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(共13张PPT)
培优拓展(二)导数应用中的函数构造
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题形式出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.常见的构造函数的形式是利用求导法则,常见类型如下:
(1)利用f(x)与x构造
①出现nf(x)+xf'(x)的形式,构造函数F(x)=xnf(x);
②出现xf'(x)-nf(x)的形式,构造函数
角度一 根据求导法则构造函数
例1(1)设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足2xf'(x)+f(x)<0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则对于任意a>b>0,必有(　　)
A.a2f(a)b2f(b) C.af(a2)bf(b2)
C
(2)已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数.若f(1)=e,且f'(x)+exA.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)
D
角度二 寻找共性构造函数
A.aC.bD
(2)已知函数f(x)=2xln x-ax2,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1>x2时,都有2x1+f(x2)>2x2+f(x1),则实数a的取值范围为(　　)
C
解析 不等式2x1+f(x2)>2x2+f(x1)等价于f(x1)-2x1令F(x)=f(x)-2x,x∈(0,+∞),根据题意对任意的x1,x2∈(0,+∞),
当x1>x2时,F(x1)针对训练
A.cC.bA
2. 若函数f(x)对任意的x∈R都有f'(x)A.2f(2)>e2f(ln 2) B.2f(2)=e2f(ln 2)
C.2f(2)C
3.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0,+∞),且xf'(x)>(x-1)f(x)恒成立,f(3)=e,则不等式(x+4)f(x+4)<3ex+2的解集为(　　)
A.(-4,-1) B.(-1,1)
C.(-1,2) D.(-1,+∞)
A(共11张PPT)
规范解答一 函数与导数
(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若f(x)>-2,当且仅当1题意理解
由点P的任意性可得y=f(x)的图象为中心对称图形,且对称中心为点(1,a).
目
教师讲评
1.本题第(1)小题是恒成立问题，属于得分
题.若f(x)有最小值，则f(x)≥0台f(x)min≥0.
2.本题第(2)小题是函数图象的中心对称问
题，f(x)的图象关于点(，b)中心对称台
f(2a-x)+f(x)=2b.
3.本题第(3)小题是不等式恒成立问题，其模
式是当x≥x。时，f(x)≥f(xo)恒成立，求参数的
取值范围，求解步骤一般分两步：①求出使
f'(x)≥0的参数的取值范围D,②当参数在D之
外的所有其他范围内取值时找到一个x1(x1
x0),使得当x∈(xo,x1)时，f′(x)<0,从而确定
在该范围内不等式不恒成立，从而由这两步确定D
为所求的参数的取值范围(共33张PPT)
突破1　利用导数求参数的值或范围
考点一　与单调性有关的参数范围问题
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.
∴m'(x)在(0,+∞)单调递减,
则m'(x)<1-ln 1-1=0,则m(x)在(0,+∞)单调递减,
∴m(x)<0-2ln 1+0=0,即g(x)在(0,+∞)单调递减,
(方法二)令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,
则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).
∵x+1>1,∴ln(x+1)>0.
当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;
当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,则
(ⅰ)当a≥ 时,h'(x)>0恒成立,
∴g'(x)在(0,+∞)单调递增,
∴g'(x)>0-ln 1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)单调递增,
∴g(x)>0+0-0=0恒成立,
即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增,符合题意.
[对点训练1]已知函数f(x)=ax2-ln|x|+x(a∈R).
(1)若a=1,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均为单调函数,求实数a的取值范围.
考点二　与极值有关的参数范围问题
例2(2024新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,则切点为(1,e-2).又f'(x)=ex-1,k=f'(1)=e-1,故所求切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y-1=0.
(2)由题得,f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在R上为增函数,无极值,所以a>0.
令f'(x)=0,得x=ln a.
当f'(x)<0时,x0时,x>ln a,故函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3<0,即1-ln a-a2<0.令g(x)=-x2-ln x+1,x>0,g'(x)=-2x- <0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又g(1)=0,所以g(a)1,故a的取值范围为(1,+∞).
[对点训练2] 已知函数f(x)=(x+a)ln x的导函数为f'(x).
(1)当a=1时,求f'(x)的最小值;
(2)若f(x)存在两个极值点,求a的取值范围.
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=2,即f'(x)的最小值为2.
①当a≤0时,因为x-a>0,所以g'(x)>0,即f'(x)在(0,+∞)内单调递增,
所以至多存在一个x0∈(0,+∞),使得f'(x0)=0,故f(x)不存在两个极值点.
②当a>0时,解g'(x)=0,得x=a,
故当x∈(0,a)时,g'(x)<0,f'(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,g'(x)>0,
f'(x)单调递增,所以f'(x)min=f'(a)=ln a+2,
(ⅰ)当ln a+2≥0,即a≥e-2时,f'(x)≥f'(x)min≥0,f(x)在(0,+∞)内单调递增,
故f(x)不存在极值点.
且f(x)在(0,x1),(x2,+∞)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减,
所以x1,x2分别是y=f(x)的极大值点和极小值点.
综上,a的取值范围为(0,e-2).
考点三　与最值有关的参数范围问题
例3已知函数f(x)=ex-ax-2.
(1)若f(x)在区间(0,1)内存在极值,求a的取值范围;
(2)若x∈(0,+∞),f(x)>x-sin x-cos x,求a的取值范围.
