答案为：或3.
【分析】分两种情况讨论：①当时，连接，过点E作，垂足为G，根据菱形的性质、平行线的性质得，，根据折叠的性质，利用邻补角得，然后求出，，，利用含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，接下来求出，根据等腰三角形的判定得，从而得，进而得；②当时，连接，根据菱形的性质得，从而得证是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，，根据折叠的性质得，，于是得证是等边三角形，得，可求出，得点落在上，接下来求出，得，最后得.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后进行加法运算即可；
（2）先计算算术平方根、立方根和去绝对值符号，然后进行加减运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
得：，
解得：
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：∵，
∴两边同时乘以，得，
解得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解二元一次方程组，由①+②求出x的值，然后将x的值代入①求出y的值，据此即可求解；
（2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后对所求的方程的解进行检验即可.
（1）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
19．【答案】解：∵，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴隧道的长为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据平行线的性质得，在和中，解直角三角形得的长，最后作差即可得到的长．
20．【答案】（1）50，32
（2）补全条形统计图如下：
．
（3）解：（名），
答：估计该校有1008名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的学生总人数为（名），
，
则，
故答案为：50，32．
（2）解：组的学生人数为（名），
组的学生人数为（名），
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用组人数及百分比可得本次调查的学生总人数；再利用组的人数除以调查的学生总人数即可得的值；
（2）先利用调查的学生总人数乘以组学生人数所占的百分比可得组的学生人数，再利用调查的学生总人数减去其他四组的人数可求出组的学生人数，据此补全条形统计图即可；
（3）利用样本估计总体，即由该校学生总人数乘以暑假在家做家务的总时间不低于20小时的学生所占百分比即可得．
（1）解：本次调查的学生总人数为（名），
，
则，
故答案为：50，32．
（2）解：组的学生人数为（名），
组的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（名），
答：估计该校有1008名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．【答案】（1）；
（2）
①尺规作图如图所示，
②；
（3）MN＝3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
；
（2）
②平分，，，
，
又，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
【分析】
（1）先利用勾股定理斜边AC的长，再利用等面积法求出MN即可；
（2）①先利用尺规作图作的平分线交AB于点N，再过点N作AC的垂线交AC于点M即可；
②先由角平分线的性质定理可得NB=NM，再利用HL证明，则CM=CB=8，再设，则，，再利用由勾股定理列方程并求解即可；
（3）同理可先作的平分线交BC于点N，再过点N作AC的垂线段NM即可，再参照上述方法求解即可．
22．【答案】（1）解：设甲车所行使路程与时间的函数关系式为，
把，代入函数关系式，得，
解得：，
∴甲车所行使路程与时间的函数关系式为，
根据函数图象可知，点表示两车在途中第二次相遇，点的横坐标为6，
∴，
∴，
∴（千米），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程为240千米；
（2）解：设线段对应的函数关系式为，
把，代入函数表达式，得，
解得：，
∴线段对应的函数关系式为，
∵点的横坐标为4.5，
∴，
∴，
∵线段表示乙车因故停车检修，
∴交点的纵坐标为60，
把代入中，有，
解得：，
∴，
∵交点表示第一次相遇，
∴（小时），
∴甲车出发1小时，两车在途中第一次相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出甲车所行使路程与时间的函数关系式，根据函数图象可知，点表示两车在途中第二次相遇，从而求出点的坐标，进而得解；
（2）先利用待定系数法求出线段BC对应的函数关系式，从而得点坐标，进而得点坐标，据此即可计算两车在途中第一次相遇时甲的出发时间.
（1）解：设甲车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣120；
由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y＝60×6﹣120＝240，
∴F（6，240），
故两车在途中第二次相遇时它们距目的地的路程为480﹣240＝240（千米）；
（2）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2，
把（6，240）、（8，480）代入，得，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝120x﹣480，
则当x＝4.5时，y＝120×4.5﹣480＝60．
可得：点B的纵坐标为60，
∵线段AB表示因故停车检修，
∴交点P的纵坐标为60，
把y＝60代入y＝60x﹣120中，
有60＝60x﹣120，
解得x＝3，
则交点P的坐标为（3，60），
∵交点P表示第一次相遇，
∴甲车出发的时间为：3﹣2＝1（小时）．
23．【答案】（1）解：∵二次函数图像的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数 图象的顶点在轴上，
∴函数与轴只有一个交点，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：由（1）得二次函数的表达式为，
∴当时，有，
解得：，，
∴二次函数与轴的交点坐标为，，
当时，有，
∴二次函数与轴的交点坐标为，
当时，有，
解得：，，
∵点的纵坐标大于，
∴点的横坐标的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）首先根据对称轴求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先得到函数与轴只有一个交点，转化为一元二次方程根的问题，得到，然后求出，据此即可得证结论；
（3）首先求出二次函数与轴的交点坐标，然后求出当时，，，最后根据题意求解即可．
（1）∵二次函数，对称轴为直线
∴
∴
∴
∵二次函数过点
∴
∴
∴二次函数的表达式为；
（2）∵若该函数图象的顶点在轴上，
∴函数与x轴只有一个交点
∴
∴
∴；
（3）∵二次函数的表达式为
∴当时，
解得，
∴二次函数与x轴的交点坐标为，
当时，
∴二次函数与y轴的交点坐标为
当时，
解得，
∵点的纵坐标大于，
∴点的横坐标的取值范围为或．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴；
②如图，连接，，过点作于，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
设，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理及直径所对的圆周角是直角得，由圆周角定理得，最后进行等量代换即可得证结论；
（2）①如图，连接，，，根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，，然后得到，结合圆周角定理进行等量代换得，最后根据等腰三角形的判定得到；
②连接，，过点作于，由直径所对的圆周角是直角及平行线判定得，由平行线性质及圆周角定理得，然后得，由勾股定理得，得，接下来设，根据平行线分线段成比例即可得出结果．
（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①如图所示，连接，，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵点是弧的中点
∴
∴
∵
∴
∴；
②连接，，过点P作，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
设，
∵，
∴，
∵，
∴．
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