解 (1)由f(x)=ex-ax-2,得f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,f(x)不存在极值.
当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln a,
若x若x>ln a,则f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=ln a是f(x)的极小值点.
因为f(x)在区间(0,1)存在极值,则0所以f(x)在区间(0,1)内存在极值时,a的取值范围是(1,e).
(2)由f(x)>x-sin x-cos x当x∈(0,+∞)时恒成立,
即ex+cos x+sin x-(a+1)x-2>0当x∈(0,+∞)时恒成立.
设g(x)=ex+cos x+sin x-(a+1)x-2,则g(x)>0当x∈(0,+∞)时恒成立.
则g'(x)=ex-sin x+cos x-(a+1),
令m(x)=g'(x)=ex-sin x+cos x-(a+1),则m'(x)=ex-cos x-sin x,
令n(x)=m'(x)=ex-cos x-sin x,则n'(x)=ex+sin x-cos x,
当x∈(0,1)时,ex+sin x>1,则n'(x)=ex+sin x-cos x>0,
当x∈[1,+∞)时,ex≥e,则n'(x)>0,
所以当x∈(0,+∞)时,n'(x)>0,则n(x)即m'(x)单调递增,
所以m'(x)>m'(0)=0,则m(x)即g'(x)单调递增,
所以g'(x)>g'(0)=1-a,
①当a≤1时,g'(0)=1-a≥0,故当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,
所以f(x)>x-sin x-cos x在x∈(0,+∞)时恒成立.
②当a>1时,g'(0)=1-a<0,
故在区间(0,ln(a+3))内函数g'(x)存在零点x0,即g'(x0)=0,
由于函数g'(x)在(0,+∞)内单调递增,则当x∈(0,x0)时,g'(x)故函数g(x)在区间(0,x0)内单调递减,
所以,当x∈(0,x0)时,函数g(x)综上所述,a的取值范围为(-∞,1].
[对点训练3] 已知函数f(x)=ax2-ln x+(2a-1)x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)设a>0,若不等式f(x)+ ≥0对x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.
考点四　与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题
例4(2024辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.
[对点训练4]已知函数f(x)=2mln x-x+ (m>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
设k(x)=-x2+2mx-1,则Δ=4(m2-1),
①当0则当0x2时,k(x)<0,即f'(x)<0;当x10,即f'(x)>0,
即函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增,
所以当0由(1)知,当0当m>1时,由(1)知,f(x)的两极值点x1,x2满足x1x2=1,所以函数f(t)的两个极值点t1,t2满足t1t2=1,不妨设0第2讲　基本初等函数、函数的应用
考点一　基本初等函数的图象与性质
D
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
(3) 设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数f(x)=ex+(p+q)x,
a>c>b
解析 由ex+x+e=0,得ex=-x-e,由ln x+x+e=0,得ln x=-x-e,
依题意,直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q,而函数y=ex,y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,
[对点训练1](1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
D
解析 (方法一　导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.
(方法二　复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
(2)已知正数a,b满足aea=bln b=2,则(　　)
A.a<1B.aC.a>1>b
D.a>b>1
A
(3)(多选题) 已知函数f(x)= +a(a∈R),则(　　)
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为R
C.当a=1时,f(x)为奇函数
D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2
ACD
故选ACD.
考点二　函数的零点(多考向探究预测)
考向1函数零点个数的判断
例2(1)(多选题)已知函数f(x)=2x+ -4,若存在x1A.x1<1
B.x2>1
C.f(x)在(x1,x2)内有零点
BCD
解析 因为f(x)=2x+ -4在[0,+∞)上单调递增,且x1所以f(x1)<0,f(x2)>0,根据零点存在定理可得函数f(x)在(x1,x2)内有零点,故C正确;
又因为f(1)=-1<0,所以x2>1,故B正确;
(2)已知函数 则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为
(　　)
A.3 B.5 C.6 D.8
B
解析 依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0解的个数,
又f(x)-1=t,则f(x)=t+1,
当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有两个解;
当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有两个解;
当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有一个解.综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5.故选B.
考向2求参数的值或范围
例3已知函数f(x)=(x2-4x+m)( -m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数
是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,
所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,个数为2.故选B.
考向3零点的代数式问题
D
又曲线y=(x+1)2的对称轴为直线x=-1,在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=a的图象,因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1[对点训练2](1)已知x1是函数f(x)=xln x-2 024的一个零点,x2是函数
g(x)=xex-2 024的一个零点,则x1·x2的值为(　　)
A.1 012 B.2 024 C.4 048 D.8 096
B
(2)(多选题)已知函数 下列关于函数y=f(|f(x)|)-2的零点个数的判断,其中正确的是(　　)
A.当k>0时,有2个零点
B.当k<0时,至少有2个零点
C.当k>0时,有1个零点
D.当k<0时,可能有4个零点
ABD
解析 设|f(x)|=t,若k>0时,由f(t)=2,可得t=9,即|f(x)|=9,画出y=|f(x)|的大致图象如图所示,则直线y=9与y=|f(x)|的图象有两个交点.
(3)已知g(x)和h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)
=2 023x+log2 023(x+ ),若函数f(x)=2 023-|x-2 023|-λg(x-2 023)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为(　　)
D
考点三　函数模型及其应用
例5(1) 德国天文学家开普勒提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系: ,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的椭圆轨道长半轴长的(　　)
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
B
(2)(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2
ACD
[对点训练3] 根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型
,其中y(单位:万辆)为第x年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为(　　)(结果四舍五入保留整数,参考数据ln 0.887≈-0.12,ln 0.30≈-1.2)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
B(共40张PPT)
第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值与最值
考点一　导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1导数几何意义的应用
C
(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　 　.
(-∞,-4)∪(0,+∞)
(3)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为　　　　　　　　　,　　　　　　　　.
考向2公切线问题
D
(2) 已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,
则(　　)
A
[对点训练1](1) 已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则a+b+k=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析∵点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上,∴a+2=4,解得a=2.
由题意得,f'(x)=2ax+ =4x+ ,∴在点P(1,4)处的切线斜率k=5,把P(1,4)代入y=kx+b,得b=-1,
∴a+b+k=2-1+5=6,故选D.
D
(2) 已知函数f(x)=ln x- 在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点,则实数a的取值范围为(　　)
A.{1,9} B.{0,1,9}
C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}
B
所以切线方程是y=2(x-1)-1=2x-3,
①若a=0,则曲线为y=-x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点;
②若a≠0,则2x-3=ax2+(a-1)x-2,即ax2+(a-3)x+1=0,
由Δ=(a-3)2-4a=0,即a2-10a+9=0,得a=1或a=9.
考点二　利用导数研究函数的单调性(多考向探究预测)
考向1求函数的单调区间
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意.
综上,a≤3.
考向2单调性的应用
例4(1)(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　)
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
C
A.bC.aA
[对点训练2](1)(2025黑龙江齐齐哈尔二模)函数f(x)=x3+mx2+3x-1在R上单调递增的必要不充分条件为(　　)
A.m∈(-3,3) B.m∈[-3,3]
C.m∈(-6,3) D.m∈(-6,3]
D
解析 由题意得,函数f(x)的定义域为R.由f(x)在R上单调递增,得f'(x)=3x2+2mx+3≥0在R上恒成立,则Δ=(2m)2-4×3×3≤0,解得-3≤m≤3.故选D.
D
(3)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是　　　　　.
解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对 x>0恒成立.
考点三　利用导数研究函数的极值
例5已知函数f(x)=ax+ +2ln x在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求实数a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增.
故x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=4,无极大值.
故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),函数有极小值f(1)=4,无极大值.
[对点训练3](1)(多选题) 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示,则(　　)
A.f(x)在(a,b)内有极小值
B.f(x)在(a,b)内有极大值
C.g(x)=f(x)·e-x在x=a时取极小值
D.g(x)=f(x)·e-x在x=b时取极小值
BD
解析 根据f(x)与f'(x)的关系可知,f(x)先递增后递减再递增,f'(x)先递减后递增,由图象可知f(x)在(a,b)内有极大值,无极小值,故A错误,B正确;
当xf(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,a)内单调递增,
当a当x>b时,f'(x)>f(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(b,+∞)内单调递增.综上所述,g(x)在x=a时取极大值,在x=b时取极小值,故C错误,D正确.故选BD.
(2)(2025全国2,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　.
-4
解析 f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',
又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4.
考点四　利用导数研究函数的最值
例6(1)已知函数f(x)= +2ax,则下列关于f(x)的结论中正确的是(　　)
A.若a≤0,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
B.若a≥1,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
C.若a= ,则f(x)有最大值
D.f(x)关于点(0,1)中心对称
B
(2)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间
[-2,2]上的最大值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
C
解析 f'(x)=3ax2-3,因为x=1是y=f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.
[对点训练4](1)(2025湖北孝感高三模拟)函数f(x)=xsin x+cos x在区间[0,]上的最小值为(　　)
A.- B.0 C.- D.-
A
解析 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以当x∈(0,)时,f'(x)>0,当x∈()时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,)上单调递增,在区间()上单调递减.又f(0)=1,f()=-,所以f(x)min=f()=-.故选A.
A(共20张PPT)
培优拓展(三)隐零点问题
导函数的零点在很多情况下是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,既能确定其存在,但又无法用显性的代数方法进行表达.这类问题的解题思路是对导函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题.
角度一 不含参函数的隐零点问题
例1已知函数f(x)=ln x-ax+1.
(1)求f(x)的极值;
(2)证明:ln x+x+1≤xex.
角度二 含参函数的隐零点问题
例2已知函数f(x)=ax-elogax-e,其中a>1.
(1)若a=e,证明f(x)≥0;
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
(1)证明 当a=e时,f(x)=ex-eln x-e,f'(x)=ex- ,f'(1)=0,f(1)=0,又易知f'(x)在(0,+∞)内为增函数,
所以当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
从而f(x)≥f(1)=0.
设g(x)=xaxln2a-e,a>1,显然函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,g(x)与f'(x)同号,
①当a>e时,g(0)=-e<0,g(1)=aln2a-e>0,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点x0,
且x∈(0,x0),g(x)<0,x∈(x0,+∞),g(x)>0,
故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;
②当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;
且当x∈(0,x1)时,g(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)>0,
故f(x)在(0,x1)内单调递减,在(x1,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.
综上所述,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.
针对训练
1. 已知函数f(x)=(x+a)ln x- x2.
(1)若f(x)在其定义域内单调,求实数a的取值范围;
(2)若a=2,f(x)的极大值为M,证明:M>0.
当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,
故F(x)max=F(1)=0,故F(x)≤0,即ln x≤x-1,
又x>0,∴g(x)≤a,
∵函数f(x)在其定义域内单调,∴依题知f'(x)≤0在其定义域内恒成立,
∴g(x)≤0在其定义域内恒成立,∴a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
∵在(0,x1)上,h(x)>0,即f'(x)>0,在(x1,+∞)上,h(x)<0,即f'(x)<0,
∴f(x)在(0,x1)内单调递增,在(x1,+∞)内单调递减,
2.已知函数f(x)=(1-ax)ex(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)>a(1-x)无整数解,求a的取值范围.
设t(x)=ex+x-2,t'(x)=ex+1>0,所以t(x)单调递增,
且t(0)=-1<0,t(1)=e-1>0,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h'(x0)=0,
当x∈(-∞,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
设φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1,当x>0时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当x<0时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≥φ(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立.(共53张PPT)
第1讲　函数的图象与性质
领航高考风向标
通览主干知识
一、函数的概念与性质
1.求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则f[g(x)]的定义域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值集合;
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n,得到g(x)的值域即为f(x)的定义域;
(3)对于分段函数的定义域为每段x的取值范围的并集,值域为每段y的取值范围的并集.
2.求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.
3.函数的单调性
函数单调性的判断方法 (1)定义法.
(2)图象法.
(3)性质法,即f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上):简记为↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘.
(4)导数法
复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减”
4.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x) =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
奇偶性 偶函数 奇函数
性质 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|) 如果函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,那么f(0)=0
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性
奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)偶函数=奇函数;(两个函数定义域的交集非空,除法时作分母的函数不等于0) 5.函数的周期性与对称性
二、基本初等函数、函数的应用
1.基本初等函数
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 a>1 增函数 在(0,+∞)内为增函数 α>0 幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 0过定点 过定点(0,1) 过定点(1,0) 过定点(1,1) 对称性 指数函数y=ax与 的图象关于y轴对称 函数y=logax与 y= 的图象关于x轴对称 函数f(x)=kxα为幂函数,则k=1 指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称 2.函数的应用
函数的零点与方程解的关系 方程F(x)=f(x)-g(x)的零点 f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象交点的横坐标
确定函数零点的方法 (1)直接解方程法;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解
三、利用导数研究函数的单调性、极值、最值
导数的几何意义 (1)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同;
(3)切点既在曲线上,又在切线上
利用导数研究函数的单调性 导数法求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间
利用导数研究函数的极值 (1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点;
(2)函数的极大值不一定大于函数的极小值
利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.f(x)在[a,b]上的最值在极值点或端点处取得.
常用不等式 ex≥x+1,ln x≤x-1,x≥sin x(x≥0)
链高考1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　)
A.y=x2+2x+4
C.y=2x+22-x
C
链高考2.(2024新高考Ⅰ,6)已知函数 在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
解析 当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足 解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0].
B
链高考3.(2024天津,4)下列函数是偶函数的是(　　)
B
微点拨 若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为
2|a-b|;若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)的周期为4|a-b|;若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0),则函数f(x)的周期为
2|a-b|.
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
链高考5.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是(　　)
A
链高考6.(2024新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　　)
D
(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.
链高考7.(2024全国甲,理6)设函数 ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A
链高考8.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　)
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
AD
解析 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;
任何三次函数不存在对称轴,C错误;
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.
考点一　函数的概念及表示
A.(2,3)
B.(2,3]
C.(2,3)∪(3,6]
D.(2,3)∪(3,4]
A
A.8 B.12 C.16 D.24
D
解析 由1所以f(2+log23)=f(3+log23)= =24.故选D.
[对点训练1](1)若函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则y=f(x)-f(-x)的定义域
为(　　)
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-4,4] D.[-8,8]
C
解析 因为函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函数y=f(x)的定义域为[-4,8],对于函数y=f(x)-f(-x),则有 解得-4≤x≤4,因此,函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4,4].故选C.
(2)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)= ,则函数y=[f(x)]的值域为(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.N D.N*
C
解析 因为f(x)= ,所以x≥0,故 ≥0,即f(x)≥0,而由题意可知,当x≥0时,函数y=[f(x)]的值域为N,故选C.
考点二　函数的图象
例2(1)(2023天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
D
(2)(多选题)已知函数 若x1A.x1+x2=-4 B.x3x4=1
C.1AB
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0对于A,函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,故A正确;
对于B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|,且0当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4≤4,由图象可知log2x4∈(0,4),则1由图象可知-4[对点训练2](1)(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间 的图象大致为(　　)
A
解析 设f(x)=(3x-3-x)cos x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.
又f(1)=(3-3-1)cos 1>0,排除C选项.故选A.
(2)(多选题)已知函数 若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是　　　　　.
[1,3)∪{0}
解析 因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点,作出函数图象,如图所示,
所以当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.
考点三　函数的性质(多考向探究预测)
考向1单调性与奇偶性
例3(1)(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
D
A.aC.aC
考向2奇偶性、周期性与对称性
例4(1)(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(2x-1) =f(3-2x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)在[2 024,2 025]上单调递增
D.方程f(x)=log5|x|有4个根
ABC
解析 因为f(2x-1)=f(3-2x),所以f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,
因为函数f(x)的周期为4,所以函数f(x)在[2 024,2 025]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同,故B正确;
又因为f(0)=0,f(1)=1,当x=0时,则f(2)=-f(0)=0,
当x=1时,则f(3)=-f(1)=-1,
又f(4)=f(0)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
又当x∈[0,1]时,f(x)=x,结合对称性与周期性作出函数f(x)的图象,如图,
作出y=log5|x|的图象,由图知两函数共有5个交点,可得方程f(x)=log5|x|有5个根,则D错误.故选ABC.
(2)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,有f(x+y)f(x-y)= [f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则(　　)
A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数
C.f(2+x)=-f(2-x)
ACD
解析 令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,即f(0)=0,A正确;
令x=0,得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(0)=0,所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立.
因为f(1)=1,所以f(y)不恒为0,
所以f(-y)+f(y)=0,即f(-y)=-f(y),B错误;
将f(x)的图象向左平移1个单位长度后,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得f(2x+1)的图象,因为f(2x+1)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=f(2-x),又f(x)为奇函数,所以f(2-x)=-f(x-2)=-f[2-(x-2)]=-f(4-x)=f(x-4),
所以f(x)=f(x-4),所以f(-x)=f(-x-4),即-f(x)=-f(x+4),即f(x)=f(x+4),所以4为f(x)的周期.
由f(x)=f(x-4)可得f(x+2)=f(x-2)=-f(2-x),C正确;
因为f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0,
所以 f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,D正确.故选ACD.
[对点训练3](1)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数
A.f(x)是奇函数且在(0,+∞)内单调递减
B.f(x)是奇函数且在(-∞,0)内单调递增
C.f(x)是偶函数且在(0,+∞)内单调递减
D.f(x)是偶函数且在(-∞,0)内单调递增
A
BD
得f(x)的图象关于点(1,0)对称,即f(1+x)=-f(1-x).
所以f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1-(1+x))=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以函数f(x)是周期函数,且周期为4.
又f(x)在[0,1]上单调递增,所以在[0,1]上,有f(x)≤0.
所以函数的草图如下:(共36张PPT)
培优拓展(一)抽象函数问题
抽象函数是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数;抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径.抽象函数问题既是高考的难点,又是近几年高考的热点.
角度一 赋值法的应用
例1(1)(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
ABC
解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
(2)(2024辽宁抚顺一模)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)满足对任意x≠0,y≠0,有f(x+y)[f(x)+f(y)]=f(x)f(y),f(1)=2,且当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,则下列结论正确的是(　　)
A.f( )=6
B.f(2x)=2f(x)
C.f(x)为奇函数
D.f(x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
C
假设存在x<0,使f(x)=0.把y用-2x代换,则有f(-x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),
即f(-x)f(-2x)=0,又当x>0时,f(x)>0,所以产生矛盾,即x<0时,f(x)≠0,则f(x)≠0在函数f(x)的定义域内恒成立.
令-x代换x,y,则f(-x-x)[f(-x)+f(-x)]=f(-x)f(-x),即2f(-2x)·f(-x)=f(-x)f(-x),
所以2f(-2x)=f(-x),令-x代换x,所以2f(2x)=f(x),故B错误;
令y=-2x,则f(x-2x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)·[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x).
化简可得f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故C正确;
令x=y=1,则f(2)[f(1)+f(1)]=f(1)f(1),解得f(2)=1,f(1)=2>f(2)=1,故D错误.故选C.
角度二 特殊函数模型的应用
ABD
(2)(2024吉林模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),则 f(k)=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
D
解析(方法一)令x=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,可得f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数.因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,
(方法二)由题意知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),f(0)=1,
令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数;
又f(3x+1)=-f(-3x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0,
又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,
即f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,则f(2)=-f(0)=-1.
f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x+2)=-f(-x),又结合f(x)为偶函数,
则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4为f(x)的周期,
故f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,
故 f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=1+506×(0-1+0+1)=1,故选D.
角度三 涉及导数的周期对称问题
例3(多选题)(2022新高考Ⅰ,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(　　)
A.f(0)=0 B.g=0
C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
BC
解析 ∵f(-2x)是偶函数,∴f(+2x)=f(-2x),∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=对称,∴g(x)的图象关于点对称.∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g=g=0,∴B正确;构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求, g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误.故选BC.
角度四 抽象函数性质的综合应用
例4(1)(多选题) 设f(x)是定义在R上的可导函数,其导数为g(x),若f(3x+1)是奇函数,且对于任意的x∈R,f(4-x)=f(x),则对于任意的k∈Z,下列说法正确的是(　　)
A.4k都是g(x)的周期
B.曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称
C.曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称
D.g(x+4k)是偶函数
BC
解析 由f(3x+1)是奇函数,故有f(3x+1)=-f(-3x+1),即有f(x+1)=-f(-x+1),
故f'(x+1)=f'(-x+1),即g(x+1)=g(-x+1),故函数g(x)的图象关于直线x=1对称,
由f(4-x)=f(x),则-f'(4-x)=f'(x),即-g(4-x)=g(x).
故函数g(x)的图象关于(2,0)中心对称.
由-g(4-x)=g(x),则-g(3-x)=g(x+1),又g(x+1)=g(-x+1),故g(-x+1)=-g(3-x),即有g(x+1)=-g(3+x),
则g(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+1),
即g(x+1)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)的周期为4.
对于A,当k=0时,4k=0,故A错误;
对于B,由g(x)周期为4,故g(4k-x)=g(-x),又-g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),
故g(-x)=-g(x)=g(4k-x),故曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称,故B正确;
对于C,由g(x)的周期为4,故g(4k+2-x)=g(2-x),又g(x+1)=g(-x+1),
故g(x)=g(-x+2)=g(4k+2-x),故曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称,故C正确;
对于D,由选项B得-g(x)=g(4k-x),故-g(-x)=g(4k+x),又g(x)的周期为4,
故有-g(-x)=-g(4k-x),故g(4k+x)=-g(4k-x),又x∈R,即g(x+4k)都是奇函数,故D错误.故选BC.
(2)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)是奇函数, f(2)=-f(1)≠0,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则(　　)
ABD
解析 因为f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1)f'(1),又因为
f(2)=-f(1)≠0,所以f'(1)=- ,故A正确;
因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,且f'(x)为偶函数.令y=1,可得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1).①
再用-x代替x,可得f(1-x)=f(-x)·f'(1)+f'(-x)f(1)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1),
则f(x-1)=f(x)f'(1)-f'(x)f(1).②
①+②,得f(x+1)+f(x-1)=2f(x)·f'(1),则f(x+1)=-f(x)-f(x-1),
所以f(x+2)=-f(x+1)-f(x),
f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x),
所以f(x)是周期为3的周期函数,所以f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正确;
针对训练
1.(多选题)已知定义在R上的函数f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,则(　　)
A.f(0)=1
B.f(1)+f(-1)=1
C.函数f(x)为减函数
D.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称
ACD
解析 (方法一)由f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,可以令f(x)=-x+1,则f(0)=1,A正确;f(1)+f(-1)=0+2=2,B错误;f(x)=-x+1为减函数,C正确;因为f(0)=1,所以D正确.故选ACD.
(方法二)对于A,令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1,故A正确;
对于B,令x=1,y=-1,则有f(0)=f(1)+f(-1)-1,故f(1)+f(-1)=2,故B错误;
对于C,令y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1<0,
令x1=x+y,x2=x,即有对 x1,x2∈R,当x1>x2时,f(x1)-f(x2)<0恒成立,即函数f(x)为减函数,故C正确;
对于D,令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,又f(0)=1,
故f(x)+f(-x)=2,故函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确.故选ACD.
D
解析 由f(x+2)+f(x)=f(4),得f(x+4)+f(x+2)=f(4),则f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4.
由f(2x+1)是R上的奇函数,得f(-2x+1)=-f(2x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0,于是
D正确.故选D.
3.(多选题) 已知函数f(x)满足:对 x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+y),且f(0)≠f(2),则以下选项正确的是(　　)
A.f(1)=0 B.f(0)=0
C.f(x)+f(2-x)=0 D.f(x+4)=f(x)
ACD
解析 对于A,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+[f(1)]2,
令x=y=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2,所以[f(0)]2=[f(2)]2,
因为f(0)≠f(2),所以f(0)=-f(2).
令x=1,y=0,则f(1)=f(0)f(1)+f(1)f(2)=0,故A正确;
对于B,结合选项A可得f(0)=[f(0)]2,所以f(0)=0,或f(0)=1.
若f(0)=0,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=0,
所以f(2)=0,此时与f(0)≠f(2)矛盾,舍去;
若f(0)=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=1,解得f(2)=±1,
因为f(0)≠f(2),所以f(2)=-1,故B错误;
对于C,令x=0,则f(-y)=f(0)f(y)+f(1)f(1+y),因为f(1)=0,f(0)=1,所以f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数,
令x=1,则f(1-y)=f(1)f(y)+f(2)f(1+y)=f(2)f(1+y)=-f(1+y),
所以f(1-y)=-f(1+y),令y=1-x,则f(x)=-f(2-x),
即f(x)+f(2-x)=0,故C正确;
对于D,因为f(x)=-f(2-x),
把x换成x+2,则f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x).
把x换成x+2,则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x),故D正确.故选ACD.
4.(多选题) 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,y=g(x+4)-3是奇函数,且
g(x)-f(x-2)=2,f(x)+g(x+6)=4,g(2)=4,则(　　)
A.g(4)=3 B.f(x)为奇函数
C.g(x+2)为偶函数
ACD
解析 由y=g(x+4)-3是奇函数,则g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即g(-x+4)+g(x+4)=6,令x=0,则g(4)=3,故A正确;
由g(x)-f(x-2)=2,g(2)=4,令x=2,则f(0)=2≠0,故f(x)不是奇函数,故B错误;
由g(-x+4)+g(x+4)=6,把x代换成x-2,则g(-x+6)+g(x+2)=6,
故g(x+2)=6-g(-x+6),所以g(-x+2)=6-g(x+6)=6-(4-f(x))=2+f(x),
而g(x)-f(x-2)=2,则g(x+2)-f(x)=2,
故g(x+2)=2+f(x)=g(-x+2),
所以g(x+2)是偶函数,故C正确;
因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+6)-f(x+4)=2,
又因为f(x)+g(x+6)=4,所以f(x)+f(x+4)=2,
所以f(x+4)+f(x+8)=2,所以f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8.因为g(x+2)是偶函数,所以y=f(x)+2是偶函数,则f(x)是偶函数.
因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+4)-f(x+2)=2,g(4-x)-f(2-x)=2,
所以g(x+4)+g(4-x)-f(x+2)-f(2-x)=4,即f(x+2)+f(2-x)=2,
因为g(2)=4,所以由g(x)-f(x-2)=2,得g(2)-f(0)=2,得f(0)=2,
由f(x+2)+f(2-x)=2,得f(2)=1,f(4)+f(0)=2,f(4)=0,f(3)+f(1)=2,
因为f(x)的周期为8,所以f(5)=f(-3)=f(3),f(6)=f(-2)=f(2)=1,f(7)=f(-1)=f(1),
5.(2022全国乙,理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　)
A.-21 B.-22
C.-23 D.-24
D
解析 由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).
∵f(x)+g(2-x)=5,
∴f(-x)+g(2+x)=5.
又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).
∵g(x)-f(x-4)=7,
∴g(4-x)-f(-x)=7.
又g(x)=g(4-x),
∴f(x-4)=f(-x)=f(x).
∴f(x)的周期为4.
当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.
当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,
∴f(2)=f(-2)=-3.
当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,
又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,
∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,
∴f(3)=f(-1)=-1.
∴f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24.(共29张PPT)
突破3　利用导数研究函数的零点
在近几年的高考中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题,难度较大,多以压轴题出现.
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图,数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.
考点一　判断或证明函数零点的个数
例1已知函数f(x)=x(x-3)+(x+2)ex.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若g(x)=f(x)+x(3- x)+ln x+ex(x2-3x-1),求函数g(x)的零点个数.
解 (1)(方法一)因为f(x)=(x+2)ex+x2-3x,
所以f'(x)=(x+3)ex+2x-3.记m(x)=f'(x),则m'(x)=(x+4)ex+2,
①当x≤-3时,(x+3)ex≤0,2x-3≤-9,可得f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-∞,-3]上单调递减.
②当x>-3时,(x+4)ex>0,m'(x)>0,可知函数m(x)单调递增,
又m(0)=0,所以当-30时,m(x)>0,
所以函数f(x)在区间(-3,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
由①②知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),
故f(x)min=f(0)=2.
(方法二)因为f(x)=(x+2)ex+x2-3x,
所以f'(x)=(x+3)ex+2x-3.令m(x)=f'(x),则m'(x)=(x+4)ex+2,
令t(x)=m'(x),则t'(x)=(x+5)ex,当x<-5时,t'(x)<0,t(x)单调递减,
当x>-5时,t'(x)>0,t(x)单调递增,故t(x)min=t(-5)=-e-5+2>0,
所以m'(x)>0,故f'(x)在定义域上单调递增.
易知f'(0)=0,故当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)min=f(0)=2.
当00;当x00,g'(x)<0;
当x>1时,h(x)>0,g'(x)>0,
所以g(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,
[对点训练1] 已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:f(x)在[0,+∞)上有两个零点.
(1)解 因为f(x)=ex-4sin x,所以f'(x)=ex-4cos x,则f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.
(2)证明 设g(x)=f'(x)=ex-4cos x,则g'(x)=ex+4sin x.
显然当x∈[0,π]时,g'(x)>0,当x∈(π,+∞)时,g'(x)>eπ-4>0,
所以f'(x)在[0,+∞)内单调递增.
考点二　根据函数零点的个数求参数范围
例2已知函数f(x)=1+ln x+2ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个零点,求a的取值范围.
[对点训练2] 已知函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1).
(1)当a=e时,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数f(x)存在两个极值点,设x1是极小值点,x2是极大值点,若x1解 (1)当a=e时,f(x)=2ex-ex2,f(0)=2,f'(x)=2ex-2ex,f'(0)=2,
所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-2=2(x-0),即y=2x+2.
(2)f(x)=2ax-ex2,f'(x)=2(ax·ln a-ex),
设g(x)=ax·ln a-ex,由题设g(x)有两个变号零点x1,x2,
且在x1的左侧附近,g(x)<0,在x1的右侧附近,g(x)>0,
在x2的左侧附近,g(x)>0,在x2的右侧附近,g(x)<0.
又g'(x)=ax·(ln a)2-e,
若a>1,则g'(x)为R上的增函数,
当x∈(-∞,u)时,g'(x)<0,当x∈(u,+∞)时,g'(x)>0,
故g(x)在(-∞,u)内单调递减,在(u,+∞)内单调递增.
因为g(x)有两个变号零点x1,x2(x1此时在x1的左侧附近,g(x)>0,在x1的右侧附近,g(x)<0,这与题设矛盾,
故0此时当x∈(-∞,u)时,g'(x)>0,当x∈(u,+∞)时,g'(x)<0,
故g(x)在(-∞,u)内单调递增,在(u,+∞)内单调递减,故g(u)>0,
考点三　函数零点(方程根)的证明问题
例3(2025全国2,18)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0(1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.
(ⅰ)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t).证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减;
(ⅱ)比较2x1与x2的大小,并证明你的结论.
(1)证明 ∵f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,
∴f'(x)=-1+x-3kx2==x2(-3k),
∴当x∈(0,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴-1是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点.
∵f(0)=0,∴f(-1)>f(0)=0,
F()=ln(1+)-=ln(1+)-.
令h(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则h'(x)=-1=<0,
∴h(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴f()=h()∴f(x)在(-1,)上存在零点.
又f(x)在(-1,+∞)上单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.
(2)(ⅰ)证明 由(1)知x1=-1,则k=,
∵g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),
∴g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t)=(x1+t)2(-3k)+(x1-t)2(-3k)
=(x1+t)2()+(x1-t)2()
=(x1+t)2+(x1-t)2=]
==
=,
当t∈(0,x1)时,g'(t)<0,∴g(t)在(0,x1)上单调递减.
(ⅱ)解 由(ⅰ)知,g(x1)∴g(x1)=f(2x1)-f(0)<0,
即f(2x1)又x2为f(x)的零点,∴f(x2)=0,
∴f(2x1)由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2>x1,∴2x1>x2.
[对点训练3]已知函数f(x)=ex+x2-x(ln x+a-1),其中a∈R,e为自然对数的底数.
当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
当0(2)证明 由于x1,x2(x1故φ(a)=g(1)=e+2-a<0,故a>e+2,0令m(x)=(x-1)ex-x,则m'(x)=xex-1,
当x>e时,m'(x)>0,m(x)单调递增,则m(x)>m(e)=(e-1)ee-e>0,
故h'(x)>0,h(x)单调递增,
故h(a)>h(e+2)>h(e)=ee-1>0,则g(a)=h(a)>0,
所以由零点存在定理可知,1突破2　利用导数证明问题
导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点,在利用导数证明不等式的问题中,常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.
考点一　构造差函数法证明不等式
例1(2023新高考Ⅰ,19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+ .
(1)解 f'(x)=aex-1,x∈R.
①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln =-ln a.
随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表:
x (-∞,-ln a) -ln a (-ln a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).
综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;
当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).
[对点训练1]已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)若f(x)存在极值,求a的取值范围;
(2)若a≤1,x∈(0,+∞),证明:f(x)>x-sin x.
(1)解 由f(x)=ex-ax-1,x∈R,得f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,f(x)不存在极值;
当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln a,
当x当x>ln a,则f'(x)>0,即f(x)在(ln a,+∞)内单调递增.
所以x=ln a是f(x)的极小值点,所以当a>0时,f(x)存在极值.
综上所述,f(x)存在极值时,a的取值范围是(0,+∞).
(2)证明 欲证不等式f(x)>x-sin x在x∈(0,+∞)时恒成立,
只需证明ex+sin x-(a+1)x-1>0在x∈(0,+∞)时恒成立.
设g(x)=ex+sin x-(a+1)x-1,x∈(0,+∞),
则g'(x)=ex+cos x-(a+1),
令m(x)=g'(x)=ex+cos x-(a+1),x∈(0,+∞),则m'(x)=ex-sin x.
当x∈(0,+∞)时,ex>1,-1≤-sin x≤1,所以m'(x)>0,
所以m(x)即g'(x)在(0,+∞)内单调递增,所以g'(x)>g'(0)=1-a,
因为a≤1,
所以g'(0)=1-a≥0,
故当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即当a≤1,x∈(0,+∞)时,不等式f(x)>x-sin x恒成立.
考点二　分离函数法证明不等式
例2已知函数f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)若函数F(x)=f(x)-x2有两个极值点,求a的取值范围;
F(x)有两个极值点,
所以方程-2x2+ax-1=0有两个不相等的正实根,
当0当x10,F(x)单调递增;
当x>x2时,F'(x)<0,F(x)单调递减.
所以F(x)在x=x1处有极小值,在x=x2处有极大值,
因此a的取值范围是(2 ,+∞).
令g(x)=x2-cos x,∵g(-x)=g(x),∴g(x)为偶函数,
当x∈[0,+∞)时,g'(x)=2x+sin x,令k(x)=2x+sin x,k'(x)=2+cos x>0,
∴g'(x)在[0,+∞)内单调递增,∴g'(x)≥g'(0)=0,
∴g(x)在[0,+∞)内单调递增,
由g(x)为偶函数知,g(x)在(-∞,0]内单调递减,∴g(x)≥g(0)=-1.
考点三　放缩法证明不等式
当a≥0时,因为x>0,所以f'(x)>0恒成立,则y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,
且f(1)=0,所以f(x)恒大于或等于零不成立;
当a<0时,由f'(x)=0,得x=-a,
易知当x>-a时,f'(x)>0,当0所以y=f(x)在(0,-a)内单调递减,在(-a,+∞)内单调递增.
则f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1+a,若f(x)≥0恒成立,则ln(-a)+1+a≥0.
令h(x)=ln(-x)+1+x(x<0),则h'(x)=
h(x)在区间(-∞,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,所以h(x)max=h(-1)=0,
所以当ln(-a)+1+a≥0时,a=-1.
综上,若f(x)≥0恒成立,则a=-1.
令g(x)=x-sin x(x≥0),则g'(x)=1-cos x≥0恒成立,
所以函数g(x)在[0,+∞)内单调递增,
故当x>0时,g(x)>g(0)=0,即sin x[对点训练3] 已知函数f(x)=ex-axsin x-x-1(a∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a= 时,证明:对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0.
(1)解 当a=0时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增;令f'(x)<0,解得x<0,f(x)在(-∞,0)内单调递减.
由(1)知,当a=0时,f(x)≥f(0)=0,所以ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立.
当x>0时,ex>x+1.
所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,
所以f'(x)>f'(0)=0,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,
所以f(x)>f(0)=0.

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